第五章 分式与分式方程 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 北师大版八年级下分式单元卷，全面覆盖分式定义、运算、方程及应用，通过基础辨析、情境应用与创新探究，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|分式定义、方程解的范围、应用（如平均速度）|基础概念辨析，结合生活情境（题7、8）| |填空题|6小题|增根、新定义运算、规律探究|融入新定义“⊗”（题12）、周期规律（题14），考查抽象思维| |解答题|7小题|分式方程求解、方案设计、新定义“和谐分式”|综合应用（题20成本方案）、创新探究（题23和谐分式），体现模型意识与创新意识|

北师大版数学8年级下第五章分式单元试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列各式：中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（　　） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若a时，分式的值为零． 3．已知关于x的方程1的解是负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1 或a≠0 4．已知：，则的值等于（　　） A．6 B．﹣6 C． D． 5．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（　　） A． B．a C． D．1 6．若关于x的分式方程有解，则a的取值范围是（　　） A． B．a≠﹣1 C．a＝﹣1 D．且a≠﹣1 7．小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为v1千米/时，下山的速度为v2千米/时，则小强上山和下山的平均速度为（　　） A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 8．为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产50台机器，改造后生产600台机器所需时间与改造前生产400台机器所需时间相同．则改造后每天生产的机器台数为（　　） A．100 B．150 C．200 D．250 9．下列结论：①无论x为何实数，都有意义．②若分式的值为0，则x的值为2或﹣2．③要使分式有意义，x的取值应满足x≠3．④若分式的值为负数，则x的取值范围是x＜2．⑤使分式有意义的条件是x为任意实数．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如果，则的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 二．填空题（共6小题） 11．关于x的分式方程有增根，则a的值是 　 　 ． 12．对于代数式m，n，定义运算“⊗”：m⊗n，例如：4⊗2，若（x﹣1）⊗（x+2），则A+3B＝ 　 　 ． 13．若关于x的分式方程无解，则m＝　 　 ． 14．已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2，，…，an，则a2026为　 　 ． 15．已知：|a﹣1|+|b﹣2|＝0，则 　 　 ． 16．已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的值之和为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．解分式方程： （1）； （2）． 18．已知a是不等式2x﹣7＞5﹣2x的最小整数解，求的值． 19．已知x2﹣5x+1＝0，求x2和x4的值． 20．某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求A，B两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用。 21．在某班小组学习的过程中，同学们碰到了这样的问题：“已知3，5，6，求的值”．根据已知条件中式子的特点，同学们会想起，于是问题可转化为：“已知3，5，6，求的值”，这样解答就方便了． （1）通过阅读，试求的值． （2）利用上述解题思路，请你解决以下问题：已知6，求的值． 22．阅读理解 【提出问题】已知，求分式的值； 【分析问题】本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数k，得出x，y，z与k的关系，然后再代入待求的分式化简即可； （1）【解决问题】设，则x＝4k，y＝3k，z＝2k，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为 　 　 ； （2）【拓展应用】已知，求分式的值． 23．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是　 　 （填写序号即可）； （2）在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． m2﹣n2；m2+2mn+n2；m﹣n． （3）若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为　 　 ． 北师大版数学8年级下第五章分式单元试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列各式：中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分式的定义即可求出答案． 【解答】解：，（﹣m）﹣2，，是分式， 故选：D． 【点评】本题考查分式的定义，解题的关键是熟练运用分式的定义，本题属于基础题型． 2．分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（　　） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若a时，分式的值为零． 【分析】直接利用分式的值为零的条件分析得出答案． 【解答】解：分式中，当x＝﹣a时，若a时，分式的值为零． 故选：C． 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键． 3．已知关于x的方程1的解是负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1 或a≠0 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围． 【解答】解：去分母得，a＝x+1， ∴x＝a﹣1， ∵方程的解是负数， ∴a﹣1＜0， 即a＜1， 又a≠0， ∴a的取值范围是a＜1且a≠0． 故选：B． 【点评】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 4．已知：，则的值等于（　　） A．6 B．﹣6 C． D． 【分析】根据条件得到a﹣b＝﹣4ab，然后整体代入到代数式中求值即可． 【解答】解：∵4， ∴4， ∴a﹣b＝﹣4ab， ∴原式 ＝6． 故选：A． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握整体代入到代数式中求值是关键． 5．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（　　） A． B．a C． D．1 【分析】由题意得，被盖住的部分是，进而可得答案． 【解答】解：由题意得，被盖住的部分是1． 故选：D． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6．若关于x的分式方程有解，则a的取值范围是（　　） A． B．a≠﹣1 C．a＝﹣1 D．且a≠﹣1 【分析】先解分式方程得到﹣（a+1）x＝﹣5，再根据分式方程有解，进行求解即可． 【解答】解： 去分母得：1﹣（ax﹣2）＝x﹣2， 去括号得：1﹣ax+2＝x﹣2， 移项得：﹣ax﹣x＝﹣2﹣2﹣1， 合并同类项得：﹣（a+1）x＝﹣5， ∵关于x的分式方程有解， ∴， ∴， ∴且a≠﹣1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式方程有解的问题，正确解方程得到﹣（a+1）x＝﹣5是解题的关键． 7．小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为v1千米/时，下山的速度为v2千米/时，则小强上山和下山的平均速度为（　　） A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 【分析】平均速度＝总路程÷总时间，根据公式列式化简即可． 【解答】解：2s÷（）＝2s2s千米/时．故选D． 【点评】总路程包括往返路程，总时间包括上山时间和下山时间．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 8．为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产50台机器，改造后生产600台机器所需时间与改造前生产400台机器所需时间相同．则改造后每天生产的机器台数为（　　） A．100 B．150 C．200 D．250 【分析】设改造后每天生产的机器台数为未知数，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，结合改造前后生产对应数量机器的时间相同列分式方程求解，最后检验并得到答案． 【解答】解：设改造后每天生产的机器台数为x， 根据题意列分式方程得， ， 整理得，200x＝30000， 解得x＝150， 经检验，x＝150是原分式方程的根，且符合题意， ∴改造后每天生产的机器台数为150． 故选：B． 【点评】本题考查分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 9．下列结论：①无论x为何实数，都有意义．②若分式的值为0，则x的值为2或﹣2．③要使分式有意义，x的取值应满足x≠3．④若分式的值为负数，则x的取值范围是x＜2．⑤使分式有意义的条件是x为任意实数．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据分式有意义的条件，分式的值为零的条件，分式的值，解一元一次不等式的方法解答即可． 【解答】解：①∵x2+1＞0， ∴无论x为何实数，都有意义，故①正确； ②若分式的值为0， 则， 解得：， ∴x＝﹣2，故②错误； ③∵分式有意义， ∴3﹣x≠0， ∴x≠3，故③正确； ④若分式的值为负数， ∴x2＞0， ∴3x﹣6＜0， 解得：x＜2， ∵x≠0， ∴x＜2且x≠0，故④错误； ⑤∵有意义， ∴x≠0，故⑤错误， 综上所述，正确的有①③，共2个． 故选：B． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件，分式的除法，熟练掌握分式有意义的条件，分式值为零的条件，分式的除法法则是解题的关键． 10．如果，则的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【分析】根据等式的性质、完全平方公式把原式变形，计算即可． 【解答】解：， ， （a+b）2＝ab， a2+ab+b2＝0， 两边同除ab，得10， 则1， 故选：C． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、等式的性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．关于x的分式方程有增根，则a的值是 　1　 ． 【分析】方程两边乘（x﹣3），把分式方程转化为整式方程，解出方程的解，根据方程有增根，增根为x＝3，得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：方程两边乘（x﹣3）得：2﹣x＝﹣a﹣2（x﹣3）， ∴x＝4﹣a， ∵方程有增根， ∴x﹣3＝0， ∴4﹣a＝3， ∴a＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解题的关键． 12．对于代数式m，n，定义运算“⊗”：m⊗n，例如：4⊗2，若（x﹣1）⊗（x+2），则A+3B＝ 　8　 ． 【分析】由定义的运算易得，再将通分并计算后得到关于A，B的二元一次方程组，解得A，B的值后计算A+3B即可． 【解答】解：（x﹣1）⊗（x+2） ， ， ∵（x﹣1）⊗（x+2）， ∴， ∴， 解得：， 则A+3B＝﹣1+9＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 13．若关于x的分式方程无解，则m＝　﹣4或6或1　 ． 【分析】该分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解． 【解答】解：（1）x＝﹣2为原方程的增根， 此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m＝3×（﹣2﹣2）， 解得m＝6． （2）x＝2为原方程的增根， 此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（2+2）+2m＝3×（2﹣2）， 解得m＝﹣4． （3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）， 得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）， 化简得：（m﹣1）x＝﹣10． 当m＝1时，整式方程无解． 综上所述，当m＝﹣4或m＝6或m＝1时，原方程无解． 【点评】分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 14．已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2，，…，an，则a2026为x+1　 ． 【分析】根据题意，依次求出a2，a3，a4，…，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1）， 所以，，，…， 由此可见，这列式子从a1开始按x+1，循环出现． 因为2026÷3＝675余1， 所以a2026＝x+1． 故答案为：x+1． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律及分式的加减法，能通过计算得出这列式子从a1开始按x+1，循环出现是解题的关键． 15．已知：|a﹣1|+|b﹣2|＝0，则 　　 ． 【分析】根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式求解即可． 【解答】解：由题意得，a﹣1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝1，b＝2， ∴原式... ＝1... ＝1 ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知绝对值的非负性是解题的关键． 16．已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的值之和为 　﹣4　 ． 【分析】将分式化成一个整式加上一个真分式的形式，求出满足条件的x的值，最后求和即可． 【解答】解：原式， ∵代数式的值为整数， ∴x+1＝±1，±2， ∴x＝0，﹣2，1，﹣3． ∴0+（﹣2）+1+（﹣3）＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了分式的整数值，考核学生的计算能力，将分式变形是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）去分母得：2（x﹣1）+（x+2）（x﹣1）＝x（x+2）， 去括号得：2x﹣2+x2﹣x+2x﹣2＝x2+2x， 移项合并得：x＝4， 检验：把x＝4代入得：（x+2）（x﹣1）≠0， ∴x＝4是分式方程的解； （2）两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得，x（x﹣2）﹣（x+2）2＝8， 解得x＝﹣2． 经检验x＝﹣2是原方程的增根． ∴原分式方程无解． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 18．已知a是不等式2x﹣7＞5﹣2x的最小整数解，求的值． 【分析】先化简分式，再求解不等式的最小整数解，再代入计算即可． 【解答】解： ． 由2x﹣7＞5﹣2x，得x＞3， ∵a是不等式2x﹣7＞5﹣2x的最小整数解， ∴a＝4． ∴原式． 【点评】本题考查的是一元一次不等式的整数解，分式的化简求值，正确进行计算是解题关键． 19．已知x2﹣5x+1＝0，求x2和x4的值． 【分析】由x2﹣5x+1＝0得x﹣50，即x5，平方后移项、合并可得x223，再进一步两边平方可得答案． 【解答】解：∵x2﹣5x+1＝0， ∴x﹣50， 则x5， ∴x2+225， ∴x223， ∴x4+2529， ∴x4527． 【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及完全平方公式． 20．某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求A，B两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用。 （1）解：设B种防疫用品成本x元，A种防疫用品成本元，依题意，得： ， 解得：x＝1 500， 经检验：x＝1500是原分式方程的解， ∴（元） 答：A种防疫用品2000元，B种防疫用品1500元。 （2）解：设B种防疫用品生产m箱，A种防疫用品生产箱， ，解得， ∵B种防疫用品不超过25箱， ∴， ∵m为正整数， ∴m＝20，21，22，23，24，25，共有6种方案； 设生产A和B两种防疫用品费用为w， w=1500m+2000（50-m）=-500m+100000， ∵k<0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m=25时，w取得最小值，此时w=87500， 21．在某班小组学习的过程中，同学们碰到了这样的问题：“已知3，5，6，求的值”．根据已知条件中式子的特点，同学们会想起，于是问题可转化为：“已知3，5，6，求的值”，这样解答就方便了． （1）通过阅读，试求的值． （2）利用上述解题思路，请你解决以下问题：已知6，求的值． 【分析】（1）由已知3，5，6，可得3+5+6，即可得出答案； （2）由已知6，可得m6，（m）2﹣2，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵3，5，6， ∴3+5+6， ∴， ∴7， ∴ ＝7； （2）∵6， ∴， ， ∴m2 ＝（m）2﹣2 ＝62﹣2＝34． ∴． 【点评】本题主要考查了代数式求值，分式的混合运算，合理应运题目所给条件是解决本题的关键． 22．阅读理解 【提出问题】已知，求分式的值； 【分析问题】本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数k，得出x，y，z与k的关系，然后再代入待求的分式化简即可； （1）【解决问题】设，则x＝4k，y＝3k，z＝2k，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为 　　 ； （2）【拓展应用】已知，求分式的值． 【分析】（1）用k表示出x，y，z，再代入分式进行化简即可； （2）设，用含m的式子表示出x，y，z，再代入分式进行化简即可． 【解答】解：（1）∵， ∴x＝4k，y＝3k，z＝2k， ∴， 故答案为：； （2）设， 则x＝3m，y＝﹣2m，z＝4m， ∴． 【点评】本题主要分式的化简求值以及乘法公式在代数式求值中的综合运用，熟练掌握相关公式是解题关键． 23．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是　②　 （填写序号即可）； （2）在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． m2﹣n2；m2+2mn+n2；m﹣n． （3）若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为　4　 ． 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，逐一判断即可； （2）先将题中给出的三个整式中，能够因式分解的进行因式分解，再根据题意“这个分式不可约分”进行构造即可； （3）根据“和谐分式”的定义，考虑分母能够因式分解，结合a为正整数，可得a的值为4． 【解答】解：（1）根据“和谐分式”的定义，逐项分析判断如下： 对于①：，分子和分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于②：，分母可以因式分解，且这个分式不可约分，是“和谐分式”，符合题意； 对于③：，分母可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于④：，分子可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 综上，“和谐分式”是②． 故答案为：②； （2）∵m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）， m2+2mn+n2＝（m+n）2， ∴“和谐分式”有：和． （3）由条件可知x2+ax+4能够因式分解， ∵a为正整数，x2+ax+4能够因式分解， ∴a＝4或a＝5． ∵分式不可约分， 又∵当a＝5时，分母为x2+5x+4＝（x+1）（x+4），分式可约分，不满足“和谐分式”定义， 当a＝4时，分母为x2+4x+4＝（x+2）2，分式不可约分，满足“和谐分式”定义， ∴a＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了约分，熟练掌握分式的运算法则是关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/3 13:03:03；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $