精品解析：吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区华岳学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023—2024学年第二学期八年级（数学）期中考试试题 ※本试卷共120分，考试时间为90分钟，共6页． 注意事项：请考生将答案全部填写在答题卡上，在试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 3. 以下点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是正方形对角线上一点，连接、，并延长交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一斜坡长米，坡角，则斜坡的铅垂高度为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 10 如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则________． 11. 如果，那么=__________． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13. 如图，四边形ABCD为菱形，对角线，，且AE垂直于CD，垂足为点E，则AE长为______． 14. 已知二次函数y=2（x-h）2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是 ______ ． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，已知二次函数的顶点为（2，），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点． （1）求该函数的解析式； （2）连结AB、AC，求△ABC面积． 18. 某数学实践小组准备测量路灯杆的高度．先从水平地面上一点C处，测得C到路灯杆AB底部B的距离为10米，在C处放置高为1米的测角仪，测得路灯杆顶部的仰角为，求路灯杆的高度（结果保留根号）． 19. 如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，点、、、、、、、均在格点上．在给定的网格中画图或填空，要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）图①中，的值为________． （2）图②中，在找一点，连接、，使． 20. 如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交延长线于点H． （1）求证：． （2）求长度． 21. 某校为提高学生对地震灾害的自救意识，开展了关于地震自救知识的竞赛，现从该校七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（表示竞赛成绩，取整数）：．；．；．；．，下面给出了部分信息： 七年级抽取20名学生的竞赛成绩在组中的数据为：90，91，92，93，93，93，94． 八年级抽取20名学生的竞赛成绩数据为：80，81，82，85，86，88，88，92，92，93，93，94，95，96，96，96，97，97，99，100． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 七年级 八年级 （1）请补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图； （2）统计表中的________； （3）该校七年级有1000人，八年级有1200人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ 22. 寒假期间，阳阳一家自驾游去了离家的梅河口市鸡冠山国家森林公园，如图是阳阳离家的距离与汽车行驶时间之间的函数图象． （1）阳阳他们出发半小时，离家的距离是________； （2）求出段图象的函数关系式； （3）若阳阳他们离目的地还有，求他们行驶了多长时间． 23. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元，据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示） （2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ （3）商场能否平均每天盈利2300元？如能，请求出每件商品降价多少元，若不能，请说明理由． 24. 如图，在中，，，．动点、同时从点出发，点沿向终点运动，速度为每秒个单位长度．点沿射线运动，速度为每秒个单位长度．当点停止运动时，点继续运动，以、为邻边作，设运动时间为秒． （1）________； （2）在点运动的过程中，________（用含的代数式表示）； （3）当平行四边形与重叠部分为四边形时，求的取值范围； （4）当点落在的高线所在直线上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期八年级（数学）期中考试试题 ※本试卷共120分，考试时间为90分钟，共6页． 注意事项：请考生将答案全部填写在答题卡上，在试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数，解题的关键是掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．据此解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是．据此分析即可． 【详解】解：A．，该方程含有个未知数且未知数的最高次数是，故此选项不符合题意； B．，该方程中的未知数的最高次数是，故此选项不符合题意； C．，该方程中的分母含有未知数，故此选项不符合题意； D．，该方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 以下点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断点所在的象限，解题的关键是掌握象限内点的坐标的符号特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．据此分析即可． 【详解】解：A．在轴负半轴上，故此选项不符合题意； B．在第二象限，故此选项符合题意； C．在第四象限，故此选项不符合题意； D．在第三象限，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，解题的关键是掌握最简二次根式满足的两个条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此分析即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．是最简二次根式，故此选项符合题意； C．中的被开方数的因数不是整数，故此选项符合题意； D．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，左右两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：方程， 移项，得：， 两边同时加，得：， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．正确理解和掌握配方法的步骤是解题的关键． 6. 如图，是正方形对角线上一点，连接、，并延长交于点．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据正方形的性质得，，证明，得，再根据三角形的内角和定理可得结论．掌握正方形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：C． 7. 如图，有一斜坡的长米，坡角，则斜坡的铅垂高度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，结合题意，即可得到答案． 【详解】结合题意，得： ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，从而完成求解． 8. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，根据图象所在象限可得到满足条件的k的值． 【详解】如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故答案为：． 10. 如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质得到，由等边对等角得 ，再根据三角形外角的性质可得结论．掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如果，那么=__________． 【答案】. 【解析】 【详解】解：∵，∴，∴，∴=．故答案为． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 13. 如图，四边形ABCD为菱形，对角线，，且AE垂直于CD，垂足为点E，则AE的长为______． 【答案】##4.8##4 【解析】 【分析】由菱形性质得AC⊥BD，OA＝OCAC＝3，OB＝ODBD＝4，再由勾股定理求出CD＝5，然后由菱形的面积公式：•AC•BD＝CD•AE，即可解决问题． 【详解】解：设AC、BD交于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC＝3，OB＝ODBD＝4， ∴， ∵AE垂直于CD，垂足为点E， ∴•AC•BD＝CD•AE， 即6×8＝5AE， ∴AE， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 14. 已知二次函数y=2（x-h）2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是 ______ ． 【答案】h≤3 【解析】 【详解】试题解析：二次函数的对称轴为： 当时,随的增大而增大， 对称轴与直线重合或者位于直线的左侧. 即： 故答案为 点睛：本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 当时, 随的增大而增大，可知对称轴与直线重合或者位于直线的左侧.根据对称轴为,即可求出的取值范围. 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的乘法法则将原式化简，再将代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．也考查二次根式的性质． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）运用直接开方法即可求解； （2）运用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解： 等式两边同时开方得，， 当时，；当时，； ∴原方程的解为：，． 小问2详解】 解： 因式分解得， ∴当时，；当时，； ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查直接开方法，因式分解法解一元二次方程，掌握以上计算方法是解题的关键． 17. 如图，已知二次函数的顶点为（2，），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点． （1）求该函数的解析式； （2）连结AB、AC，求△ABC面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设该二次函数的解析式为，因为顶点（2，-1），可以求出h,k,将A（0，3）代入可以求出a，即可得出二次函数解析式. （2）由（1）求出函数解析式，令y等于0可以求出函数图像与x轴的两个交点为B,C两点，然后利用面积公式,即可求出三角形ABC的面积. 【详解】（1）设该二次函数的解析式为 ∵顶点为（2，） ∴ 又∵图象经过A（0，3） ∴ 即 ∴该抛物线的解析式为 （2）当时，，解得， ∴C（3，0） B（1，0） 得 ∴. 【点睛】熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积公式是本题的解题关键. 18. 某数学实践小组准备测量路灯杆的高度．先从水平地面上一点C处，测得C到路灯杆AB底部B的距离为10米，在C处放置高为1米的测角仪，测得路灯杆顶部的仰角为，求路灯杆的高度（结果保留根号）． 【答案】（米） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解题意，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．先在Rt中求出，再利用即可求出路灯杆的高度． 【详解】解：由题意知：四形是矩形， ∴米，米， 在Rt中， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 答：路灯杆的高度为（）米． 19. 如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，点、、、、、、、均在格点上．在给定的网格中画图或填空，要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）图①中，的值为________． （2）图②中，在找一点，连接、，使． 【答案】（1） （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质， （1）证明，根据相似三角形的性质可得答案； （2）由图②可知，，，而，点需要满足，且与是对应边，它们的比为，所以在上取点，使即可； 通过作图正确地构造出所需要的相似三角形是解题的关键．也考查了正方形的性质． 【小问1详解】 解：如图①， ∵在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：； 【小问2详解】 如图②，取格点，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则点及、即为所作． 20. 如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H． （1）求证：． （2）求长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． ()根据两个角对应相等即可证明； () 根据得到，由，对应线段成比例可得，再结合() ，对应边成比例即可求出的长度； 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 答：的长度为． 21. 某校为提高学生对地震灾害的自救意识，开展了关于地震自救知识的竞赛，现从该校七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（表示竞赛成绩，取整数）：．；．；．；．，下面给出了部分信息： 七年级抽取20名学生的竞赛成绩在组中的数据为：90，91，92，93，93，93，94． 八年级抽取20名学生的竞赛成绩数据为：80，81，82，85，86，88，88，92，92，93，93，94，95，96，96，96，97，97，99，100． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 七年级 八年级 （1）请补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图； （2）统计表中的________； （3）该校七年级有1000人，八年级有1200人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查众数、用样本估计总体以及扇形统计与条形统计图的信息关联， （1）根据各等级人数之和等于总人数求出等级人数，从而补全图形； （2）根据众数的定义求解即可； （3）用七、八年级的学生人数分别乘以成绩优秀的学生人数所占比例即可； 掌握用样本估计总体的方法是正确解答的关键． 【小问1详解】 解：八年级成绩在组的人数为， 补全图形如下： 【小问2详解】 ∵八年级成绩中出现次，次数最多， ∴其众数， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵ （人）， 答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是人． 22. 寒假期间，阳阳一家自驾游去了离家的梅河口市鸡冠山国家森林公园，如图是阳阳离家的距离与汽车行驶时间之间的函数图象． （1）阳阳他们出发半小时，离家的距离是________； （2）求出段图象的函数关系式； （3）若阳阳他们离目地还有，求他们行驶了多长时间． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】考查一次函数的应用， （1）求出线段所对应的函数关系式，求出当时，的值即可； （2）设线段所对应的函数关系式为，把、分别代入得到关于、的方程组，求解即可； （3）把代入所对应的关系式，求出的值即可； 用待定系数法求出函数的关系式是解题的关键，同时要充分了解分段函数的意义． 【小问1详解】 解：设线段所对应的与的关系式为，，过点， ∴， 解得：， ∴线段所对应的与的关系式为：， 当时，， ∴他们出发半小时，离家的距离是， 故答案为：； 【小问2详解】 设线段所对应的与的关系式为：，过点、， ， 解得：， ∴段图像的函数关系式：； 【小问3详解】 ∵离目的地还有， ∴汽车行驶的路程为：，， ∴， ∴， ∴他们行驶了． 23. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元，据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示） （2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ （3）商场能否平均每天盈利2300元？如能，请求出每件商品降价多少元，若不能，请说明理由． 【答案】（1）2x； （2）20 （3）不能，理由见详解 【解析】 【分析】（1）每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元. 商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50-x）元； （2）根据（1）得，单件利润乘以销售量等于利润，得：，解方程选取较大值即可； （3）先根据题意建立方程，判断方程的实数根的情况即可得到答案． 【小问1详解】 解：当每件商品降价x元， 由题意得商场日销售量增加2x件， 每件商品盈利为元， 故答案为：2x，； 【小问2详解】 根据题意得商场的日盈利等于， 当时， 得， ∴， ∴， ∵为了尽快减少库存， ∴每件商品应降价20； 【小问3详解】 由题意得当商场每天盈利2300时，得， ∴， ∵， ∴方程没有实数根， ∴商场每天盈利不能达到2300元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立方程，再解一元二次方程并根据题目要求对方程的解进行取舍． 24. 如图，在中，，，．动点、同时从点出发，点沿向终点运动，速度为每秒个单位长度．点沿射线运动，速度为每秒个单位长度．当点停止运动时，点继续运动，以、为邻边作，设运动时间为秒． （1）________； （2）在点运动的过程中，________（用含的代数式表示）； （3）当平行四边形与重叠部分为四边形时，求的取值范围； （4）当点落在的高线所在直线上时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）秒或秒或秒 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求解， （2）由，根据，代入数据即可； （3）分两种情况，①从点开始运动到点落在上，求出点在上时的值即得到的取值范围；②从点停止运动到点与点重合之前，求出此时的取值范围即可； （4）根据，分三种情况，①点在上，②点在边上的高上，③点在上，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵动点、同时从点出发，点沿向终点运动，速度为每秒个单位长度．点沿射线运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， 当点与点重合时，；当点与点重合时，， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 ①如图，点在上，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴当与重叠部分为四边形时，； ②如图，当点与点重合时，， 当点与点重合时，， ∴当与重叠部分为四边形时，； 综上所述，当平行四边形与重叠部分为四边形时，求的取值范围为或； 【小问4详解】 ∵， ①点在上，此时点、与点重合，则； ②点在边上的高上， 如图，过点作于点上，则点在上， ∵在中，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ③点在上，如图， 由（3）中①的结论可得：， 综上所述，当点落在的高线所在直线上时，的值为秒或秒或秒． 【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，三角形高的定义，等积法等知识点，运用分类讨论的数学思想．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$