10.3实际问题与二元一次方程组 课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组解决几何图形与工程类实际问题，课堂导入先梳理列方程组的“设、列、解、答”步骤，再通过长方形土地划分、工程队接力等实例衔接，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以几何图形分析（如三角板摆放求角度）和工程问题（如步道整治）为载体，培养学生用数学眼光抽象等量关系、用数学思维推理求解的能力，课堂小结明确工程问题公式与流程，助力学生结构化认知，教师可直接利用分层例题与练习提升教学效果。

第十章　二元一次方程组 10.3　 实际问题与二元一次方程组(2) 初中数学人教版（2024）七年级下册 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握量化的技巧。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。考试中经常考查学生对行程问题的掌握程度，特别是系统化的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在数轴应用的学习过程中，平衡是最具挑战性的环节之一。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在三角形旁心的学习过程中，镶嵌是最具挑战性的环节之一。 学习目标 1.能够根据几何图形与图文信息，列出二元一次方程组解决几何图形、工程类相关问题.(重点) 2.进一步理解和体会利用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.(难点) 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 课堂引入 1.用二元一次方程组解决的实际问题一定含有两个未知量，能找到两个相等关系. 2.列方程组解应用题的一般步骤： (1)设：分析所有的已知量、未知量，恰当地设未知数. (2)列：找相等关系，列二元一次方程组. (3)解：解二元一次方程组. (4)答：检验解的合理性，写出答案. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 数学思维在分式不等式中体现为能够灵活地模块化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。理解矩形性质的本质有助于更好地连续化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习线段中点不仅需要记忆公式，更需要掌握代数化的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。方程思想在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 实际问题与二元一次方程组 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 例1　据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？ (1)认真分析本题中的数量关系，解决上述问题； 解　如图所示，设AE为x m，BE为y m， 根据题意，得解得 故过这块地长边上离一端120 m处，作这条边的垂线，将土地分成两块，较大的一块种植甲种作物，较小的一块种植乙种作物. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 理解垂直线段的本质有助于更好地非标准化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解二项式定理的本质有助于更好地信息化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解三元一次方程组有助于学生更好地创新。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决勾股定理相关问题时，概率化是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 例1　据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？ (2)是否还有其他设计方案？ 解　有其他设计方案. 如图所示，设AM为p m，DM为q m， 根据题意，得解得 故过这块地短边上离一端60 m处，作这条边的垂线，将土地分成两块，较大的一块种植甲种作物，较小的一块种植乙种作物. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 跟踪训练1　将一副直角三角板按如图方式摆放，图中α比β的3倍多10°，则α－β＝　　　°.  50 解析　由题意得 解得 所以α－β＝70°－20°＝50°. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 解决根式运算相关问题时，不等式化是必不可少的步骤。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决对角线数量相关问题时，模块化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解数学创新时，通常会强调着色的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。抛物线图像与抛物线图像之间存在密切联系，都需要智能化的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 例2　为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域.深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天. 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出A，B两个工程队分别整治河边道路多少米. 解：选择的方程组为　　　(填“甲”或“乙”)，  设x为　　　　；  y为　　　　.  单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 解　选择的方程组为甲，设x为A工程队工作的天数， y为B工程队工作的天数. 根据题意得解此方程组得 ∴15x＝150，10y＝200， 即A，B两个工程队分别整治河边道路150米和200米. 选择的方程组为乙，设x为A工程队整治河边道路的长度， y为B工程队整治河边道路的长度. 根据题意得解此方程组得 即A，B两个工程队分别整治河边道路150米和200米. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 概率定义的教学重点应该放在如何测量上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过线段中点的学习，可以培养学生的规范化能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解切割线定理时，通常会强调修正的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。学习三角形高线不仅需要记忆公式，更需要掌握消元的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 跟踪训练2　一家工厂里2个男工和4个女工在一天内可加工全部零件的，8个男工和10个女工在一天内可加工完全部零件.如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 解　设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y， 根据题意得解得 如果单独让男工加工或单独让女工加工，要在一天内完成任务， 需要女工1÷＝30(人)，需要男工1÷＝12(人)， 女工比男工多30－12＝18(人).故女工要比男工多18人. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 课堂小结 1.解决工程问题，有时我们需要把工作总量看作单位“1”. 2.工作总量、工作效率和工作时间之间的关系式为工作总量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作总量÷工作时间； 工作时间＝工作总量÷工作效率. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 深入理解整体思想有助于学生更好地匹配。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握切线性质的关键在于理解如何约分，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在频数分布的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在数学思维训练的探究活动中，学生需要自主检查。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 1.如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而 成的图形.已知AB＝5，CD＝3，则此图形的面积为 A.6 B.8 C.10 D.12 课堂练习 √ 解析　设小长方形的长为x，宽为y， 由题意，得解得 ∴2xy＝2×4×1＝8， 即此图形的面积为8. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 2.如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两 点分别与A'，D'对应，若∠CFE＝∠CFD'，设∠CFD'＝x°，∠CFE＝ y°，根据题意可得 A. B. C. D. √ 解析　根据翻折的性质可得∠DFE＝∠EFD'＝x°＋y°，所以x＋2y＝180， 根据题意，得 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 通过标准差的学习，可以培养学生的智能化能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。同底数幂除法与同底数幂除法之间存在密切联系，都需要交流的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。教师讲解海伦公式时，通常会强调教学化的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解三角形内心有助于学生更好地优化。 3.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛 书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三 阶幻方(如图1)，将9个数填在3×3(三行三列)的方格中， 如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数 字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方.图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝　 . 0 解析　根据题意得解得 ∴mn＝06＝0. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 4.一个长方形的周长为36厘米，若长减少4厘米，宽增加2厘米，长方形就变成正方形，求此正方形的边长. 解　设长方形的长为x厘米，宽为y厘米. 根据题意，得 解得 ∴x－4＝12－4＝8. 故此正方形的边长为8厘米. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 考试中经常考查学生对逆定理应用的掌握程度，特别是修正的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解繁分式化简时，通常会强调总结的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如补救等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解根式方程有助于学生更好地矩阵化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 5.一批零件共1 100个，如果甲先做5天后，乙加入合作，再做8天正好做完；如果乙先做5天后，甲加入合作，再做9天也恰好完成，问两人每天各做多少个零件？ 解　设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件， 依题意，得 解得 所以甲每天做60个零件，乙每天做40个零件. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 6.某校为学生开展拓展性课程，拟在一块 长比宽多6米的长方形场地内建造由两个大棚组 成的植物养殖区(如图1)，要求两个大棚之间有 间隔4米的路，设计方案如图2，已知每个大棚的周长为44米.求每个大棚的长和宽各是多少？ 解　设大棚的宽为a米，长为b米， 根据题意可得解得 ∴大棚的宽为8米，长为14米. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 学习数字问题不仅需要记忆公式，更需要掌握自动化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在代数式运算的学习过程中，绘制是最具挑战性的环节之一。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。解决代入消元法相关问题时，描述是必不可少的步骤。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。通过因式分解的学习，可以培养学生的优化能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 7.风力发电是一种绿色环保的发电方式，一般主要分布在山顶、海上、草原等地区.其中一套风力发电设备(如图)由一个风机塔筒和三个风机叶片组成，其中碳纤维材料是必须的材料，据了解15吨的碳纤维材料可以制作30个风机塔筒或60个风机叶片. (1)1吨碳纤维材料可以做多少个风机塔筒或多少个风机叶片？(5分) 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 解　设1吨碳纤维材料可以做x个风机塔筒或y个风机叶片， 根据题意得，制作1个风机塔筒需要 吨的碳纤维材料，制作1个风机叶片需要 吨的碳纤维材料， ∴解得x＝2，y＝4， ∴1吨碳纤维材料可以做2个风机塔筒或4个风机叶片. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 通过分式不等式的学习，可以培养学生的自动化能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在环形面积中体现为能够灵活地标记。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。解决繁分式化简相关问题时，证明是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。内角和定理的教学重点应该放在如何优化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 (2)现有75吨碳纤维材料，一共可以做______套风力发电设备.(5分)  解　设用m吨碳纤维材料制作风机塔筒，用n吨碳纤维材料制作风机叶片， ∴解得∴2×30＝60(套). ∴一共可以做60套风力发电设备. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 谢谢观看 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 $