精品解析：吉林长春市长春净月高新技术产业开发区慧泽学校2025-2026学年八年级下学期期中质量检测（数学）学科试题

2025-2026学年八年级下学期 期中质量检测（数学）学科试题 （满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A的，分母是不含字母的常数，属于整式； 选项B的，分母是不含字母的常数，属于整式； 选项C的，分子是整式，分母是含有字母的整式，符合分式定义； 选项D的，分母是不含字母的常数，属于整式. 2. 在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，3），则点P在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】点P（-2，3）在第二象限， 故选B. 3. 下列各图象中，变量不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项D中的图象，当时，对于每一个，都有两个值对应，不是函数. 4. 如图，□的对角线相交于点，且，则的周长是（     ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线的性质，可得，，且，可推出，由此计算出的数值．将的数值与的长度相加，即可得到的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴． ∴的周长为． 5. 正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围，进而解答即可． 【详解】解：因为正比例函数的图象经过第二、四象限， 所以， 所以一次函数的图象经过二、三、四象限， 故选：D． 【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，关键是根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围． 6. 如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线的性质，先证明为等边三角形，再根据中位线性质，得出结果即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴． 故选：A． 7. 如图所示，矩形的对角线相交于点．若，则四边形的周长是（ ） A. 12 B. 10 C. 18 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即四边形是菱形，即可求出四边形的周长． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图像于C，B两点，若的面积是6，则k的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即，可求出的值． 【详解】解：如图所示：连接、， 轴， ， ， 又的面积是6， ， ， 又图像在第二象限， ． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每题3分） 9. 在函数中，自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】函数要有意义，则分母不能为0，从而得出取值范围． 【详解】∵函数 ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查函数的取值范围，通常考虑2个方面：分母不为0、二次根式内为非负． 10. 将化为最简分式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，点M（，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（2，） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点（，4）关于原点对称的点的坐标为（2，）． 故答案为：（2，）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若直线与线段有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数与线段的交点问题，根据横坐标相同时纵坐标之间的关系正确列出不等式组是解题关键．利用正比例函数图像上点的坐标特征，结合直线与线段有公共点，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 直线与线段有交点， ，解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 14. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是_________．(填序号) 【答案】②③④ 【解析】 【详解】试题解析：根据已知条件不能推出OA=OD，∴①错误； ∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥EF，∴②正确； ∵∠BAC=90°，∠AED=∠AFD=90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∵AE=AF， ∴四边形AEDF是正方形，∴③正确； ∵AE=AF，DE=DF， ∴AE2+DF2=AF2+DE2，∴④正确； ∴②③④正确， 三、解答题（10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简，进而代入数据求出答案． 【详解】解： ； 当时原式． 16. 为推进乡村振兴，建设美丽乡村，某乡村计划安装路灯．已知每盏太阳能路灯的价格比普通路灯贵200元；用12000元采购太阳能路灯的盏数与用9000元采购普通路灯的盏数相同．求每盏太阳能路灯的价格． 【答案】800元 【解析】 【分析】设每盏普通路灯的价格为x元，根据用12000元采购太阳能路灯的盏数与用9000元采购普通路灯的盏数相同，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设每盏普通路灯的价格为x元，则每盏太阳能路灯的价格为元． 根据题意得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． （元）． 答：每盏太阳能路灯的价格为800元． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点、在格点上； （2）在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点、在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】考查作图-中心对称变换、作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画图即可． （2）结合轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画图即可． 【小问1详解】 解：如图①，四边形即为所求． 【小问2详解】 解：如图②，四边形即为所求． 18. 已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意可证△ABE≌△CDF，可得结论． 【详解】证明∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 19. 学校为了学生的健康发展，从七年级开始使用升降桌凳，这些桌凳可以根据人的身高调节高度.该校八年级兴趣小组的同学分组测量，发现每套桌凳有四档高度，测量得到如下数据： 凳高 37 40 42 45 桌高 75 78 82.5 根据数据可知，桌高与凳高成一次函数． （1）求与的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）； （2）在上面的表格中，有一个数据被污染，请求出被污染的数据． 【答案】（1） （2）70.5 【解析】 【分析】（1）设y=kx+b，利用表中的数据，建立方程组，即可求解． （2）令（1）中的x=37，求出y值即可． 【小问1详解】 设桌高y与凳高x的关系为y=kx+b（k≠0）， 依题意得， 解得． ∴桌高y与凳高x的关系式为y=1.5x+15； 【小问2详解】 当x=37时，y=1.5×37+15=70.5， ∴被污染的数据为70.5． 【点睛】此题考查一次函数的应用，难度中等，本题只需仔细分析题意，利用方程组即可求解． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数分别与轴，轴交于，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据函数与不等式的关系，由图像求解即可； （3）设点，由题意求得，，根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 由点在反比例函数的图像上， ， 反比例函数解析式为， ， 将，代入一次函数， ，解得， 所以一次函数． 【小问2详解】 ，即， 则一次函数图像在反比例函数图像下方， 所以解集为或． 【小问3详解】 在一次函数中， 当时，；当时，， ， ， ， 设点， ，解得， 所以点的坐标为． 21. 某人需要经常去复印资料．甲复印店直接按每次印的张数计费，乙复印店可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印店每月的收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题； （1）乙复印店要求客户每月支付的会员费是______元； （2）求出乙复印店收费（元）关于复印量（页）的函数解析式； （3）当每月复印______页时，两复印店实际收费相同． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题中乙复印店每月的收费情况的函数图象求解即可； （2）由题中乙复印店每月的收费情况的函数图象经过点、，通过待定系数法求解即可； （3）由两复印店每月的收费情况函数图象可知，当两个直线相交时两复印店实际收费相同，由（2）中求出的甲函数解析式，再求出乙函数解析式，联立两个函数解析式解方程组即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图可知，当时，， 乙复印店要求客户每月支付的会员费是元； 【小问2详解】 解：设乙复印店收费（元）关于复印量（页）的函数解析式为， 由图可知该函数图象经过点、，则将点代入解析式可得 ，解得， 乙复印店收费（元）关于复印量（页）的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由两复印店每月的收费情况函数图象可知，当两个直线相交时两复印店实际收费相同， 由（2）知乙复印店收费（元）关于复印量（页）的函数解析式为， 设甲复印店收费（元）关于复印量（页）的函数解析式为， 由图可知该函数图象经过点，则将点代入解析式可得， 甲复印店收费（元）关于复印量（页）的函数解析式为， 联立，解得， 当每月复印页时，两复印店实际收费相同． 22. 解决问题 （1）如图，在正方形中，点、分别在边上．已知：，求证：； （2）如图，若将边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中，折痕为，点在边上，点在边上，则折痕______； （3）如图3，在正方形中，，则的最小值为______．（直接填空） 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据，结合角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出； （2）过点作，交于，利用勾股定理可求出，由（1）可得，根据，可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出． （3）连接，作点关于的对称点，连接，，证明，得出，根据轴对称的性质得出点、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于， ∵边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中， ∴，，垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）可知， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接，作点关于的对称点，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴点、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∴． 23. 某校学习小组根据学习反比例函数的经验对的图象和性质进行了探究．过程如下： ⋯ 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 1 4 4 2 1 ⋯ （1）与的几组对应值如表，其中______，自变量的取值范围为______． （2）根据上表数据，在平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； （3）观察图象，写出函数的两条性质： ①_________________； ②_________________． （4）结合函数图象回答： ①关于的方程的解是______； ②关于的不等式的解集是________． 【答案】（1）2， （2）根据表格中给出的坐标，在坐标系中描出所有点， 将侧的点顺次连接为光滑曲线，侧的点顺次连接为光滑曲线， 函数的图象如下图所示： （3）①函数图象关于y轴对称；②函数值，图象始终在x轴上方；（其他正确性质也可：如时，随增大而减小；时，随增大而增大等）． （4）①或；②且 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式计算即可；因为分式分母不能为0，所以自变量的取值范围是． （2）画函数图象时，先根据表格中的对应值在坐标系中准确描出所有点，再用平滑曲线顺次连接和的点，注意图象不与坐标轴相交． （3）总结函数性质可以从对称性、增减性、函数值的取值范围、图象所在象限等角度观察已画出的图象归纳得出． （4）求方程的解，可找直线与函数图象交点的横坐标，或者解含绝对值的分式方程；求不等式的解，先转化为，再找函数图象在直线上方时对应的的取值范围，注意分正负半轴讨论，或者解含绝对值的不等式． 【小问1详解】 解：把代入， 得， ∴； ∵， ∴自变量的取值范围是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：①方程变形得， ∴解得或； ②不等式， ∴， ∴， 解得， 又， ∴解集为且． 24. 如图，在矩形中，，，．动点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A重合时，连结．以、为边构造，设点P的运动时间为秒． （1）的长为________． （2）当时，求证四边形是菱形． （3）当点P在上运动时，设与矩形重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． （4）作点A关于直线的对称点，连结，当时，直接写出t的值． 【答案】（1）5 （2）见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据计算即可． （2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． （3）分点F在上和延长线上，两种情况解答即可． （4）作点A关于直线的对称点，连结，当时，直接写出t的值． 【小问1详解】 解：∵，． ∴， 故答案为：5． 【小问2详解】 解：当时，， ∵ 矩形，，，， ∴P与点D重合，， ∴， ∴， ∵． ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 解：根据题意，得当时，，此时点P与点D重合， 故要使点P在上，得满足，当点P沿着运动3个单位时，四边形是矩形，此时运动总时间为，, 故； 当点F在延长线上时，此时运动总时间为，故， 此时， 故． 【小问4详解】 解：当点P在上时，当时，此时四边形是正方形，满足，此时； 当点P在上时，，延长交与点Q，得 由对称得：，此时， 此时； 综上所述，当或时，． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，正方形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期 期中质量检测（数学）学科试题 （满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，3），则点P在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各图象中，变量不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，□的对角线相交于点，且，则的周长是（     ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 11 5. 正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 7. 如图所示，矩形的对角线相交于点．若，则四边形的周长是（ ） A. 12 B. 10 C. 18 D. 24 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图像于C，B两点，若的面积是6，则k的值是（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（共6小题，每题3分） 9. 在函数中，自变量的取值范围是_______． 10. 将化为最简分式：_________． 11. 在平面直角坐标系中，点M（，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若直线与线段有交点，则的取值范围是______． 14. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是_________．(填序号) 三、解答题（10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 为推进乡村振兴，建设美丽乡村，某乡村计划安装路灯．已知每盏太阳能路灯的价格比普通路灯贵200元；用12000元采购太阳能路灯的盏数与用9000元采购普通路灯的盏数相同．求每盏太阳能路灯的价格． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点、在格点上； （2）在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点、在格点上． 18. 已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF． 19. 学校为了学生的健康发展，从七年级开始使用升降桌凳，这些桌凳可以根据人的身高调节高度.该校八年级兴趣小组的同学分组测量，发现每套桌凳有四档高度，测量得到如下数据： 凳高 37 40 42 45 桌高 75 78 82.5 根据数据可知，桌高与凳高成一次函数． （1）求与的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）； （2）在上面的表格中，有一个数据被污染，请求出被污染的数据． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数分别与轴，轴交于，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 21. 某人需要经常去复印资料．甲复印店直接按每次印的张数计费，乙复印店可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印店每月的收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题； （1）乙复印店要求客户每月支付的会员费是______元； （2）求出乙复印店收费（元）关于复印量（页）的函数解析式； （3）当每月复印______页时，两复印店实际收费相同． 22. 解决问题 （1）如图，在正方形中，点、分别在边上．已知：，求证：； （2）如图，若将边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中，折痕为，点在边上，点在边上，则折痕______； （3）如图3，在正方形中，，则的最小值为______．（直接填空） 23. 某校学习小组根据学习反比例函数的经验对的图象和性质进行了探究．过程如下： ⋯ 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 1 4 4 2 1 ⋯ （1）与的几组对应值如表，其中______，自变量的取值范围为______． （2）根据上表数据，在平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； （3）观察图象，写出函数的两条性质： ①_________________； ②_________________． （4）结合函数图象回答： ①关于的方程的解是______； ②关于的不等式的解集是________． 24. 如图，在矩形中，，，．动点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A重合时，连结．以、为边构造，设点P的运动时间为秒． （1）的长为________． （2）当时，求证四边形是菱形． （3）当点P在上运动时，设与矩形重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． （4）作点A关于直线的对称点，连结，当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $