1.7正切函数（第1课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦正切函数的定义及诱导公式，课堂导入先回顾初中正切定义和正弦、余弦函数的单位圆定义，通过旧知搭建学习支架，引导学生理解正切函数的定义域、符号规律及与正弦、余弦的关系。 其亮点是以问题链驱动，通过典例（如已知终边上点求正切值）和分层练习，培养数学思维（推理与运算），利用诱导公式推导过程渗透逻辑推理，总结部分帮助学生构建知识网络，助力学生掌握知识，方便教师教学。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 三角函数 第7节 正切函数 7.1 正切函数的定义 7.2正切函数的诱导公式 第1课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解正切函数的定义,会用正切函数的定义求正切值. 2、理解并熟记正切函数的诱导公式. 3、能运用正切函数的诱导公式解决求值、化简等问题. 1、会用正切函数的定义求正切值. 2、能运用正切函数的诱导公式解决求值、化简等问题. 1、理解正切函数的定义. 2、理解并熟记正切函数的诱导公式. 2 新 知 引 入 1、在初中阶段,我们已经学习了一个角的正弦、余弦和正切的定义： C A B 斜边 对 边 邻边 α sinα=_________=___________ cosα=_________=___________ tanα=_________=___________=___________ 新 知 引 入 角α的终边与单位圆的交点为P(u,v), 把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值， 记作v=sinα（称为任意角α的正弦函数） 2、正弦函数的定义是什么？ O x P(u,v) α M 1 习惯上，我们用x表示自变量，y表示函数值， 所以正弦函数可记作：y=sinx 新 知 引 入 角α的终边与单位圆的交点为P(u,v), 把点P的横坐标u定义为角α的余弦值， 记作u=cosα（称为任意角α的余弦函数） 3、余弦函数的定义是什么？ O x P(u,v) α M 1 习惯上，我们用x表示自变量，y表示函数值， 所以余弦函数可记作：y=cosx 本节课我们来学习正切函数。 学 习 新 知 观察比值 ，对于{x|x≠ +kπ,k∈Z}内任意一个x， 都有_________确定的值与之对应，因此 是 x 的_________，称为x的正切函数。 当x∈(0,)时,上述定义与初中时所学正切函数的定义是一致的. 函数 唯一 正切函数 y = tanx ,x≠+kπ,k∈Z 注意：1、 2、 3、 当角x的终边在第一和第三象限时,正切值为正; 当角x的终边在第二和第四象限时,正切值为负. 当角x的终边在x轴时，正切值为0，当角x的终边在y轴时，正切值不存在. 典 例 引 路 例1、求下列角α的正切函数值. （1）α=-; （2）α=. 解：∵α= - , ∴sin(- )= - ,cos(- )= . ∴ tan(- ) = = = -1. 解：∵α= , ∴sin = ,cos = . ∴ tan = = = -1. 同 步 练 习 （3）α= 解：因为角的终边在y轴正半轴上,所以tanα不存在. 练1、求下列角α的正切函数值. （1）α=- （2）α= 解：∵α= - , ∴sin(- )= - , cos(- )= . ∴ tan(- ) = = = - . 解：∵α= , ∴sin = , cos = - . ∴ tan = = = - . 学 习 新 知 在角α的终边上任取一点Q(x0,y0)(x0≠0)，设=r, 因为x0≠0,所以角α的终边不在y轴上. sinα=______，cosα=______. 由正切函数的定义,得tanα = = ________= ______. x y o Q(x0,y0) r 由此我们得到一个结论: 若角α的终边上任取一点Q(x0,y0)(x0≠0),则tanα = . 这个结论可以用来计算正切函数值. 典 例 引 路 例2、已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值. 解：r = = 5|a| 当a＞0时，r = 5a,角α在第二象限 sinα= = = , cosα= = = - , tanα= = = - 当a＜0时，r = - 5a,角α在第四象限 sinα= - , cosα= , tanα = - 同 步 练 习 练2、（1）角α的终边经过点P（a,4)且cosα=- ,求tanα的值。 解：由已知可知点P在第二象限，所以a＜0 ∵cosα= - ∴ = - ∴a= -3 ∴tanα= - （2）若角θ的终边与函数y=－2|x|的图象重合，求tanθ的值. 解：∵角θ的终边与函数y=－2|x|的图象重合， ∴θ为第三、四象限的角 若θ为第三象限角，取终边上一点P（－1，－2）则tanθ= = 2 若θ为第四象限角，取终边上一点P（1，－2），则tanθ= =-2 学 习 新 知 正切函数的诱导公式 1、∵ sin(-x)=-sinx , cos(-x)=cosx ∴ tan(-x)=_______ -tanx 2、∵ sin(π+x)=-sinx , cos(π+x)=-cosx ∴ tan(π+x)=_____ 3、∵ sin(π-x)=sinx , cos(π-x)=-cosx ∴ tan(π-x)=______ 4、∵ sin( + x)=cosx , cos( + x)=-sinx ∴ tan( +x)=_____ 5、∵ sin( - x)=cosx , cos( - x)=sinx ∴ tan( +x)=______ 此公式同时说明正切函数y=tanx是______函数 此公式同时说明正切函数y=tanx是______函数，且T=____ 奇 tanx 周期 π -tanx - 注意：1、 2、 3、 记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”. 利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤依据“负化正,大化小,化为锐角再求值”. 角α是可以使等式两边都有意义的任意角. 典 例 引 路 例3、 求值: （1）; （2）; （3） 解 ⑴ = = = ; ⑵= = - = -; ⑶= = -= -. 同 步 练 习 练3、求值： 解：tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1 tan750°=tan(720°+30°)=tan30°= tan(-30°)= -tan30°= - tan(-45°)= -tan45°= -1 ∴原式= = 2+ 典 例 引 路 例4、（1）化简： 解：原式 = = -tanα （2）化简： 解：原式 = = -1 同 步 练 习 练4、化简：·· 解：原式 = ·· = ·(-sinα)·(-tanα)· = -sinα·cosα 典 例 引 路 例5、已知 tan( - α )=,则 tan( +α)=________ 解：tan( +α) = tan[π-( -α)] = -tan( -α) = - 同 步 练 习 练5、若tan(-α-)=-5,则tan( +α)等于（ ） A. 5 B. -5 C. 25 D. 与α的值有关 解：∵tan(-α- ) = -tan(α+ ) = -5 ∴tan(α+ )=5 即tan(α+ +π)=5 ∴tan(α+ )=5 A 典 例 引 路 例6、已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴非负半轴重合，其终边经过 点P(3,-4). （1）求sinα、cosα、tanα的值；（2）求的值 解:（1）∵角α终边经过点P(3,-4)，∴|PO|=5， ∴sinα= - cosα= tanα= - （2）原式 = = -cosα= - 同 步 练 习 练6、已知角α的终边经过点P( , - ) (1)求cosα的值； (2)求·的值. 解:（1）P点到原点O的距离r==1 由三角函数定义有cosα= (2)原式 = · = · = = 同 步 练 习 全 课 总 结 一、正切函数的定义 二、正切函数的周期性和奇偶性 三、正切函数的诱导公式 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $