第12练　对数与对数函数 -2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦对数与对数函数核心素养，以题载法构建“概念-运算-性质-应用”逻辑链，强化数学思维与语言表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|1,7|换底公式、对数运算法则|从定义到运算性质的推导| |函数性质|2,3,8,10|单调性比较、定义域值域分析|性质与图象的关联应用| |综合应用|4,15,16|实际问题建模、恒成立转化|概念到复杂问题的拓展|

第12练　对数与对数函数 1.已知a=log25,8=5b,则ab= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.4 C.2 D.5 2.函数f(x)=lo|x|+1的图象大致为 (　 ) A B C D 3.已知a=log0.30.07,b=20.7,c=60.2,则 (　 ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b 4.[2025·广东广州二模] 声强级LI(单位:dB)由公式LI=10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).轻柔音乐的声强一般在[10-8,10-6]内,则轻柔音乐的声强级所在区间是 (　 ) A.[0,20] B.[20,40] C.[40,60] D.[60,80] 5.[2026·南通调考] 设a=,b=ln,c=log2,则 (　 ) A.b<c<a B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c 6.(多选题)[2025·河北保定二模] 若函数f(x)=lg+lg(2x2),则 (　 ) A.f(x)为减函数 B.若f(x)=1,则x=5 C.f(x)的值域为R D.若f(x)<2,则x<50 7.计算:+lg 5+log32×log49×lg 2=　　　　.  8.已知函数f(x)=ln(ax2+x+2),若f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围为　　　　;若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围为　　　　.  9.若abc≠0,且3a=4b=6c,则 (　 ) A.=+ B.=+ C.=+ D.=+ 10.[2025·福州二模] 若函数f(x)=xa,x∈(0,+∞)的图象如图所示,则函数g(x)=logax+loga(2-x)的图象大致为 (　 ) A B C D 11.若x3·=x3·ln x2=1,则下列不等式一定不成立的是 (　 ) A.x3>x2>x1 B.x3>x1>x2 C.x2>x1=x3 D.x2>x1>x3 12.(多选题)已知函数f(x)=lg,则下列说法正确的是 (　 ) A.函数f(x)的图象关于y轴对称 B.当x>0时,f(x)单调递增,当x<0时,f(x)单调递减 C.函数f(x)的最小值是lg 2 D.函数f(x)的图象与直线x=2有四个交点 13.[2025·湖南邵阳三模] 已知减函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(m,n),且m,n是方程(log2x)2+3log2x-4=0的两个实数根,则f(-1)=　　　　.  14.[2025·浙江名校协作体模拟] 已知正实数a满足()a<,则a的取值范围是　　　　.  15.已知函数f(x)=(log2x-2). (1)当x∈[2,4]时,求函数f(x)的取值范围; (2)若f(x)≥mlog4x对任意x∈[4,16]恒成立,求实数m的取值范围. 16.(多选题)若实数a,b,c满足2a+5=3b+2=5c+3,则a,b,c的大小关系可能是 (　 ) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a 17.(多选题)如图,已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线,与函数y=log2x的图象交于C,D两点,则 (　 ) A.点A,D和原点O在同一条直线上 B.点C,D和原点O在同一条直线上 C.当BC平行于x轴时,点A的横坐标为 D.当BC平行于x轴时,点A的纵坐标为3log2 第12练　对数与对数函数 1.A　[解析] 由8=5b,得b=log58,所以ab=log25·log58=3log25·log52=3. 2.A　[解析] 当x>0时,f(x)=lox+1,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减且f(x)的图象过点(1,1).故选A. 3.A　[解析] 由题可知b10=(20.7)10=27=128,c10=(60.2)10=62=36,所以b10>c10,因为b>0,c>0,所以b>c.因为y=log0.3x在(0,+∞)上单调递减,且0.07<0.09,所以log0.30.07>log0.30.09=2,即a>2.因为y=2x在R上单调递增,且0.7<1,所以20.7<21=2,即b<2.故a>b>c.故选A. 4.C　[解析] 依题意可得10-8≤I≤10-6,所以104≤≤106,所以4≤lg≤6,所以40≤10lg≤60,即轻柔音乐的声强级所在区间是[40,60].故选C. 5.C　[解析] 因为b=ln,c=log2==,ln>0,0<ln 2<1,所以b<c.现在比较a=和c=log2的大小,因为a==log2=log2,c=log2=log2,所以c>a.再比较a=和b=ln的大小,因为a==ln =ln,b=ln=ln=ln,所以a>b.故b<a<c.故选C. 6.BC　[解析] 因为f(x)=lg+lg(2x2)=lg=lg(2x)=lg 2+lg x,x>0,所以f(x)为增函数,f(x)的值域为R,故选项A错误,选项C正确;由f(x)=1得lg(2x)=1,则2x=10,解得x=5,故选项B正确;由f(x)<2得lg(2x)<2,则0<2x<100,解得0<x<50,故选项D错误.故选BC. 7.7　[解析] +lg 5+log32×log49×lg 2=3×+lg 5+log32×lo32×lg 2=3×2+lg 5+log32×log23×lg 2=6+(lg 5+lg 2)=6+1=7. 8.　　[解析] 若f(x)的定义域为R,则ax2+x+2>0的解集为R,∴解得a>,∴a的取值范围为.若f(x)的值域为R,则a=0或解得a=0或0<a≤,即0≤a≤,∴a的取值范围为. 9.C　[解析] 设3a=4b=6c=t,则a=log3t,b=log4t,c=log6t,∴==,==,==.对于A,+=+=≠,故A错误;对于B,+=+=≠,故B错误;对于C,+=+====,故C正确;对于D,+=+==≠=,故D错误.故选C. 10.A　[解析] 由幂函数的图象可得0<a<1,函数g(x)=logax+loga(2-x)=loga(2x-x2)=loga[-(x-1)2+1]的定义域为(0,2),当x∈(0,2)时,0<-(x-1)2+1≤1,则g(x)≥0恒成立,故B,C,D错误,A正确.故选A. 11.B　[解析] 因为x3·=x3·ln x2=1,所以=ln x2=.由>0,得x2>1,x3>0.作出函数y=ex,y=ln x,y=(x>0)的图象如图所示.由图可知,x1,x2,x3的大小关系可能为x3>x2>x1,x3=x2>x1,x2>x3>x1,x2>x1=x3,x2>x1>x3,故x3>x1>x2不可能成立.故选B. 12.AC　[解析] f(x)=lg的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且满足f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确;当x>0时,f(x)=lg=lg,由y=x+的性质可知其在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故B不正确;当x>0时,x+≥2(当且仅当x=1时取等号),所以f(x)在(0,+∞)上的最小值为f(1)=lg 2,又f(x)是偶函数,所以函数f(x)的最小值是lg 2,故C正确;由函数的定义可得,函数f(x)的图象与直线x=2不可能有四个交点,故D不正确.故选AC. 13.4　[解析] 由方程(log2x)2+3log2x-4=0,可得log2x=-4或log2x=1,解得x=或x=2.当m=,n=2时,=2,得a=216,此时函数f(x)为增函数,不符合题意,舍去;当m=2,n=时,a2=,又a>0,所以a=,此时f(-1)==4. 14.(1,4)　[解析] 因为()a<,所以ln()a<ln ,所以ln a<ln a.当a>1时,不等式化简为<,可得1<a<4;当a=1时,不等式显然不成立;当0<a<1时,不等式化简为>,没有符合题意的解.综上所述,a的取值范围是(1,4). 15.解:(1)由题得f(x)=(2log4x-2),令t=log4x, 因为x∈[2,4],所以t∈, 所以y=(2t-2)=2t2-3t+1=2-, 又t∈,所以y∈,所以当x∈[2,4]时,函数f(x)的取值范围为. (2)由(1)及f(x)≥mlog4x对任意x∈[4,16]恒成立, 可得2t2-3t+1≥mt对任意t∈[1,2]恒成立, 所以m≤2t+-3对任意t∈[1,2]恒成立. 由对勾函数的单调性可知,g(t)=2t+-3在[1,2]上单调递增, 所以m≤g(1)=0, 故实数m的取值范围为(-∞,0]. 16.ABD　[解析] 设2a+5=3b+2=5c+3=t>5,则a=log2(t-5),b=log3(t-2),c=log5(t-3).如图,作出函数y=log2(x-5),y=log3(x-2),y=log5(x-3)在(5,+∞)上的图象,则a,b,c的值分别是函数y=log2(x-5),y=log3(x-2),y=log5(x-3)在(5,+∞)上的图象与直线x=t(t>5)的交点的纵坐标.由图可知,随着t的变化,可能出现a>b>c,b>c>a,b>a>c.故选ABD. 17.BC　[解析] 易知点A,B和原点O在同一条直线上,则点A,D和原点O不在同一条直线上,故A错误;设A(x1,log8x1),B(x2,log8x2),则C(x1,log2x1),D(x2,log2x2),因为点A,B和原点O在同一条直线上,所以=,化简得=,所以点C,D和原点O在同一条直线上,故B正确;当BC平行于x轴时,log8x2=log2x1,化简得x2=,又=,所以x1=,故C正确;当BC平行于x轴时,由选项C知x1=,则log8x1=log8=log2,故D错误.故选BC. 学科网（北京）股份有限公司 $