精品解析：北京市第十三中学2025-2026学年度八年级下学期期中测试数学试卷

北京市第十三中学2025-2026学年度八年级数学期中测试 考生须知 1.本试卷共8页，共四道大题，26道小题，满分110分．考试时间100分钟． 2.在试卷、答题卡的规定位置认真填写班级、姓名和准考证号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.选择题、作图题在答题卡上用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔在答题卡上完成作答． 5.考试结束，请将考试材料按监考教师要求交回． 一、选择题（共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证即可得到结果． 【详解】解：选项A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式.； 选项B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C、的被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 2. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 1，1，1 B. 1，2， C. 3，4，6 D. 2，3， 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； B．∵，∴可以构成直角三角形，故该选项符合题意； C．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D．∵，∴不能构成直角三角形，，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，中， 平分交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形和角平分线的性质，通过等量代换得到，从而得到，从而解出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ． 4. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中的度数和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟知多边形的外角和是是解题关键． 5. 关于一次函数．下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象向下平移6个单位经过原点 C. 图象与轴交于点 D. 随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、平移及与坐标轴的交点，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解∶A、一次函数中， ，图象经过第一、二、四象限，选项说法错误，不符合题意； B、一次函数图象与y轴交于点，向下平移6个单位经过原点，选项说法正确，符合题意； C、一次函数中，当时， ，与x轴交于点，选项说法错误，不符合题意； D、一次函数中，y随x的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； 故选∶B． 6. 如图，矩形的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若，则的长为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，掌握它们是解题的关键；P，Q分别为的中点，得；再由矩形的性质得，即求解． 【详解】解：∵P，Q分别为的中点， ∴是的中位线， ∴； ∵四边形是矩形， ∴． 故选：B． 7. 矩形纸片两邻边的长分别为a，b（），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形，正方形和正方形的面积之和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，完全平方公式， 首先根据勾股定理得到，然后利用正方形，正方形和正方形的面积之和为：代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴正方形，正方形和正方形的面积之和为： ． 故选：C． 8. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误． 【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，①正确，故符合要求； ∵， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； 由勾股定理得，即， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 代数式有意义时，应满足的条件是___________． 【答案】：x≥﹣8 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x+8≥0， 解得x≥﹣8． 故答案为：x≥﹣8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 10. 请写出一个图象过点，且随的增大而增大的函数解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质．根据题意及函数的性质可进行求解． 【详解】解：由一个函数过点，且随增大而增大， 可知该函数可以为(答案不唯一)； 故答案为：(答案不唯一)． 11. 直线经过和，则_____．（填写“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式的一次项系数判断函数增减性，再比较两个点的横坐标大小，即可推得纵坐标的大小关系． 【详解】解：在直线中，一次项系数， 随的增大而减小， 点和在该直线上，且， ． 12. 如图，分别以数轴的单位长度1和3为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点O为圆心，这个直角三角形的斜边长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理计算出斜边的长度即可得到的值． 【详解】解：∵长度1和3为直角边的长作直角三角形的斜边长为， ∴圆O的半径为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆和直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据直角边的长度求出斜边的长度． 13. 如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先证明 再根据有三个角是直角的四边形是矩形进行补充即可． 【详解】解：∵AE⊥BC， ∴ ， ∴ ∴ 补充：或或， ∴四边形AEFD是矩形， 故答案为：或或（任写一个即可） 【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“有三个角是直角的四边形是矩形”是解本题的关键． 14. 如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象解不等式是解此题的关键；从函数图象中找出函数在下方或相交时x的值可得的解,并求得时，则得出，即可求解． 【详解】解：∵一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点， 观察图象可得： 当时，直线在下方或相交， ∴的解为， 把代入得：，， ∴时，则，解得：， ∴不等式的解集为：， 故答案为： 15. 如图，在矩形中，，.如果、分别是、的中点，是对角线上的点，，则的长为_____． 【答案】2或8 【解析】 【分析】先得到四边形是平行四边形，则，由勾股定理求解得到，设与交于点，可证明，则，，再由直角三角形斜边上的中线的性质求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ∴，，， ∵、分别是、的中点， ∴ 四边形是平行四边形， ， ∵， 设与交于点 ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ， ， 同理： ． 综上：的长为或． 16. 如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为____． 【答案】4或16 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象、矩形的性质，正确理解函数图象，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积最大且保持不变，最大值为24，当时，点P到达点C，据此建立方程组求出矩形、长，再根据这一条件，结合图象判断点P可能位于或边上，分类讨论计算对应的路程值即可． 【详解】解：四边形是矩形， 、、， 由图2可知，当点P在上运动时，的面积最大且保持不变，最大值为24， ，即， ， 当时，点P到达点C， ， 联立， 解得：或（舍去）， 、， 分情况讨论： 当时，若点P在上时，， 则， 解得：， 若点P在上时，设， 则， 解得：， 此时， 综上所述，的值为4或16． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题8分；第23-24题，每题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 下面是小明“作矩形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：矩形（点在上，点在上）． 作法：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（点与点在异侧）； ③连接交于点； ④以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤连接． 则四边形为所求作的矩形． （1）根据作法补全图形，保留作图痕迹； （2）根据小明的作法完成下面的证明． 证明：连接． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形．（___________）（填写推理依据）． ， 四边形为___________， ______________________， ， 四边形为矩形（___________）（填写推理依据）． 【答案】（1）解：如图所示，四边形为所求矩形： （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；菱形；； 有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）根据题目要求按步骤画图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，根据已知条件证得四边形是平行四边形，再根据条件判定出菱形，利用菱形的性质求证． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 证明：连接． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 19. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？（步尺） 提取信息 秋千静止时，踏板离地面尺高；将秋千的踏板向前推动步（即尺）时，踏板就和推秋千的人一样高，同为尺．秋千的绳索长是多少？ 画示意图 假设秋千的绳索长在运动过程中始终保持不变．如图，是秋千的固定点，点是秋千静止时路板的位置，点是向前推动尺（水平距离）后踏板的位置．直线是地面，于点，于点． 解决问题 （1）图中　　　　尺，　　　　尺，　　　　尺； （2）求秋千的绳索长． 【答案】（1），，； （2）秋千的绳索长为尺． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）如图，过点作于点，可得四边形是矩形，得到尺，尺，设秋千的绳索长为尺，则，，在中由勾股定理得，解方程即可求解； 【小问1详解】 解：由题意可得，尺，尺，尺， 故答案为：，，； 【小问2详解】 如图，过点作于点，则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴尺，尺， 设秋千的绳索长为尺，则，， 在中，， ∴， 解得， 答：秋千的绳索长为尺． 20. 在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）点的坐标是______，点的坐标是______； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当时，的取值范围是______；当时，自变量的取值范围是______； （4）点为直线上一动点，若的面积为3，则点的坐标为______． （5）一次函数的图象平移后经过点，则平移后的一次函数解析式为______． 【答案】（1）， （2）解：函数图象如图所示： （3）； （4）或 （5） 【解析】 【分析】（1）分别令代入直线中，求出对应的值，即可得到结果； （2）根据（1）中两点的坐标画直线即可； （3）分别求出时，对应的函数值；令解不等式即可； （4）设，根据 ，即可解答； （5）根据直线平移后值不变，平移后解析式为，将点代入求解出即可． 【小问1详解】 解：将代入直线中，则， ∴， 令中，解得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵由（2）中图象知，当时，在中，随的增大而增大， 将代入直线中，则 ， 将代入直线中，则 ， ∴当时，的取值范围是； 令， 解得， 即当时，自变量的取值范围是； 【小问4详解】 解：设， 由（1）知， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 当时，则，即； 当时，则，即； 综上，点的坐标为或； 【小问5详解】 解：平移后解析式为， 将点代入得 ， 解得， 故平移后解析式为． 21. 如图，在中，，点D，E，F分别为，，的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质得出且，且，得出四边形为平行四边形，根据，得出，证明四边形是菱形． （2）根据中位线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵D，E分别是，的中点， ∴且， 同理：且， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵，，点D，E，F分别为，，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，中位线性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的解析式； （2）当时．对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入中，求得，则；将代入中求得，则，作出图象，再结合一次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：把点和代入得： ， 解得， 该函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入中， 解得， 此时函数解析式为 将代入中， 解得， 此时函数的解析式为， 如图， 由于当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值， 根据图象可得直线与直线的交点的横坐标不小于1， ． 23. 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程. （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 2 4 b 0 … 请根据表格中的信息，确定b的值，_____； （2）根据（1）中的列表，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． （3）结合函数图象，解决问题： ①写出函数的一条性质 ． ②若点,在函数图象上，且，则与的大小关系为__． ③若关于x的方程有两个解，请直接写出满足条件的m的取值范围 ． ④若点，都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围 ． 【答案】（1）2 （2） （3）①图像关于直线对称（答案不唯一）；② <；③；④ 【解析】 【分析】本题考查一次函数与绝对值函数的综合，熟练掌握一次函数的性质，数形结合的运用是解题的关键． （1）将代入函数解析式，计算得到对应y值即为b； （2）根据表格中格点的坐标，在坐标系中描点，再用平滑线段顺次连接各点即可； （3）①观察画出的函数图象，从对称性、最值、增减性等角度选取一条描述即可； ②根据的条件，结合函数在区间的增减性判断即可； ③将方程解的个数问题转化为函数与的交点个数问题，求直线过绝对值函数顶点时的临界情况的m值，再确定范围； ④画出函数图象，利用，，可得点位于直线的左侧，点位于直线的右侧，分别代入函数解析式建立不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 则； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：①由（2）中图象可得函数关于直线对称； ②由图象可知，当时，随的增大而增大， ； ③方程有两个解， 函数与有两个交点， 当直线经过点时，， 解得：， 因此，方程有两个解时，的取值范围为； ④当时，函数， 当时，函数， 函数的图象如下： 由图可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ，且， 将点代入得：， 将点代入得：， ， 解得：． 24. 如图，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，作点关于直线的对称点，连接分别交于点，过点作于点，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）画图见解析 （2）证明见解析 （3）；证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）连接，利用正方形的性质和轴对称的性质证明，得到是等腰三角形，结论得证； （3）过点B作于点M，先证，得到，AM＝， 进一步得到，再证，，进一步证得，，在中，，进一步即可得到答案． 【小问1详解】 解：补全图形，如图1． ． 【小问2详解】 连接，如图2， ∵四边形是正方形， ∴， ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 【小问3详解】 ． 证明：过点B作于点M，如图3．则． ∵点A与点E关于直线对称， ∴，垂足是G， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵＝， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、轴对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 四、附加题（第25题4分，第26题6分） 25. 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题： （1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 26. 在平面直角坐标系中，点和点是图形上的任意两点，记的最大值为，的最大值为，若，则称图形是“奇妙图形”．已知点，． （1）点，，，下列图形：①线段；②；③四边形，其中是“奇妙图形”的是________；（填序号） （2）在（1）的条件下，点在直线上，若线段是“奇妙图形”，求点的横坐标的值； （3）已知边长为的正方形中心为，两条对角线均垂直于坐标轴，若正方形上存在点，使得是“奇妙图形”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①② （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别找到每种图形的最左端与最右端，最高点与最低点，计算出对应的与的值，根据是否符合，进行判断即可； （2）设点的横坐标，先用待定系数法求出直线的解析式为，则，根据题意表示出线段的与，由构造方程，解出的值； （3）先分析点所在区域，分别过点、作坐标轴的平行线，将平面直角坐标系分为块区域，结合题干所给的新定义可得，符合要求的点在两段折线上．利用正方形的性质可得点，点，计算出点与点落在折线上时，对应的的值，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：如图， 对于①线段：由图可知，，， ∵， ∴线段是“奇妙图形”； 对于②：由图可知，，， ∵， ∴是“奇妙图形”； 对于③四边形：由图可知，，， ∵， ∴四边形不是“奇妙图形”； 综上，是“奇妙图形”的是①②； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，点的横坐标， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为， 根据题意，线段的，， ∵线段是“奇妙图形”， ∴，即， 解得或， ∴点的横坐标的值为或； 【小问3详解】 解：设点， 先分析点需满足的要求， 如图，分别过点、作坐标轴的平行线，将平面直角坐标系分为块区域， 当点在区域，即，时， ，， ∵， ∴，即， ∴此时点在直线上； 当点在区域，即，时， ，， ∴，解得， ∴此时点在直线上； 当点在区域，即，时， ，， ∴，即， ∴此时点在直线上； 同理，当点在区域、、时，对应的直线分别为，，， 当点在区域，即，时， ，， ∴，即，与题设矛盾， ∴该区域不存在符合要求的点； 同理，区域和区域也不存在符合要求的点； 综上，符合要求的点在上下两段折线上； 设正方形四个顶点分别为、、、， ①当点在点所在的上半折线上时，如图， ∵点的坐标为， ∴点在直线上， ∵四边形是正方形， ∴，， 在直角中，， ∴，解得， ∴， ∵、都与坐标轴垂直， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 由图可知，点在直线上， ∴，解得； ②当点在点所在的上半折线上时，如图， 由图可知，点在直线上， ∴，解得， ∴当正方形与点所在的上半折线相交时，的取值范围为； ③当点在点所在的下半折线上时，如图， 由图可知，点在直线上， ∴，解得； ④当点在点所在的下半折线上时，如图， 由图可知，点在直线上， ∴，解得， ∴当正方形与点所在的下半折线相交时，的取值范围为； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题是图形与坐标的综合题，考查新定义，绝对值的意义，解绝对值方程，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十三中学2025-2026学年度八年级数学期中测试 考生须知 1.本试卷共8页，共四道大题，26道小题，满分110分．考试时间100分钟． 2.在试卷、答题卡的规定位置认真填写班级、姓名和准考证号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.选择题、作图题在答题卡上用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔在答题卡上完成作答． 5.考试结束，请将考试材料按监考教师要求交回． 一、选择题（共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 1，1，1 B. 1，2， C. 3，4，6 D. 2，3， 3. 如图，中， 平分交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中的度数和为（　　） A. B. C. D. 5. 关于一次函数．下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象向下平移6个单位经过原点 C. 图象与轴交于点 D. 随的增大而增大 6. 如图，矩形的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若，则的长为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 9 7. 矩形纸片两邻边的长分别为a，b（），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形，正方形和正方形的面积之和为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 代数式有意义时，应满足的条件是___________． 10. 请写出一个图象过点，且随的增大而增大的函数解析式：______． 11. 直线经过和，则_____．（填写“＞”，“＜”或“＝”） 12. 如图，分别以数轴的单位长度1和3为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点O为圆心，这个直角三角形的斜边长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为______． 13. 如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 14. 如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为_______． 15. 如图，在矩形中，，.如果、分别是、的中点，是对角线上的点，，则的长为_____． 16. 如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为____． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题8分；第23-24题，每题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 下面是小明“作矩形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：矩形（点在上，点在上）． 作法：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（点与点在异侧）； ③连接交于点； ④以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤连接． 则四边形为所求作的矩形． （1）根据作法补全图形，保留作图痕迹； （2）根据小明的作法完成下面的证明． 证明：连接． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形．（___________）（填写推理依据）． ， 四边形为___________， ______________________， ， 四边形为矩形（___________）（填写推理依据）． 19. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？（步尺） 提取信息 秋千静止时，踏板离地面尺高；将秋千的踏板向前推动步（即尺）时，踏板就和推秋千的人一样高，同为尺．秋千的绳索长是多少？ 画示意图 假设秋千的绳索长在运动过程中始终保持不变．如图，是秋千的固定点，点是秋千静止时路板的位置，点是向前推动尺（水平距离）后踏板的位置．直线是地面，于点，于点． 解决问题 （1）图中　　　　尺，　　　　尺，　　　　尺； （2）求秋千的绳索长． 20. 在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）点的坐标是______，点的坐标是______； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当时，的取值范围是______；当时，自变量的取值范围是______； （4）点为直线上一动点，若的面积为3，则点的坐标为______． （5）一次函数的图象平移后经过点，则平移后的一次函数解析式为______． 21. 如图，在中，，点D，E，F分别为，，的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的解析式； （2）当时．对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 23. 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程. （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 2 4 b 0 … 请根据表格中的信息，确定b的值，_____； （2）根据（1）中的列表，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． （3）结合函数图象，解决问题： ①写出函数的一条性质 ． ②若点,在函数图象上，且，则与的大小关系为__． ③若关于x的方程有两个解，请直接写出满足条件的m的取值范围 ． ④若点，都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围 ． 24. 如图，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，作点关于直线的对称点，连接分别交于点，过点作于点，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 四、附加题（第25题4分，第26题6分） 25. 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 26. 在平面直角坐标系中，点和点是图形上的任意两点，记的最大值为，的最大值为，若，则称图形是“奇妙图形”．已知点，． （1）点，，，下列图形：①线段；②；③四边形，其中是“奇妙图形”的是________；（填序号） （2）在（1）的条件下，点在直线上，若线段是“奇妙图形”，求点的横坐标的值； （3）已知边长为的正方形中心为，两条对角线均垂直于坐标轴，若正方形上存在点，使得是“奇妙图形”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $