函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习讲义

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题复习讲义 考点目录 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 知识点解析 考点一恒成立求参数问题 一、解题原理 1.核心逻辑 Vx∈D,fx)≥m恒成立 Vx∈D,fx)≤m恒成立 fm≤m 2.本质原理 在给定定义域内，不等式对每一个自变量都必须满足； 只需保证函数最值满足不等式，即可保证整体恒成立。 3.常用转化思想 分离参数法：把参数单独放一侧，转化为「参数≤函数最大值」「参数≥函数最小值」，规避分类讨论。 二、解题思路 1.观察式子结构 优先判断能否分离参数，简化运算； 无法分离时，分类讨论（二次项系数、对称轴、单调性）。 2.统一构造函数 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 将不等式整理为单一函数fx),明确定义域： 3. 求函数最值 利用：一次/二次函数单调性、导数、基本不等式、三角函数有界性， 米出f或】 min 4. 列参数不等式 ·恒大于等于：参数≤函数最小值 ·恒小于等于：参数≥函数最大值 5.求解参数范围 解不等式，得出最终取值范围。 考点二能成立（存在性）求参数问题 一、解题原理 1.核心逻辑 3x∈D,fx≥m能成立 台f()mx2m ヨx∈D,fx)≤m能成立 台fx≤m 2.本质原理 定义域内至少有一个x满足不等式即可； 只需函数最值能触及临界值，命题成立。 3.对立转化原理 能成立难题可反向：先求恒不成立范围，再取补集。 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 二、解题思路 1.区分量词 看清是「任意（恒成立）」还是「存在（能成立）小，避免最值用反。 2.构造目标函数 移项整理，构造不含参或易求最值的函数。 3.求解函数最值 结合定义域，求函数最大值或最小值。 4.建立参数关系 ·存在大于等于：参数≤函数最大值 ·存在小于等于：参数≥函数最小值 5.计算解集 化简不等式，得到参数取值。 两大考点核心对比总结 1.恒成立（任意寸） 大于看最小，小于看最大；要求全部满足。 2.能成立（存在ヨ） 大于看最大，小于看最小；要求至少一个满足。 3.通用万能方法 ①优先分离参数法，减少分类讨论； ②无法分离：讨论函数单调性、对称轴、开口； ③牢记口诀： 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 真题速递 1.(2024新课标I卷·高考真题)已知函数f(x)=ln +ax+b(x-1) 2-x (1)若b=0,且f'(x)≥0，求a的最小值： (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形； (3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2,求b的取值范围. 2.(2024全国甲卷·高考真题)已知函数f(x)=(1-ax)n(1+x)-x. (1)当a=-2时，求f(x)的极值； (2)当x≥0时，f(x≥0，求a的取值范围. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 考点一 恒成立求参数问题 【例题分析】 例1.(2026江西道春被拟预测)已知函数f(-各a:。-c(口eR的图象在x=-1处的切线过点 lo-1) (1)求a ②若xe(-l+,f≤到m-e-m+子，求实数m的取值范围。 例2.(2026-河北二模)已知函数fx)=ax-b-21nr. (1)曲线y=f(x)在点M1,f1)处的切线方程为x+2y-3=0,求实数a,b的值； (②)当b=1时，对于任意x>1,f(x>0恒成立，求实数a的取值范围： >In(2n+(ih2.m) (3)证明：台21 V'4 5 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(2026北京丰台一模)已知函数fx)=+0 eax (1)当a=1时，求曲线y=f(x在(0，f(0)处的切线方程； (2)若a≥√2，证明：当x∈[0，+o)时，f(x≤a; (3)若存在x。∈[0，+o),使f(x。)<-a2x。+a成立，求实数a的取值范围. 【变式训练】 变式1.(2026陕西咸阳模拟预测)已知函数fx)=e-x-1. (1)求函数f(x的最小值： (2)证明：当x≥1时，f(x)>3cosx-x-1-2xe: (3)若xe0,+o)时，不等式1+f(x≥2ax+x+cosx恒成立，求实数a的取值范围. 6 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式2.（2026-湖南浙江-模拟预测)已知函数)=号+nr. (1)讨论f(x)的单调性； ②若a=beR,f)产吾+b,求b的取植范围. 变式3.(2026河北邯郸二模)已知函数f(x=2xlnx-ax2+aaeR). (1)当a=0时，求函数fx)的极值： (2)已知对于任意x≥1，∫x≤0恒成立. (i)求实数a的取值范围； （i)证明：1++分>nn-h2+女+a≥aeN) n 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 考点二 能成立求参数问题 【例题分析】 例1.(2026-浙江金华.二模)已知函数)=e-,g)=+ar+( (a∈R). (1)求函数f(x)的极小值： (②)讨论函数g(x)的单调性； (3)若存在实数a,使得f'(x)·g(x)≥bx2在x∈[0，+o)恒成立，求实数b的取值范围. 例2.(2026·云南昭通模拟预测)已知函数∫x=e*sinx-ax,其中aeR (i)当a=1时，讨论f(x)的单调性； (i)若存在x∈0， 使得f(x)≥0成立，求a的取值范围； ②当a=0时，证明：对任意的x∈0，，f(x≥x- 6 P 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(25-26高三上湖北武汉期末)已知函数fx)=x+a+1-alnx(a∈R). (I)讨论函数f(x的单调区间： (2)若3xe1,e,∫x）≤0，求a的取值范围. 【变式训练】 变太1.2526商三上安颜川考)阳通版写号8树=-旷 (1)证明：函数f(x)的图象为中心对称图形： @求(》+s/4+)+s)的值： (3)对于任意x∈[m,2](m>1),都存在x2∈[2,3引使得fx)=gx,)成立，求实数的取值范围 9 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式2.(2025新疆喀什.二模)已知函数f(x)=e+2(x2+mx+m (1)当m=-1时，求f(x的极值； ②若存在x-2,0,使得∫（✉）≤究，求m的取值范围。 变式3.(2026山西运城模拟预测)已知a<1,函数f(x)=xsinx+acosx,xe(0,π. (1)求曲线y=f(x)在点 处的切线方程； (2)证明：f(x)存在唯一的极值点； (3若存在a,使得f)<一2a+b对任意x∈(0，到成立，求实数b的取值范围 o2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题复习讲义 考点目录 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 知识点解析 考点一 恒成立求参数问题 一、解题原理 1. 核心逻辑 · 恒成立 · 恒成立 1. 本质原理 · 在给定定义域内，不等式对每一个自变量都必须满足； 只需保证函数最值满足不等式，即可保证整体恒成立。 1. 常用转化思想 · 分离参数法：把参数单独放一侧，转化为「参数 ≤ 函数最大值」「参数 ≥ 函数最小值」，规避分类讨论。 二、解题思路 1. 观察式子结构 · 优先判断能否分离参数，简化运算； 无法分离时，分类讨论（二次项系数、对称轴、单调性）。 1. 统一构造函数 · 将不等式整理为单一函数 ，明确定义域。 1. 求函数最值 · 利用：一次/二次函数单调性、导数、基本不等式、三角函数有界性， 求出 或 。 1. 列参数不等式 · 恒大于等于：参数 函数最小值 · 恒小于等于：参数 函数最大值 1. 求解参数范围 · 解不等式，得出最终取值范围。 考点二 能成立（存在性）求参数问题 一、解题原理 1. 核心逻辑 · 能成立 · 能成立 1. 本质原理 · 定义域内至少有一个 满足不等式即可； 只需函数最值能触及临界值，命题成立。 1. 对立转化原理 · 能成立难题可反向：先求恒不成立范围，再取补集。 二、解题思路 1. 区分量词 · 看清是「任意（恒成立）」还是「存在（能成立）」，避免最值用反。 1. 构造目标函数 · 移项整理，构造不含参或易求最值的函数。 1. 求解函数最值 · 结合定义域，求函数最大值或最小值。 1. 建立参数关系 · 存在大于等于：参数 函数最大值 · 存在小于等于：参数 函数最小值 1. 计算解集 · 化简不等式，得到参数取值。 两大考点 核心对比总结 1. 恒成立（任意 ） · 大于看最小，小于看最大；要求全部满足。 1. 能成立（存在 ） · 大于看最大，小于看最小；要求至少一个满足。 1. 通用万能方法 ① 优先分离参数法，减少分类讨论； ② 无法分离：讨论函数单调性、对称轴、开口； ③ 牢记口诀： 真题速递 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 考点一 恒成立求参数问题 【例题分析】 例1．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过点． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数导数求函数在某点处切线方程，切线过其它点建立方程求解即可. （2）根据题意将不等式问题等价出恒成立问题，构造新函数，结合函数导数与函数单调性求最值（极值）对参数进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）由， 所以函数在处的切点为：， 又， 所以， 所以函数在点处的切线方程为：， 将点代入切线方程中得：，解得：. （2）由（1）得：， 所以对恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为，所以，且， 将代入中化简得： 在上恒成立， 令， 由， 令， 则，因为，所以， 即在上单调递减， 所以， 当时，， 所以在上单调递减， 所以，满足题意， 当时，存在使得，且时，， 此时在上单调递增，所以，不满足题意. 综上实数的取值范围为 例2．（2026·河北·二模）已知函数． (1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)当时，对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解， （3）根据（2）的结论得，即可累加求解. 【详解】（1）， 则，则 （2）当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. （3）由（2）可知，当时，， 令，则，因为， 令，则， 即， 累加得：， 即成立    . 例3．（2026·北京丰台·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）求出，令，利用导数可证，从而可得的单调性，故可证； （3）原不等式有解即为存在，使成立，，就、结合导数分类讨论可求参数的取值范围. 【详解】（1）时，，所以，故 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）． 令，则． 因为，所以当变化时，的变化情况如下表： 0 增 极大值 减 所以． 由，可知在上单调递减， 所以. （3）由题意，存在，使成立， 即存在，使成立， 即成立． 令， 则． ①当时，在上，故在单调递增， 所以，不合题意． ②当时，令． 因为，所以在单调递增， 又因为， 所以存在，使． 所以当变化时，的变化情况如下表： 0 0 减 极小值 增 ，取，故在上有解， 综上，的范围是. 【变式训练】 变式1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)证明：当时，； (3)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性及最值； （2）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性证明结论； （3）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性求实数的取值范围． 【详解】（1）已知函数，求导得， 令，解得， 当时，，故，函数单调递减； 当时，，故，函数单调递增； 是极小值点，即为最小值点，最小值为． （2）因为， 所以要证明，只需证明， 只需证明， 设，求导得， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， 当时，， ， 在上单调递增，故， 又，故， ，原不等式得证． （3），不等式等价于， ， 令， 当时，，故处等号成立； 求导得， ， 令，求导得，，则， 在上单调递增， 当时，，， 存在，使得， 当时，，又， 所以当时，，不满足条件； 当时，， 在上单调递增，故，单调递增， ，满足条件； 实数的取值范围为． 变式2．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）求出函数的导数，按分类讨论的符号求出单调区间. （2）等价变形给定不等式，构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，不等式， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 变式3．（2026·河北邯郸·二模）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)已知对于任意，恒成立． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)函数的极小值为，无极大值 (2) （ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数分析当时，函数的单调性，即可得到其极值； （2）函数的定义域为，.构造函数，分三种情况，利用导数分析函数的取值，进而得到的单调性，通过对最值的判断得到实数a的取值范围； （ⅱ）结合（ⅰ）的结论利用放缩法及对数的运算性质可得. 【详解】（1）当时，函数，定义域为． .令，得； 令，得；令，得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为. 所以函数的极小值为，无极大值. （2）（ⅰ）函数的定义域为. . 令，则，是单调递减函数. 若，则恒成立，所以单调递增，，即， 所以在上单调递增，所以，不合题意； 若，则由，得在上有解，为， 则当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，即， 所以在上单调递增，所以，不合题意； 若，则由，得恒成立， 所以是单调递减函数，所以，即， 所以在上单调递减，所以恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是； （ⅱ）由（ⅰ）得，时，对恒成立，且在上单调递减. 即对恒成立， 所以，即对恒成立. 令，则. 所以， 即， 所以， 所以. 即得证. 考点二 能成立求参数问题 【例题分析】 例1．（2026·浙江金华·二模）已知函数，． (1)求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)极小值为 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值； （2）求导，分类讨论两根大小，结合导数的符号分析函数的单调性； （3）分析可得，令，，分类讨论的符号，结合恒（能）成立问题分析求解. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在单调递减， 所以的极小值为． （2）因为的定义域为，且， 令，解得或， 当，即时，则， 可知在上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或； 可知在上单调递增，在，上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或； 可知在上单调递增，在，上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减. （3）因为，即，可得， 令，， ①当时，若，则，不合题意； 若，方程满足， 且，可知方程有一正一负两个实根， 取其正根为，则，不合题意； 综上所述：当时，不存在实数a，使得恒成立； ②当时，不妨取，则， 记，则， 令，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即， 可知在单调递减，则， 即对，都存在，使得在恒成立， 综上所述：实数b的取值范围为． 例2．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，其中. (1)， （i）当时，讨论的单调性； （ii）若存在，使得成立，求的取值范围； (2)当时，证明：对任意的，. 【答案】(1)（i）在上单调递增；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）由在时恒成立，得的单调性；（ii）问题转化为存在，使得成立，令，利用导数求最值即可. （2）令，通过导数研究函数单调性证明在时恒成立即可. 【详解】（1）（i）当时，， 则，             ，，，所以，             所以在上单调递增.             （ii）存在，使得成立，即存在，使得成立，             令，，         由（i）可得，所以， 令，， 所以在上单调递增，             ，所以，所以在上单调递增， 存在，使得成立，即， 综上：. （2）证明：当时，令， .             令，， 令，. 令，在时恒成立，             在上单调递减，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， ，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， ，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， ，，             ，即对任意的，. 例3．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导并对进行分类讨论，即可求得函数的单调区间； （2）根据（1）中的结论分类讨论函数在上的单调性，求出其最小值的表达式，令最小值满足，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】（1）易知函数的定义域为，且， 易知， 所以当时，，此时，即在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得； 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上可知时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知①当时，在上单调递增， 若，可知即可，可得， 解得； ②当时，在上单调递增，即可得在上单调递增， 此时需满足，即，此时无解； ③当时，结合（1）中结论可知在上单调递减，在上单调递增； 所以满足即可，即， 令， 则，易知在上为单调递减； 又，所以存在唯一满足， 因此可得时，，当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时不满足，不合题意； ④当时，在上单调递减，即可得在上单调递减； 所以只需满足，即，解得； 综上可知或. 即的取值范围为 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数，. (1)证明：函数的图象为中心对称图形； (2)求的值； (3)对于任意，都存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先计算定义域，再设出对称中心，验证是否满足即可得； （2）计算可得，结合（1）中所得计算即可得； （3）由题意可得在上的值域是在上值域的子集，分别计算两函数对应值域后，由包含关系列出不等式计算即可得. 【详解】（1），定义域为， 设对称中心为，则需满足，， ，即， 函数的图象为中心对称图形且对称中心为； （2）由（1）知，又， ； （3）由题意可知，在上的值域是在上值域的子集， 在上单调递减， 且，， 时，， ， 在上单调递增，又，， 时，， ， 且，解得， 综上，实数的取值范围为. 变式2．（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）结合导数分析函数的单调性，进而求解极值； （2）求导，分，，三种情况分析求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. （2）由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 变式3．（2026·山西运城·模拟预测）已知，函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：存在唯一的极值点； (3)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求，代入计算即为斜率，求的值，结合点斜式即可求得切线方程. （2）①研究当时，的单调性，②研究当时，令，运用导数研究单调性，结合零点存在性定理可知存在唯一，使得，即，进而可证得的单调性，进而可证得结果. （3）将问题转化为，由（2）可知， ，，进而可得存在，使得，设，，进而将问题转化为求，运用导数求即可. 【详解】（1）由题意知，， 所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）证明：由，， ①当时，，则在上单调递增， ②当时，设，则， 所以，故在上单调递减， 又，， 所以由零点存在性定理可知，存在唯一，使得，即. 所以当时，，即；当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综述：在上单调递增，在上单调递减，存在唯一，使得. 故存在唯一的极值点. （3）由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减， 故， 因为，所以， 由题意知，， 即， 化简得，， 设，， 由题存在，使得， 所以，. 又 设，，则， 所以在上单调递减， 故， 当时，，；当时，，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $