专题1.1 集合【8类必考点分类集训】-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以8大必考点分类集训为框架，构建“概念理解-关系判断-运算应用-综合创新”的递进式训练体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |元素与集合关系|5题|判断元素从属关系，含多选与参数填空|从集合基本概念出发，夯实元素确定性、互异性核心素养| |集合间关系|10题（含5道参数题）|判断包含关系及参数求解，结合Venn图|由静态关系判断到动态参数讨论，培养逻辑推理能力| |集合运算与创新|15题（含5道新定义）|交并补运算、参数范围及新定义应用|从常规运算到情境创新，体现数学语言表达现实世界的素养|

专题1.1集合（必考点分类集训） 【考点1：元素与集合的关系】 2 【考点2：集合中元素的个数】 2 【考点3：求集合的子集（真子集）】 3 【考点4：集合间基本关系的判断】 4 【考点5：由集合间的基本关系求参数值】 5 【考点6：集合的基本运算】 5 【考点7：与集合运算有关的参数问题】 6 【考点8：集合的新定义】 7 【考点1：元素与集合的关系】 1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 4．（多选）（25-26高一上·广东·期末）（多选）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 5．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【考点2：集合中元素的个数】 1．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 3．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 4．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【考点3：求集合的子集（真子集）】 1．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 3．（2026·湖北襄阳·二模）已知集合 ，⫋则符合条件的集合B的个数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 5．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 【考点4：集合间基本关系的判断】 1．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南郑州·期末）已知集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2027高三·全国·专题练习）已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一上·广西河池·期中）（多选）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【考点5：由集合间的基本关系求参数值】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点6：集合的基本运算】 1．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西大同·三模）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·天津·模拟预测）已知全集，，则（ ） A． B． C． D． 5．（2026·天津河东·二模）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【考点7：与集合运算有关的参数问题】 1．（2026高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 2．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 3．（2026高一上·江苏·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 4．（25-26高一上·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 5．（25-26高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【考点8：集合的新定义】 1．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 2．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 3．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 4．（25-26高一上·重庆·期末）“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 5．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 一、单选题 1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知全集，集合，，它们的关系如图（Venn图）所示，则阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）给出下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·天津和平·三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·一模）已知集合，，若，则的值不可能为（    ） A． B． C． D．3 5．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 6．（2026高三·全国·专题练习）用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、多选题 7．（25-26高一·全国·课后作业）设集合，集合，若，则可能是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）设是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的，都有（除数），则称是一个数域.则关于数域的理解正确的是（    ） A．有理数集是一个数域 B．整数集是数域 C．若有理数集，则数集必为数域 D．数域必为无限集 3、 填空题 9．（25-26高一下·上海·期中）已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和.若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为________. 10．（25-26高二下·重庆·期中）设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为________ 四、解答题 11．（25-26高二下·上海松江·期中）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 12．（山西太原新希望双语学校、第四中学校等校2025-2026学年高二下学期5月份过程性素质评价数学试题）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1集合（必考点分类集训） 【考点1：元素与集合的关系】 2 【考点2：集合中元素的个数】 4 【考点3：求集合的子集（真子集）】 6 【考点4：集合间基本关系的判断】 8 【考点5：由集合间的基本关系求参数值】 10 【考点6：集合的基本运算】 12 【考点7：与集合运算有关的参数问题】 14 【考点8：集合的新定义】 16 【考点1：元素与集合的关系】 1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到集合表示小于的无理数，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 2．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【答案】B 【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴. 4．（多选）（25-26高一上·广东·期末）（多选）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 5．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【答案】 【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论. 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 【考点2：集合中元素的个数】 1．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 2．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 3．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法求出集合即可. 【详解】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C 4．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 5．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，根据题意，结合，准确运算，即可求解； （2）假设集合C中只有个元素，结合题意，得到方程，结合一元二次方程的性质，即可得证. 【详解】（1）若，则，若，则， 若，则， 当时，集合中必含有另两个元素、； （2）假设集合中只有一个元素，由题意可知， 集合为单元素集合，， 即，而，则此方程无实数解， 假设不成立，集合不可能是单元素集合． 【考点3：求集合的子集（真子集）】 1．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 2．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C即可得答案. 方法二：转化为求集合的任意一个真子集的个数求解即可. 【详解】方法一：因为集合，， 所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个． 方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素， 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集， 因为集合的真子集的个数为， 所以满足条件的集合C有 3．（2026·湖北襄阳·二模）已知集合 ，⫋则符合条件的集合B的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法表示出集合，再根据给定条件即可求出集合的可能情况. 【详解】集合，， 所以可能的取值为，即集合，是的真子集，有个，故C正确． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【答案】 2 13 【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可. 【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个； （2）集合的子集共有个， 其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 5．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 【分析】（1）解方程得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解. 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 【考点4：集合间基本关系的判断】 1．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 2．（25-26高三上·河南郑州·期末）已知集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别化简集合，利用集合相等的概念、集合间的包含关系以及交集运算即可求解． 【详解】， ， 则，，故B正确；A、C错误； ，故D错误； 故选：B． 3．（2027高三·全国·专题练习）已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过证明和，来判断与的相等关系． 【详解】对任意，有且，从而有且，进一步，即，所以； 对任意，有，从而有且，进一步有且，即，所以． 综上所述，有． 故选：C． 4．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两集合中的数字特征，即可得出两集合的关系. 【详解】由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的子集，即， 故选：B 5．（多选）（25-26高一上·广西河池·期中）（多选）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 【考点5：由集合间的基本关系求参数值】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 2．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由，得，进而得到关于的方程，结合集合的性质求解即可. 【详解】由，得， 所以或或，解得或或或. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，符合题意. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 故. 3．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 4．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 5．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】化简集合分式不等式等价于，解得，即， 化简集合由得，即； 根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于， 要让区间完全落在内，只需满足：解得， 即的取值范围为. 【考点6：集合的基本运算】 1．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解不等式可得或， 解得或，即，又已知. 对选项A：，故A错误. 对选项B： 取，但，故，故B错误. 对选项C： 对任意，都满足，符合中元素的取值要求，即，故，故C正确. 对选项D：，取，且，故，故D错误. 2．（2026·山西大同·三模）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，解得， ； ，解得， ； ， ． 3．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，根据集合的交集和补集求解即可. 【详解】因为，，所以. 4．（2026·天津·模拟预测）已知全集，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集、并集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以，. 5．（2026·天津河东·二模）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的运算即可求解． 【详解】由题可得，，， 所以，则． 【考点7：与集合运算有关的参数问题】 1．（2026高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】由补集和交集的概念可得出答案. 【详解】已知，则， ，且， 所以. 故答案为： 2．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 3．（2026高一上·江苏·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【详解】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 4．（25-26高一上·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）代入条件后用补集与并集的运算即可求解； （2）根据条件得，进而可求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 或 或 所以或 （2）因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得， 故实数的取值范围 5．（25-26高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 【考点8：集合的新定义】 1．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 2．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 3．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 【答案】8 【分析】根据给定条件，从1开始依次取值讨论求解. 【详解】当，2时，无法满足中的元素是3的倍数，故舍； 当时，集合元素的总和为6，每部分和应为2，但中必须包含3， 其和，故舍； 当时，集合元素的总和为10，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为15，每部分和应为5，中必须包含3， 需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时，剩余元素分配给， 无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍； 当时，集合元素的总和为21，每部分和应为7，中必须包含3和6， 此时和为，故舍； 当时，集合元素的总和为28，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为36，每部分和应为12，中必须包含3和6， 需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时，剩余元素分配给， 取奇数，和为12，取偶数，和为12，满足所有条件， 故的最小值为8. 4．（25-26高一上·重庆·期末）“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 【答案】 /0.4 【分析】根据“杰卡德距离”的定义，求出集合的元素个数即可；利用并集、交集的性质求出的最大值、的最小值，进而求出的最大值. 【详解】当，时，，， 所以； 由，得，由，得， 因此，，则， 所以的最大值为. 故答案为：； 5．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)21. 【分析】（1）根据“同形点”定义直接写出答案即可； （2）分、、以及讨论即可； （3）讨论存在和恒成立的情况即可. 【详解】（1）， 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0， 故其“同形点”为. （2）的＂同形点＂的个数为．证明如下： 设，由题：取集合． 若为的＂同形点＂，应有，且． ①当时，若且，取为， 则与的交集元素个数为0， 此时为的＂同形点＂，共有个； ②当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ③当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ④当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个． 综上可得的＂同形点＂的个数为． （3）的最小值为21． 证明如下： 首先当时，，由对称性不妨设中元素个数不少于11， 对于，设的元素个数为， 若存在，因为，所以存在，有， 不妨设，则中至少一个是的＂同形点＂； 若恒成立，因为，所以存在， 有，因为， 所以存在，使得，不妨设，则为的＂同形点＂． 其次当时，不妨设； ①若，则，取可得其无＂同形点＂； ②若，则， 取， 可得其无＂同形点＂； 综上的最小值为21． 一、单选题 1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知全集，集合，，它们的关系如图（Venn图）所示，则阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给关系图（Venn图），可知是求 ,由此可求得答案. 【详解】根据题意可知，阴影部分表示的是， 故， 故选:C. 2．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）给出下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系逐一判断． 【详解】0不属于空集，故①错误，是整数，故②正确，，故，③正确， 是正整数集，不是其子集，故④错误， 是点集，不是其子集，故⑤错误，，故⑥错误， 故选：B 3．（2026·天津和平·三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】由，可得，，故， 故选：B 4．（2026·河北邯郸·一模）已知集合，，若，则的值不可能为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】求出或，利用，得. 【详解】集合，或， ， ， 的值不可能为. 故选：A. 【点睛】本题考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题，属于中档题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，借助数轴求解参数的范围. 5．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解. 【详解】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B 6．（2026高三·全国·专题练习）用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案. 【详解】因为，，所以或， 由，得， 关于x的方程， 当时，即时，易知，符合题意； 当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意； 当时，即时，方程 无实根， 若a=0，则B={0}，，符合题意， 若或，则，不符合题意. 所以，故. 故选：B. 【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目. 二、多选题 7．（25-26高一·全国·课后作业）设集合，集合，若，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，可得或或，进而可求出的值． 【详解】因为， 所以或或， 则或或， 解得或或. 故选：ACD. 8．（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）设是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的，都有（除数），则称是一个数域.则关于数域的理解正确的是（    ） A．有理数集是一个数域 B．整数集是数域 C．若有理数集，则数集必为数域 D．数域必为无限集 【答案】AD 【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可求解. 【详解】对于A，若，则，所以有理数集是一个数域，故A正确； 对于B，因为所以，所以整数集不是数域，故B不正确； 对于C，令数集，则但，故C不正确； 对于D，根据定义，如果在数域中，那么（为整数），都在数域中，故数域必为无限集，故D正确. 故选：AD. 3、 填空题 9．（25-26高一下·上海·期中）已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和.若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为________. 【答案】2560 【分析】利用A集合的所有子集中，每个元素出现的次数为，计算出集合中所有非空子集的“变项和”的总和. 【详解】A集合的所有非空子集中，每个元素出现的次数都是， 则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为 . 10．（25-26高二下·重庆·期中）设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为________ 【答案】16 【分析】设四个变量中1的个数为，-1的个数为，由总和为1，得，对可行的值分类讨论，用组合数计算每类元素个数后求和即可. 【详解】设中有个取值为1，个取值为-1， 则剩余个取值为0，其中均为非负整数且满足. 由，得 ，即. 当时，，只需从4个位置中选1个放置1，其余均为0，共有种情况； 当时，，先从4个位置中选2个放置1，再从剩余2个位置中选1个放置-1，最后1个位置为0，共有种情况； 当时，，此时，无符合条件的组合. 综上所述，满足条件的元素总个数为. 四、解答题 11．（25-26高二下·上海松江·期中）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出集合，再根据集合并集求解即可. （2）根据得到，再根据集合之间的包含关系求解即可. 【详解】（1）由题意得， 所以， 当时，， ， （2），， ①若，则，解得； ②若，要使，则应满足． ，即，解得， 综上所述，所求实数a的取值范围是． 12．（山西太原新希望双语学校、第四中学校等校2025-2026学年高二下学期5月份过程性素质评价数学试题）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． 学科网（北京）股份有限公司 $