精品解析：四川宜宾市长宁县2026年春教学质量诊断监测（二）九年级·数学

2026年春教学质量诊断监测（二） 九年级·数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，关键是熟练应用定义进行判断；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 在2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会上，中国体育代表团以金、银、铜，总计枚奖牌的成绩完美收官，创造了中国代表团在境外参加冬奥会的历史最佳战绩．近六届冬奥会中国代表团奖牌数分别为，，，，，（单位：枚）．这组数据的中位数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先将数据按大小顺序排列，再根据数据个数为偶数，计算中间两个数的平均数得到中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列：，，，，， ∵这组数据共有个，个数为偶数，中位数为排列后中间两个数的平均数 ∴中间两个数为第个和第个数，即和 ∴中位数为 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法与除法，积的乘方．根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法，积的乘方逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、与不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由弧弦关系得,由等腰三角形性质得，由直径性质得，由直角三角形性质得，即得答案． 【详解】解：∵点C，D在上，， ∴， ∵， ∴, ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”，可译为：有100个和尚分100个馒头，正好分完，一个大和尚分3个，三个小和尚分1个，问大小和尚各有几人？若设大和尚有x人，根据题意列方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设大和尚有x人，小和尚则有人，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设大和尚有x人，小和尚则有人， 根据题意可列方程：． 7. 学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 8. 已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 9. 如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，作图得到垂直平分，进而得到的长，解直角三角形，求出的长，由作图可知，，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：∵在矩形中，，，为矩形对角线， ∴，， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴. 10. 如图，是反比例函数（）的图象上一点，延长至点，使，过点作轴，交该反比例函数图象于点，过点作，交于点．若四边形的面积为4，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，则，由轴，结合反比例函数性质可得，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11. 如图，中，，，点为内一点，连接，且．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等，把绕点顺时针旋转得到，延长交于点，可证四边形是正方形，可得，，进而得到是等腰直角三角形，即得，得到，再在中，利用勾股定理可得，即得，即得到，，最后根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，把绕点顺时针旋转得到，延长交于点， 则，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， 即， ∵的面积为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 12. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ①； ②经过两点的直线一定不经过第三象限； ③若方程有两个根，且，则一定满足； ④若方程有四个根，则这四个根的和为． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识； 根据时，，代入可得，①正确；分别求出在正半轴，在第二象限，可知②正确；求出抛物线交x轴于，，进而可得③正确；分别求出，，可得这四个根的和为，④错误． 【详解】解：由函数图象得，当时，， ∴， ∴，①正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴，， ∴，， ∵抛物线开口向上， ∴，，， ∴在正半轴，在第二象限， ∴经过两点的直线一定不经过第三象限，②正确； 二次函数的解析式可改写为， 当时， 解得： ∴抛物线交x轴于，， ∴若方程有两个根，且，则，故③正确； 若方程有四个根， 设方程的两根分别为， 则，可得， 设方程的两根分别为， 则，可得， 所以这四个根的和为，④错误； 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 14. 分式方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验即可得到结果． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 经检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 15. 若关于的不等式有且只有两个正整数解，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式只有两个正整数解，确定的取值范围即可. 【详解】解：解不等式得， 关于的不等式有且只有两个正整数解， 其正整数解为和， ， 解得. 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，取的中点G，连接，根据菱形的性质可知，利用勾股定理得到，结合中位线的性质可得，且，再求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点G，连接， ∵菱形的对角线与相交于点， ， ， ∵点是的中点，点G是的中点， ∴是的中位线， ∴，且，，， 又， ，， ． 17. 如图，在中，，，点在上，连接．若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设的外接圆为，过点B作交于点G，连接，过点O作于点E，连接并延长，交于点F，连接，证明，得的对应边是定值，得是定值，得点D是在以为弦的圆弧上运动，设圆心为H，连接．证明，得，得．延长交于点I，证明，得，当点D在上时，取得最小值，． 【详解】解：设的外接圆为，过点B作交于点G，连接，过点O作于点E，连接并延长，交于点F，连接， 则， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， , ∴， ∵， ∴， 同理得, ∵， ∴， , ∴的对应边是定值， ∴是定值， ∴点D是在以为弦的圆弧上运动，设圆心为H， 连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 延长交于点I，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点D在上时，， 此时取得最小值，． 18. 如图，正方形的边长为2，点F为边上一点，连接，交于点M，且，平分，交于点G，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有__________（填写正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先根据正方形的性质和等腰三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则结论①正确；先求出，再过点作于点，利用勾股定理可得的长，然后根据即可得结论②正确；先证出，根据全等三角形的性质可得，则，再利用三角形的面积公式可得结论③正确；先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后利用的面积求出的长，由此即可得结论④错误． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论①正确； ∵在中，， ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，则结论②正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，则结论③正确； 如图，连接，， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∴此时有， ∴， ∴的最小值为，则结论④错误； 综上，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 今年“五一”假期，长沙文旅消费潜力不断释放，爬岳麓、品美食、访省博、游橘子洲成为假日热点．文旅局对本次“五一”假期选择岳麓山、橘子洲、长沙世界之窗、湖南省博物馆（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图，请回答下列问题． （1）______，______； （2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C景点的扇形所对的圆心角的度数为_____； （3）某名同学在五一假期随机选择A、B、C、D四个景点中的两个，请用列表法或画树状图法，求A、B两个景点同时被选中的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用选择A景区的人数除以其人数占比即可求出参与调查的游客人数；再根据D景点游客占调查的游客人数的，用总人数乘以求出a；然后用参与调查的总人数减去A、C、D三个景点的人数得出B景点游客人数，再求百分比即可得b的值； （2）根据B景点游客人数补合条形统计图；用乘以C景区人数的占比即可求出C所在扇形的圆心角的度数； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，然后得出A、B两个景点同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次参与调查的游客人数为：（人）， ∴， B景点游客人数为：（人）， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：补全条形统计图如下： C景点的扇形所对的圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中A、B两个景点同时被选中的有2种， ∴A、B两个景点同时被选中的概率为． 21. 在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点， （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形性质得到，再由平行线性质和中点定义确定相关角度与边长，再由全等三角形的判定定理即可得证； （2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质得到，数形结合表示出即可得证． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，， ∴， 点为的中点， ， 在和中， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， 在平行四边形中，， ， ，， ． 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的性质、平行线的性质、中点定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 22. 在学习过“解直角三角形”一章的知识后，九年级某班的同学们为了巩固学习成果，就地取材，利用所学的数学知识解决身边问题．如图1所示是教室内一只酒精消毒用的喷雾瓶的实物图，其示意图如图2所示，．求按压柄下端到导管的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形．根据题先利用平角定义求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用平角定义求出，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形． 由题意得，． 在Rt中，， ∴． ∵， ∴． 在Rt中，， ∴． ∴． 答：按压柄下端到导管的距离约为． 23. 如图，已知直线交反比例函数图象于、两点（点在点右侧），交轴、轴于点、点．点为反比例函数第一象限图象上一点．若在轴负半轴，在直线上方，，． （1）求直线和反比例函数解析式； （2）若点的横坐标为2，求面积； （3）点为直线上的一动点，在反比例函数图象上存在一点．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）15 （3）或或或． 【解析】 【分析】（）求出点坐标，利用待定系数法可求出直线的函数解析式，进而可求出点坐标，过点作轴于，利用相似三角形的性质可得到点，即可求出反比例函数的解析式； （）过点作轴，交直线于，可知点F的横坐标为2，将分别代入，求出，由求出，，根据计算即可； （）分是边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴直线的函数解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 过点作轴于， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴，交直线于， 可知点F的横坐标为2， 将分别代入，得： ，， 即， 由，解得，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：当是边时，设，则， 则， ∵， ∴， 当时， 解得或， ∴或， 当时， 解得或， ∴或； 当是对角线时，则中点坐标为， 设， ∵点和点关于点对称， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得， ∴或； 综上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或或． 24. 如图，是的直径，点、是上的点，且，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，可证明，再通过，得到，推出，则，得证； （2）易得为等边三角形，可得，进而利用勾股定理即可得解； （3）作于点，则四边形是矩形，由，得，由，得到，，，根据，得到，解得，，由勾股定理得到，再计算，由得到，再证明，得，可得到的长度 【小问1详解】 证明：连接交于点，则， ， 交的延长线于点 是的切线； 【小问2详解】 解：∵，由（1）得， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：作于点，则 由（1）可知 又 ， 四边形是矩形 ， 于点 是直径 的长是． 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形的中位线定理、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 25. 已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． （1）当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； （3）如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2）周长的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再令求解点B坐标； （2）先求解直线，然后证明为等腰直角三角形，则，那么，故当取得最大值时，取得最大值，设，则，则，再由二次函数的性质求解的最大值，即可求解的最大值； （3）根据抛物线的解析式可得，；当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接，可得，则，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解；当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，将点代入， 则 解得 ∵ ∴， ∴解析式为： 令，则 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设直线， 则代入点得，，解得 ∴直线 ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵轴， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设，则 ∴ ∵ ∴当时，的最大值为 ∴周长的最大值为； 【小问3详解】 解：在中，当，则， 解得， ∴； ∵， ∴； 如图所示，当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接， ∴，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点， 则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 综上：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春教学质量诊断监测（二） 九年级·数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会上，中国体育代表团以金、银、铜，总计枚奖牌的成绩完美收官，创造了中国代表团在境外参加冬奥会的历史最佳战绩．近六届冬奥会中国代表团奖牌数分别为，，，，，（单位：枚）．这组数据的中位数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”，可译为：有100个和尚分100个馒头，正好分完，一个大和尚分3个，三个小和尚分1个，问大小和尚各有几人？若设大和尚有x人，根据题意列方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，是反比例函数（）的图象上一点，延长至点，使，过点作轴，交该反比例函数图象于点，过点作，交于点．若四边形的面积为4，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，，点为内一点，连接，且．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ①； ②经过两点的直线一定不经过第三象限； ③若方程有两个根，且，则一定满足； ④若方程有四个根，则这四个根的和为． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 分解因式：________． 14. 分式方程的解为__________． 15. 若关于的不等式有且只有两个正整数解，则的取值范围为________． 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 17. 如图，在中，，，点在上，连接．若，则的最小值为________． 18. 如图，正方形的边长为2，点F为边上一点，连接，交于点M，且，平分，交于点G，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有__________（填写正确结论的序号）． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）化简：． 20. 今年“五一”假期，长沙文旅消费潜力不断释放，爬岳麓、品美食、访省博、游橘子洲成为假日热点．文旅局对本次“五一”假期选择岳麓山、橘子洲、长沙世界之窗、湖南省博物馆（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图，请回答下列问题． （1）______，______； （2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C景点的扇形所对的圆心角的度数为_____； （3）某名同学在五一假期随机选择A、B、C、D四个景点中的两个，请用列表法或画树状图法，求A、B两个景点同时被选中的概率． 21. 在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点， （1）求证：； （2）求证：． 22. 在学习过“解直角三角形”一章的知识后，九年级某班的同学们为了巩固学习成果，就地取材，利用所学的数学知识解决身边问题．如图1所示是教室内一只酒精消毒用的喷雾瓶的实物图，其示意图如图2所示，．求按压柄下端到导管的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，） 23. 如图，已知直线交反比例函数图象于、两点（点在点右侧），交轴、轴于点、点．点为反比例函数第一象限图象上一点．若在轴负半轴，在直线上方，，． （1）求直线和反比例函数解析式； （2）若点的横坐标为2，求面积； （3）点为直线上的一动点，在反比例函数图象上存在一点．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 24. 如图，是的直径，点、是上的点，且，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）若，求的长． 25. 已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． （1）当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； （3）如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $