精品解析：2025年四川省宜宾市长宁县九年级中考二模考试数学试题

2025年春期教学质量诊断监测（二） 九年级·数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）． 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小明从图中几何体的某个方向观察看到如图所示的结果，则小明是从该几何体的方向观察的．（ ） A. 正面 B. 上面 C. 左面 D. 右面 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在一次中考体育模拟测试中，某班41名学生参加测试（满分为70分），成绩统计如表，部分数据被遮盖，下列统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 成绩（分） 62 64 66 67 68 69 70 人数（人） ▆ ▆ 2 6 19 ▆ 7 A. 中位数、众数 B. 中位数、方差 C. 平均数、众数 D. 平均数、方差 7. 如图，由边长为1小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD是边长为正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为，半径为：的圆心为，半径为的圆心为，半径为的圆心为，半径为…，，，，的圆心依次为A、B、C、循环，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点N在反比例函数上，点M在反比例函数上，连接交y轴正半轴于点A，连接，若，则的面积是（ ） A. 6 B. 5 C. D. 3 11. 如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为( )． A. B. C. D. 12. 如图，抛物线的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点．下列四种说法： ①点C在上； ②； ③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为； ④线段的长可以是． 其中正确说法的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题．（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 分解因式：________． 14. 若，是实数，且，则的值为________． 15. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_______． 16. 如图，在中，， ，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好上（点E，F不与点C重合）， 半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为_____． 17. 如图，在菱形ABCD中，tan∠A＝，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为_____． 18. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接、，分别交、于点P、Q，过点P作交的延长线于F，下列结论： ①，②，③，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤． 其中正确的结论有__________． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）化简： 20. 如图，已知点在线段上，且，，，，求证：． 21. 学校举行“爱我中华，明诵经典”班级朗诵比赛，黄老师收集了所有参赛班级的成绩后，把成绩x（满分100分）分成四个等级（A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．根据信息作答： （1）参赛班级总数有 个；m＝ （2）补全条形统计图： （3）统计发现D等级中七年级、八年级各有两个班，为了提高D等级班级的朗诵水平，语文组老师计划从D等级班级中任选两个班进行首轮培训，求选中两个班恰好是同一个年级的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）． 22. 如图，某小区车库入口斜坡的坡角，因坡角过大易引发安全事故，该小区物业部门决定将斜坡改造为斜坡，新的坡角，已知，米．（参考数据：，，） （1）求坡底部增加的长度是多少米（结果保留一位小数）； （2）若点距斜坡上方悬挂广告牌的水平距离米，米，，求广告牌下端点到斜坡的距离（结果保留一位小数），并据此判断高度为米的货车沿下坡过程中是否会撞到广告牌？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； （3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD的交点为E，OB∥CD，BH⊥AC，垂足为H，且∠BFA＝∠DBC． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若BH＝3，求AD的长度； （3）若sin∠DAC＝，求△OBH面积与四边形OBCD的面积之比． 25. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，与轴另一交点为点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方拋物线上一动点，连接，设直线交线段于点，的面积为的面积为当最大值时，求点的坐标及的最大值； （3）如图3，分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接，分别交轴于两点，若在两点运动过程中，始终有与的积等于2．试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春期教学质量诊断监测（二） 九年级·数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）． 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为=4＞0，故A不合题意；因为=2＞0，故B不合题意；因为=2＞0，故C不合题意；因为＜0，故D符合题意，故选D． 考点：1．负数；2．有理数的乘方；3．绝对值；4．二次根式． 2. 如图，小明从图中几何体的某个方向观察看到如图所示的结果，则小明是从该几何体的方向观察的．（ ） A. 正面 B. 上面 C. 左面 D. 右面 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体得到从各个方向观察得到的图形，据此判断． 【详解】解：从正面观察得到的图形应为2行3列，故不符合； 从上面观察得到的图形应为2行3列，故不符合； 从左面观察得到的图形应用2行2列，且第一列为两个高度，第二列为一个高度，故符合； 故选：C． 【点睛】此题考查了从不同方向观察几何体得到的图形，正确理解观察的方向及得到的图形的特点是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，积的乘方，同底数幂的除法，负整数指数幂，根据二次根式的加法，积的乘方，同底数幂的除法，负整数指数幂的运算法则即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 4. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握表示方法是解题关键． 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 6. 在一次中考体育模拟测试中，某班41名学生参加测试（满分为70分），成绩统计如表，部分数据被遮盖，下列统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 成绩（分） 62 64 66 67 68 69 70 人数（人） ▆ ▆ 2 6 19 ▆ 7 A. 中位数、众数 B. 中位数、方差 C. 平均数、众数 D. 平均数、方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的定义求解即可得出答案，熟练掌握中位数和众数的定义是解此题的关键． 【详解】解：这组数据中成绩为、、的人数和为， 这组数据中出现次数最多的数是，即众数， 第个数据是，则中位数是， 与被遮盖的数据无关的是中位数、众数， 故选：A． 7. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出，，计算出即可得到． 【详解】解：∵为直径，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键． 8. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 【详解】解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键． 9. 如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为，半径为：的圆心为，半径为的圆心为，半径为的圆心为，半径为…，，，，的圆心依次为A、B、C、循环，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径，得到，，得出半径，再计算弧长即可． 【详解】解：由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径， ，，，， ，，，， ， ，， 故的半径为， 的弧长． 故选：A． 10. 如图，点N在反比例函数上，点M在反比例函数上，连接交y轴正半轴于点A，连接，若，则的面积是（ ） A. 6 B. 5 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】作轴于点H，作轴于点G，推出，，证明得到，设，则，根据已知得到，列出方程即可求解． 【详解】解：作轴于点H，作轴于点G， ∵点N在反比例函数上，点在M反比例函数上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则，且， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 11. 如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为( )． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，连接，由，推出、、、四点共圆，再证为定值，推出点在射线上运动，当时，的值最小，然后求出与，即可解决问题． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： ， 、、、四点共圆， ， ，， ， ， ， 点在射线上运动， 当时，的值最小， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即 ， ， 在中，由勾股定理得： ， 的最小值 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理、四点共圆、圆周角定理，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键． 12. 如图，抛物线的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点．下列四种说法： ①点C在上； ②； ③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为； ④线段的长可以是． 其中正确说法的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线得，可得，顶点，①根据勾股定理求出，即可求解；②根据垂径定理即可求解；③点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，即可求解；④根据勾股定理即可求解． 【详解】解：抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，C， ∴， ∴点，的半径为2， ∵， ∴顶点D的坐标为：， ∴， ∴点D在上． ①，故点C不在上，故①不正确； ②∵圆心为I，P是半圆上一动点，点D在上，点Q为的中点． ∴或者I，Q两点重合，故②错误； ③图中实点G、Q、I、F是点N运动中所处的位置， 则GF是等腰直角三角形的中位线， 交于点R，则四边形为正方形， 当点P在半圆任意位置时，中点为Q，连接IQ，则，连接， 则，则点Q运动轨迹为以R为圆心的半圆， 则Q运动的路径长，故③正确； ④由③得，当点Q运动到点G的位置时，的长最大， 最大值为， ∴线段的长不可以是，故④不正确． 故正确说法有：③． 故选：A． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线，点的运动轨迹，点和圆的位置关系等，本题综合性较强，关键在于确定点Q运动的路径，本题综合性强，难度较大． 二、填空题．（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取，再运用完全平方公式即可分解因式． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了综合运用提取公因式和公式法分解因式，熟练掌握公式是解题的关键． 14. 若，是实数，且，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 15. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】首先去分母，将分式方程表示为整式方程，用表示出方程的解，然后根据方程的解为非负数求出的取值范围即可． 【详解】， 去分母得：， ， 为非负数， ，得， ， ，得， 故答案为：且． 【点睛】本题考查分式方程的解以及分式有意义的条件，根据题意求解即可． 16. 如图，在中，， ，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好上（点E，F不与点C重合）， 半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积公式，连接，作于，于，证明，四边形为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解． 【详解】解：连接，作于，于， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∵在中，， ，D是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 17. 如图，在菱形ABCD中，tan∠A＝，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】首先延长NF与DC交于点H，进而利用翻折变换的性质得出NH⊥DC，再利用边角关系得出DF，CN的长，进而得出答案． 【详解】解：如图，延长NF与DC交于点H， ∵∠ADF＝90°， ∴∠A+∠FDH＝90°， ∵∠DFN+∠DFH＝180°，∠A+∠B＝180°，∠B＝∠DFN， ∴∠A＝∠DFH， ∴∠FDH+∠DFH＝90°， ∴NH⊥DC， ∵tan∠A＝，由翻折性质可得∠A=∠E，AM=EM， ∴tan∠E=， 在Rt△DME中，可设DM＝4k，DE＝3k， ∴EM＝5k， ∴AD＝9k＝DC，DF＝6k， ∵tan∠A＝tan∠DFH＝， 则sin∠DFH＝， ∴DH＝DF＝k， ∴CH＝9k﹣k＝k， ∵cos∠C＝cos∠A＝＝， ∴CN＝CH＝7k， ∴＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称与折叠，菱形的性质及应用，锐角三角函数在几何综合中的应用，掌握知识点是解题关键． 18. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接、，分别交、于点P、Q，过点P作交的延长线于F，下列结论： ①，②，③，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤． 其中正确的结论有__________． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】①正确．证明∠EOB＝∠EOC＝45°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． ②正确．利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可． ③正确．设BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解决问题． ④错误，通过计算正方形ABCD的面积为48． ⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可． 【详解】解：如图，连接OE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD， ∴∠BOC＝90°， ∵BE＝EC， ∴∠EOB＝∠EOC＝45°， ∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO， ∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确， 连接AF． ∵PF⊥AE， ∴∠APF＝∠ABF＝90°， ∴A，P，B，F四点共圆， ∴∠AFP＝∠ABP＝45°， ∴∠PAF＝∠PFA＝45°， ∴PA＝PF，故②正确， 设BE＝EC＝a，则AEa，OA＝OC＝OB＝ODa， ∴，即AEAO，故③正确， 根据对称性可知，△OPE≌△OQE， ∴S△OEQS四边形OPEQ＝2， ∵OB＝OD，BE＝EC， ∴CD＝2OE，OE∥CD， ∴，△OEQ∽△CDQ， ∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8， ∴S△CDO＝12， ∴S正方形ABCD＝48，故④错误， ∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC， ∴△EPF∽△ECD， ∴， ∵EQ＝PE， ∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确， 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1）8（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的混合运算， 对于（1），根据，再计算即可； 对于（2），先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 20. 如图，已知点在线段上，且，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 根据垂直的定义可得，，再根据“角角边”证明可得，， 则答案可证． 【详解】证明：， . ， ， ， ． 在和中， ， , ，而， ． 21. 学校举行“爱我中华，明诵经典”班级朗诵比赛，黄老师收集了所有参赛班级的成绩后，把成绩x（满分100分）分成四个等级（A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．根据信息作答： （1）参赛班级总数有 个；m＝ （2）补全条形统计图： （3）统计发现D等级中七年级、八年级各有两个班，为了提高D等级班级的朗诵水平，语文组老师计划从D等级班级中任选两个班进行首轮培训，求选中两个班恰好是同一个年级的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）． 【答案】（1）40；30 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图信息即可求解； （2）根据（1）中数据补全条形统计图即可； （3）应用树状图或列表法求解概率即可； 【小问1详解】 解：参赛班级总数为：（个）； 成绩在C等级的班级数量：（个）； ； 【小问2详解】 根据（1）中数据补充条形统计图如下： 【小问3详解】 P（两个班恰好是同一个年级）=. 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图、应用树状图或列表法求概率，掌握相关知识并正确计算是解题的关键. 22. 如图，某小区车库入口斜坡的坡角，因坡角过大易引发安全事故，该小区物业部门决定将斜坡改造为斜坡，新的坡角，已知，米．（参考数据：，，） （1）求坡底部增加的长度是多少米（结果保留一位小数）； （2）若点距斜坡上方悬挂的广告牌的水平距离米，米，，求广告牌下端点到斜坡的距离（结果保留一位小数），并据此判断高度为米的货车沿下坡过程中是否会撞到广告牌？ 【答案】（1）坡底部增加的长度是米 （2）高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义及等腰三角形的判定可知，再利用锐角三角函数可知即可； （2）利用垂直的定义及矩形的判定可知四边形形是矩形，再根据矩形的性质及直角三角形的性质可知，最后利用锐角三角函数解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴在中，， ∴， 答：坡底部增加的长度是米； 【小问2详解】 解：高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌，理由如下： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足， ∴， ∴四边形形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴在中，，米 ， ∵米， ∴在中，， ∴， ∵， ∴高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌． 【点睛】本题考查了垂直的定义，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形的应用—坡角问题，根据题目已知条件添加适当的辅助线是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； （3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【答案】（1）点A的坐标为，反比例函数的表达式为； （2）点C的坐标为或 （3）点P的坐标为；m的值为3 【解析】 【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解； （2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解； （3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得． 小问1详解】 解：令，则 ∴点A的坐标为， 将点代入得： 解得： ∴ 将点代入得： 解得： ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N， 令解得： ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴ 又∵直线l是的垂线即，， ∴， ∴ 设直线l的解析式是：， 将点，点代入得： 解得： ∴直线l的解析式是：， 设点C的坐标是 ∵，(分别代表点B与点C的横坐标) 解得： 或6， 当时，； 当时，， ∴点C的坐标为或 【小问3详解】 ∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D， ∴点E是直线l与双曲线的另一个交点， 将直线l与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 画出图形如下： 又∵ ∴ ∴ ∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等， 设直线的解析式是： 将点代入得： 解得： ∴直线的解析式是： ∵点D也在双曲线上， ∴点D是直线与双曲线的另一个交点， 将直线与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 设直线的解析式是： 将点，代入得： 解得： ∴直线的解析式是：， 又将直线的解析式与直线l的解析式联立得： 解得： ∴点P的坐标为 ∴ ∴ 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键． 24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD的交点为E，OB∥CD，BH⊥AC，垂足为H，且∠BFA＝∠DBC． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若BH＝3，求AD的长度； （3）若sin∠DAC＝，求△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比． 【答案】（1）详见解析；（2）AD＝6；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据切线的判定即可证明BF是⊙O的切线； （2）根据AC是⊙O的直径，可得∠ADC＝90°，证明△ACD∽△BOH，对应边，即可求出AD的长； （3）由（2）可得△ACD∽△BOH，∠DAC＝∠OBH，再根据sin∠DAC＝，设OH＝4a，OB＝7a，可得AC＝2OB＝14a，DC＝8a，根据勾股定理得，BH＝，过C作CM⊥OB于M，再根据OB∥CD，CM⊥OB，可得CM⊥CD，由S四边形OBCD＝S△OCD+S△OCB，进而可求出△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比． 【详解】解：（1）证明：∵∠DBC，∠DAC是同弧所对的圆周角， ∴∠DBC＝∠DAC， ∵∠BFA＝∠DBC， ∴∠DAC＝∠BFA， ∵OB∥CD， ∴∠BOF＝∠ACD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠BOF+∠F＝90°， ∴∠OBF＝90°， ∴OB⊥BF， ∴BF是⊙O的切线； （2）∵BH⊥AC， ∴∠OHB＝90°， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADC＝∠OHB， ∵∠BOC＝∠ACD， ∴△ACD∽△BOH， ∴， ∵BH＝3， ∴AD＝6； （3）∵△ACD∽△BOH， ∴∠DAC＝∠OBH， ∵sin∠DAC＝＝， ∴sin∠OBH＝，设OH＝4a，OB＝7a， ∴AC＝2OB＝14a， ∴DC＝8a， ∴BH＝， 如图，过C作CM⊥OB于M， ∵OB＝OC， ∴CM＝BH＝， ∵OB∥CD，CM⊥OB， ∴CM⊥CD， ∴S四边形OBCD＝S△OCD+S△OCB ＝CD•CM+OB•CM ＝（8a+7a）× ＝， S△OBH＝×OH×BH＝×4a×＝， ∴＝． 答：△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比为． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点是解题关键． 25. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方拋物线上一动点，连接，设直线交线段于点，的面积为的面积为当最大值时，求点的坐标及的最大值； （3）如图3，分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接，分别交轴于两点，若在两点运动过程中，始终有与的积等于2．试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2），有最大值为， （3） 【解析】 【分析】（1）先根据直线求出点B、C的坐标，然后用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）过点A作轴的垂线交的延长线于点，过点作轴平行线交于点，证明，得出，设则，得出，根据二次函数的性质得出时，则有最大值，求出点D的坐标即可； （3）设点M坐标为，点N坐标为，根据直线、直线经过点得直线解析式为：，直线解析式为：，进而求出点P、Q坐标，然后利用待定系数法，求出直线函数解析式即可． 【小问1详解】 解：如图1，把代入得：，即， 把代入得：， 解得：， 即， 分把和代入抛物线解析式中： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，过点A作轴的垂线交的延长线于点，过点作轴平行线交于点． 令， 解得：，， ∴， ， ， ， 设则 ∴， 把代入中，得， ， 有最大值， 当时，则有最大值为， ． 【小问3详解】 解：设点M坐标，点N坐标为， 因为点A坐标为，所以直线解析式为：，直线解析式为：， 联立直线解析式和抛物线解析式得： 解得：，， 故点P坐标为， 同理可求：点Q坐标为， 设直线解析为，则： ， 解得：， ∵与的积等于2， ∴， ∴． ∴， 故当时，， 即直线一定经过定点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，解直角三角形的应用，三角形全等的判定和性质，求二次函数的解析式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$