精品解析：2026年广东省阳江市初中学业水平模拟考试数学试卷（二)

2026年广东省初中学业水平模拟考试（二）数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和准考号填写在答题卡上．将条形．码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】2的立方为8，则8的立方根为2． 【详解】解：8的立方根为2， 故选：C． 【点睛】本题考查求一个数的立方根，能够熟练掌握立方根的计算方法是解决本题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式等内容，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是锐角三角函数的定义．先利用勾股定理求出斜边的长，再求出的值即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：D． 4. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】由展开图可得，改几何体由三个面的长方形，两个面是三角形，据此可得该几何体是三棱柱． 【详解】解：由由展开图可得，改几何体由三个面的长方形，两个面是三角形， 所以该几何体是三棱柱 故选：B． 【点睛】本题考查几何体的展开图，从实物出发，结合具体问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图象的转化，建立空间观念，是解题关键． 5. 随着新一轮科技革命和产业变革逐步走向纵深，我国新能源汽车产业实现了快速发展，新能源汽车已经成为我们日常出行的重要交通工具．据统计，截至2025年底，我国新能源汽车保有量达4397万辆，其中“4397万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：4397万 6. 每周五下午的社团课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“篮球课”“思辨课”“机器人课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出树状图，先确定所有等可能的选择结果数，再找出两人恰好选择同一种课程的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】记三种课程分别为篮球课，思辨课，机器人课， 画树状图为： ∵共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一课程的结果数为3， ∴两人恰好选择同一课程的概率． 7. 化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点O固定，测得C，D之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∴此方案依据的数学定理是边角边； 故选A． 8. 如图，一束光线从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知，延长交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角、根据对顶角相等，角的和差关系计算的度数，再应用平行线的性质得到的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 9. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积为，则的面积为（ ） A. 20 B. C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据位似图形的性质得到，由相似三角形的性质得到，相似三角形的面积比等于相似的平方，代入计算即可求解． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 10. 已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，随的增大而减小．不能直接根据的大小关系确定的大小关系． 先判断出函数图象在二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据，判断出的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象在第二，四象限，在这两个象限内，随的增大而增大， 又 ∵， ， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的倒数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数． 根据倒数的定义作答即可． 【详解】的倒数是 故答案为： 12. 计算：＝______． 【答案】－6 【解析】 【分析】先算负整数指数幂、二次根式，再加减即可． 【详解】解：原式． 13. 若，则=_______． 【答案】． 【解析】 【分析】先把分式化简成已知的形式，再把已知整体代入即可 【详解】根据题意可得：原式=+1=． 【点睛】本题考查了分式的化简以及代入求值，解题的关键是运用整体思想代入求值． 14. 我国古代数学家刘徽用“割圆术”得到圆周率近似值，张衡将圆周率取值为，祖冲之给出更精确的近似值．比较大小：_____（填“”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】对于两个正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，平方较大的正数更大，计算两个数的平方后比较即可得到结果． 【详解】解：由题意得，，， 分别对两个数平方得： ， ， ∵，即， ∴． 15. 如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当经过点C时，点到的距离为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，由旋转的性质可得，，，，由等边对等角并结合三角形内角和定理求出，作，交于点，由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∴， ∴， 如图，作，交于点， ， ∴，即当经过点C时，点到的距离为． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 在数学课上，老师给出了这样一道题：计算．以下是小明同学的计算过程． 解：原式 ① ② ③ （1）以上过程中，第_________步是进行分式的通分，通分的依据是_________； （2）以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程． 【答案】（1）②，分式的基本性质 （2） 【解析】 【分析】（1）由分式加减法的计算方法进行计算即可，即先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法进行计算即可； （2）先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据计算步骤可知，第②步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质， 故答案为∶②，分式的基本性质； 【小问2详解】 解：第③步错误 原式 ． 【点睛】本题考查分式的加减法，掌握分式加减法的计算方法进行计算即可． 17. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 8 b 九年级 8 a 9 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生； （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】（1）， （2）八 （3）我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）根据中位数的定义即可求出答案； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把九年级10名学生的测试成绩排好顺序为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为； 八年级10名学生每周锻炼8小时的最多有3人，所以众数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：A同学平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平，而八年级学生的平均每周锻炼时长的中位数是8，由此可判断他是八年级的学生； 故答案为：八； 【小问3详解】 解：我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好． 理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间的方差小于八年级每周锻炼时间的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好 18. 综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 【问题解决】 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … （1）请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图像，根据图像发现容器内盛水量与滴水时间，符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； （2）根据以上判断，求关于的函数关系式． 【答案】（1）图像见解析，一次 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，掌握一次函数的图像与性质是解题关键． （1）首先根据表格中的数据画出函数图像，结合该函数图像为一条直线，即可获得答案； （2）结合表格中数据，利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：关于的函数图像如图所示， 根据图像发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的一次函数， 故答案为：一次； 【小问2详解】 设一次函数解析式为，将点代入， 可得，解得， ∴一次函数解析式为． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：如图，正方形中，点在对角线上，点在边上．现有三个选项：；；； 请任选两个为条件，另一个为结论组成一个命题．先判断命题的正确性再证明或举反例． 【答案】答案不唯一，见解析． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，分别选择：以为条件，作为结论组成命题，是真命题；选择：以为条件，作为结论组成命题，是真命题；选择（解法2）以为条件，作为结论组成命题，是真命题，然后通过正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理进行求证即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：选择：以为条件，作为结论组成命题，是真命题， 证明如下：如图，连接， ∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 选择：以为条件，作为结论组成命题，是真命题， 证明如下：如图，连接， ∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 选择：以为条件，作为结论组成命题，是真命题． 证明如下：如图，设正方形边长为， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于， ∴， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 选择（解法）以为条件，作为结论组成命题，是真命题， 设正方形边长为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】（1）每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 （2）购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【解析】 【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． 【小问2详解】 解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 21. 某校九年级综合与实践小组开展了一次项目式主题学习． 【项目背景】 某博物馆展出了一面珍贵的战国“山”字纹青铜镜（如图1所示），它的镜面是一个标准的圆形．为了更好地进行文物保护与数字化展示，博物馆利用金石传拓非遗传承技艺制作了一个的模型（如图2所示），首要任务就是精确找到镜面的圆心． 【项目任务】 （1）任务一圆心定位．请你设计一种几何方法，仅使用直尺和圆规来确定这面青铜镜镜面的圆心．请在图2中作出示意图，保留作图痕迹． （2）任务二博物馆提供了这面青铜镜的部分信息：镜面直径为，“山”字纹的顶点恰好位于镜面的内接正五边形的五个顶点上（如图3所示），请计算镜面的内接正五边形的边长（精确到0.1）．参考数据：，，． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在圆上任取三点A，B，C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心； （2）连接，作于点F，求出中心角的度数，利用垂径定理和解直角三角形进行求解即可． 【小问1详解】 解：操作步骤： 第一步，在圆上任取三点A，B，C，连接； 第二步，作的垂直平分线； 第三步，作的垂直平分线，与相交于点O； 点O就是这面青铜镜镜面的圆心． 作图如下： 【小问2详解】 解：连接，作于点F． ∵正五边形， ∴，． ∵， ∴，． 在中，． ∴ ∴， 答：镜面的内接正五边形的边长． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【了解概念】 已知函数是自变量x的函数，当，称函数为函数的“加和函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点A关于函数的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． 【理解运用】 例如：函数，当时，称函数是函数的“加和函数”． 在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点A关于的“加和点”，点B在函数的“加和函数” 的图象上． （1）求函数的“加和函数”的表达式； （2）点在函数的图象上，点P关于函数的“加和点”为点Q，若点Q与点P的纵坐标互为相反数，求点P的坐标； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，的“加和函数”为，直线交y轴于点T，已知点．若将的边构成的图形记为M，现将四边形的边与图形“M”有且只有2个交点时，求t的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了理解新定义，待定系数法求一次函数关系式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据 “加和函数”的定义解答即可； （2）先确定点P，Q的坐标，再结合互为相反数的定义求出答案； （3）先确定Q，T的坐标，进而求出直线的关系式，然后分情况求出临界值，即可得出答案． 【详解】（1）． 所以是函数的“加和函数”； （2）点关于函数的“加和点”点的坐标为． ∵点Q和点P的纵坐标互为相反数， ∴， 解得， ∴点； （3）由（2）可知点． 当时，， ∴点． 设直线的关系式为，得， 解得， 所以直线的关系式为． 四边形是以原点为中心，为边长的逐渐变化的正方形． 当正方形的顶点在直线上，当时，； 当正方形的顶点在直线上，当时，； 所以当时，四边形的边与图形“M”有且只有2个交点； 当正方形的边与重合时，，当正方形过点T时，， 所以当时，四边形的边与图形“M”有且只有2个交点． 故t的取值范围是或． 23. 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则______°； 【解决问题】（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则________； 【迁移应用】（3）如图4，正方形的边长为，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求的长； 【答案】（1）45；（2）①见详解；②4；（3） 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案； （2）①由矩形的性质及平行线的性质证明，则可得出结论； ②过点作于点，求出，证明，得出，证明，得出； （3）过点作交于点，证明，得出，证明是等腰直角三角形，则可得出答案； 【详解】解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）①证明：∵， ， ∵矩形中，， ， ， 平分． ②过点B作于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：4； （3）过点作交延长线于点， ∵四边形是正方形， ， ， 由旋转得， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东省初中学业水平模拟考试（二）数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和准考号填写在答题卡上．将条形．码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 5. 随着新一轮科技革命和产业变革逐步走向纵深，我国新能源汽车产业实现了快速发展，新能源汽车已经成为我们日常出行的重要交通工具．据统计，截至2025年底，我国新能源汽车保有量达4397万辆，其中“4397万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 每周五下午的社团课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“篮球课”“思辨课”“机器人课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点O固定，测得C，D之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 8. 如图，一束光线从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知，延长交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积为，则的面积为（ ） A. 20 B. C. 30 D. 10. 已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的倒数是______． 12. 计算：＝______． 13. 若，则=_______． 14. 我国古代数学家刘徽用“割圆术”得到圆周率近似值，张衡将圆周率取值为，祖冲之给出更精确的近似值．比较大小：_____（填“”或“<”）． 15. 如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当经过点C时，点到的距离为_________． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 在数学课上，老师给出了这样一道题：计算．以下是小明同学的计算过程． 解：原式 ① ② ③ （1）以上过程中，第_________步是进行分式的通分，通分的依据是_________； （2）以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程． 17. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 8 b 九年级 8 a 9 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生； （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由． 18. 综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 【问题解决】 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … （1）请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图像，根据图像发现容器内盛水量与滴水时间，符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； （2）根据以上判断，求关于的函数关系式． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：如图，正方形中，点在对角线上，点在边上．现有三个选项：；；； 请任选两个为条件，另一个为结论组成一个命题．先判断命题的正确性再证明或举反例． 20. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 21. 某校九年级综合与实践小组开展了一次项目式主题学习． 【项目背景】 某博物馆展出了一面珍贵的战国“山”字纹青铜镜（如图1所示），它的镜面是一个标准的圆形．为了更好地进行文物保护与数字化展示，博物馆利用金石传拓非遗传承技艺制作了一个的模型（如图2所示），首要任务就是精确找到镜面的圆心． 【项目任务】 （1）任务一圆心定位．请你设计一种几何方法，仅使用直尺和圆规来确定这面青铜镜镜面的圆心．请在图2中作出示意图，保留作图痕迹． （2）任务二博物馆提供了这面青铜镜的部分信息：镜面直径为，“山”字纹的顶点恰好位于镜面的内接正五边形的五个顶点上（如图3所示），请计算镜面的内接正五边形的边长（精确到0.1）．参考数据：，，． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【了解概念】 已知函数是自变量x的函数，当，称函数为函数的“加和函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点A关于函数的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． 【理解运用】 例如：函数，当时，称函数是函数的“加和函数”． 在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点A关于的“加和点”，点B在函数的“加和函数” 的图象上． （1）求函数的“加和函数”的表达式； （2）点在函数的图象上，点P关于函数的“加和点”为点Q，若点Q与点P的纵坐标互为相反数，求点P的坐标； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，的“加和函数”为，直线交y轴于点T，已知点．若将的边构成的图形记为M，现将四边形的边与图形“M”有且只有2个交点时，求t的取值范围． 23. 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则______°； 【解决问题】（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则________； 【迁移应用】（3）如图4，正方形的边长为，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $