导数双参数一变量方法讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦导数中双参一变问题，整合消参代换与必要性探路、零点比较大小、变换主元、约束定参四大思维方向，构建“考点梳理-方法指导-真题训练”三阶教学流程，助力学生系统掌握解题策略，突破高考高频难点。 讲义以“通法+技巧”为特色，如思维一通过消参代换通法与必要性探路特殊值技巧结合，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置分层练习与真题情境模拟，确保学生高效掌握解题模型，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

导数中双参一变问题方法汇总 法一：特值定界 根据范围内特殊值确定参数范围 法二：零点比大小 一曲一直临界相切 双参数问题思维导图 法三：变换主元 利用几何意义 法四：约束定参 (消参) 根据已知条件确定一参或消参 【思维一：消参代换（通法）与必要性探路（特殊值技巧）】 【典例1】(2026江苏)函数f()=ar-xe,a∈R,e为自然对数底数，若存在 a∈R且a>0,使得fx)≤a+b对任意的x∈R成立，求实数b的取值范围。 【典例2】（2026压题)若存在a>0~对任意的x∈0，o).都有nr+2a- -a≥0，则 当b取到最大值时，a的值为() A.1+In2 B.2+In2 C.In2 D.2In2 【典例3】(2025一卷19)设函数f()=5cosx-C0s5x,若存在9，使得对于任意x, 都有5cosx-cos(5x+p)≤b,求b的最小值. 【练习1】(2026改编)r∈(0，+)，都有xlhx+2a≥ax+b,则bx= 【练习2】(2026改编)若lnx-ar2-b≤0，x∈(0，+0)恒成立，则a+2b最小值为： 【练习3】(2o26十校)已知函数f(x)=lnr+(e-a)x-2b,若不等式f()≤0对 6 x∈(0，+o)恒成立，则求：(1)2a+3b的最小值：(2)a的最小值： f)=alnx+x2+2bx在区间1,3] 【练习4】(2026江南)若函 上单调递增，则 a+4b的最小值为：-一 【练习5】(2o26天津)设k,beR,若关于x的不等式ln(x-)+x≤ar+b在(L,+∞)上 b-1 恒成立，则k-1的最小值是() 【思维二：零点比较大小（一直一曲相切）】 6 【典例1】(26年江淮十校)已知不等式x≤ae+b对于任意x∈R恒成立，求a的最小 值 n-m 【练习1】已知m,n∈R,fw)=e-mx+n-l,若f()≥0xr∈R恒成立，则m 最小值为： 【练习2】(2026重庆)已知函数f(x)=(e-a)e-ma+x,若存在实数a,使得 f()≤O对于任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是 1 f(x)=e2@tb-x 【练习3】(2026湖南)已知函数 a'若f(≥0对任意的 xe(1,t0 b a 恒成立，则a的最小值为：一 【练习4】(2026镇海)不等式e-4x+2≥ar+b(a、b∈R,a≠-4)对任意实数x恒成 b-4 立，则a+4的最大值为： 【思维三：变换主元（利用几何意义）】 【典例1】(26年名校联考)设函数f)=e+a(x-)+b[0,l上存在零点，则 a2+b2最小值为：—一 4 【典例2】(2026信阳模拟)设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在 区间[3,4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值. 【思维四：约束定参】 f(x)=In-x-+ax+b(x-I) 【典例1】(2024课标一卷)已知函数 2-x ()若6=0，且f')≥0 求的最小值： (2)证明：曲线y=f) 是中心对称图形： 3)若w>-2 当且仅当1<x<2,求b的取值范围。 5 【典例2】已知函数f)=ar-br+lnx在点1，f)》处的切线方程为2x-2y-3=0, (1)求实数a,b的值： 3 (x)=f(x)-mx(m≥ (2)设函数 2的两个极值点为，(：<X),若 g(:)-g(x)≥九恒成立，求满足条件的九的最大整数值 【练习1】(2026江苏)已知函数f()=x2+(a+1)x-a,g(x)=x-blnx(a,b∈R) 设函数u(x)=f()-g(x)+a,若a+b≥-2，且u(x)在(0，+o)上存在零点，求b的取值范 围， 6 导数中双参一变问题方法汇总 【思维一：消参代换（通法）与必要性探路（特殊值技巧）】 【典例1】（2026江苏）函数为自然对数底数，若存在，使得对任意的成立，求实数的取值范围. 【解析】法一（常规消参代换）：由题可知只需即可 时， 当时，令，则有 唯一解,即： ，即： 即： 令 ，故 法二（特殊值+必要性探路思想）由题知： 令 【点评】方法一的核心思想是先由任意性求出函数最值，然后利用消元思想转化为熟悉的存在性问题，这种方法为处理双参问题的通性通法，注意掌握；法二利用的特殊值思想直接求出的必要条件，然后考虑取最值直接得出最值，小题可以考虑使用。 【典例2】（2026压题）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【解析】任意的，都有， 则在上恒成立， 令，， 则，令，得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此存在，使， 令，则，令，得， 当时，当时， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以时，的最大值为. 【点评】先利用任意性转化为普通恒成立问题，然后再利用存在性问题转化为函数最值处理。 【典例3】（2025一卷19）设函数若存在，使得对于任意，都有，求的最小值. 【解析】由周期性，此处仅讨论时的情况， 记 令 令 故：， 【练习1】（2026改编）______ 【解析】令，则有，故 【练习2】（2026改编）若，恒成立，则最小值为:_____ 【解析】由题知：，即： 令时， 即最小值为 【点评】利用特殊赋值思想直接求出所求式的必要条件，然后考虑取最值直接得出最值，关键是通过赋值出现所求式的范围。 【练习3】（2026十校）已知函数若不等式对恒成立，则求：（1）的最小值；（2）的最小值； 【解析】（1）由已知可得： ，令则： ，故 （2） 【练习4】（2026江南）若函数上单调递增，则的最小值为：____ 【解析】 【练习5】（2026天津）设，若关于的不等式上恒成立，则的最小值是( ) 【解析】由已知 ，由上式恒成立易知 令 【思维二：零点比较大小（一直一曲相切）】 【典例2】（26年江淮十校）已知不等式恒成立，求的最小值. 【解析】法一（零点比较大小）：令，则恒成立，，则 易知，，则必有： 故：的最小值为 法二：（通法）恒成立 令 当时，恒成立，上递增，不合题意； 当时，由于在上递减； 令 时，，递增； 时，，递减； ， 令 ， 【点评】零点比较大小原理：本质与函数的凹凸性有关。取等时必为相切状态，此时切线有很多条，临界状态是过零点且满足相切时，此时恰为最值情况，一般小题可以考虑，大题尽量规范化做题。 【练习1】已知，，若恒成立，则最小值为：_____. 【解析】由题可知： 令 易知，，则必有： 故所求最小值为 【练习2】（2026重庆）已知函数若存在实数，使得对于任意恒成立，则实数的取值范围是______ 【解析】由已知可知： 令 则： 令 【练习3】（2026湖南）已知函数若对任意的恒成立，则的最小值为:_____. 【解析】由,令 ,， 根据左右两边零点得： , 【练习4】（2026镇海）不等式对任意实数恒成立，则的最大值为:_____ 【解析】由得： 根据左右两边零点可得：，故： 【思维三：变换主元（利用几何意义）】 【典例1】（26年名校联考）设函数上存在零点，则最小值为:_______. 【解析】由题可知： 即：可看作关于的直线方程； 结合几何意义可得： 表示上述直线上的点到坐标原点距离的平方，从而有： 令，易知上单调递增 ，故 【典例2】（2026信阳模拟）设二次函数在区间上至少有一个零点，求的最小值. 【解析】令，变换主元可得： 设，则点为直线上一点； 那么表示到原点的距离的平方，则必有： 令 【点评】本题的关键变换主元，利用所求式的几何意义转化为点到直线的距离，然后利用几何关系得到所求式的最值。 【思维四：约束定参】 【典例1】（2024课标一卷）已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 【解析】f(x)的定义域为(0, 2). (1)当b=0时, 因为0<x(2-x)≤1, 所以 等号成立当且仅当x=1. 由题意， 故a的最小值为-2. (2)因为f(x)的定义域关于1对称，且 所以曲线y=f(x)是中心对称图形，对称中心为点(1，a). (3)令函数g(x)=f(x)+2, 依题意g(x)>0当且仅当1<x<2, 从而g(1)≤0. 若g(1)<0, 因为 所以存在 使 , 矛盾, 从而g(1)=0, 故a=-2. 若 当 时， 从而f'(x)<0, f(x)在区间 单调递减，不符合题目要求. 若 当x∈(0, 2)时, 从而 等号成立当且仅当x=1， 故f(x)在区间(0，2)单调递增，符合题目要求. 因此b的取值范围是 【点评】本题的关键是注意到特殊约束条件，求出值转化为单变量问题。 【典例2】已知函数在点处的切线方程为. （1） 求实数的值； （2） 设函数的两个极值点为，若恒成立，求满足条件的的最大整数值 【解析】（1）略： （2） 由已知可得：， ， 令 【练习1】（2026江苏）已知函数，. 设函数上存在零点，求的取值范围. 【解析】因为u(x)在(0,+∞)上存在零点， 所以 在(0,+∞)上有解， 即 在(0,+∞)上有解,又a+b≥-2,即a≥-b-2, 所以在(0,+∞)上有解,设t(x)=lnx-x,则t'(x)= 令t'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,t'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,t'(x)<0. 所以t(x)≤t(1)=-1<0,即 设 则 同理可证 所以x-2lnx+2>0, 则F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增， 所以 故b≥-1,所以b的取值范围为[-1,+∞). 1 学科网（北京）股份有限公司 $