河南项城市第三高级中学2025-2026学年下学期期中考试高一数学试题

项城三高2025-2026学年度下期期中考试 高一数学试卷 (满分150分，考试时间120分钟) 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卡上。 第I卷（选择题） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题所给的选项中，只有一项 是符合要求的。) 1.设复数z满足i=1+2i,则z的共轭复数为() A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i 2.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OAB'C', 则原梯形面积为() A.√2 B.2√2 45o C.32 D.4√2 A 3.己知平面向量a,b不共线，AB=3a+35,BC=-a+3b,CD=a+36,则() A.A,C,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,B,D三点共线 D.B,C,D三点共线 4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=1,A=135°，则 b+2c 的值 sinB+2sinC 为() A.2W2 B.2 c. D.② 2 4 5.已知在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点，则(A+AF)BD= () A.-6 C.0 D.-9 2 6.己知直线a,b,c,下列命题中正确的是() 高一数学试题第1页（共4页) A.若a⊥c,b⊥c,则a//b B.若a/b/1c,则a,b,c共面 C.若a//b,c⊥a,则c⊥b D.若a,b异面，b,c异面，则a,c异面 7.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，若c=acos B,则△ABC的形状为 () A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3 7 8.已知一圆台的上底面半径为1，高为子体积为年，则该圆台的侧面积为() A. 35元 B.I5ne c.15m D.5元 4 2 4 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.设z是z的共轭复数，则下列说法正确的是(). A.2=z2 B若京测则-1 C.2=z2 D.z+z是实数 10.已知向量a=（-3,2),b=(2,1),c=（2,-1),1∈R,则() A.a.b=-4 B.若a/c,则元= 2 c.若alc,则=-2 D。右6与的夹角为钝角、则久的取值前里是〔兮 11.如图，在三棱柱ABC-ABC1中，E,F,G,H分别为BB,CC1,AB1,AC1的中点，则下列说 法正确的有() A.E,F,G,H四点共面 E吲 B.EG,FH,AA三线共点 B G C.此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 高一数学试题第2页（共4页) D.在空间，到A,B,C三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 第II卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12.己知复数z满足z·z+2z=8+6i,则z= 13.已知向量a=(2,1),b=(1,m,若a1(a-),则= 14.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+bcosA=b2+acos B,且a≠ b,则c= 四、解答题：（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.(13分)已知i是虚数单位，复数z=(2-5m+6)+(m2-3m)i,meR. (1)当复数z为实数时，求的值： (2)当复数z为纯虚数时，求m的值. 16.(15分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，AB1AC,AB=4,AC=4V3,A41=4W6, 点E,F分别为棱BC,AB的中点. A B (1)证明：直线EF/1平面AACC； (2)求异面直线EF与BC所成的角的大小. 高一数学试题第3页（共4页） 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos B+bcosA=2 ccos A (1)求A的大小： (2)若a=7,b+c=13,求△4BC的面积。 18.(17分)如图所示，在平行四边形ABCD中，A8=a,AD=i,BM=2BC, 22 AN=1AB. (1)试用向量a,b来表示DN,AM: D (2)AM交DN于O点，求AO:OM的值. 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行 四边形，M,N,O分别为BC,PA,PB的中点 (I)求证：点Q,N,C,D四点共面 (2)求证：平面NO/平面PCD. B (3)在线段PD上是否存在一点E,使得N/I平面ACE? 若存在，求出阴的位：若不存在，请说明理由 高一数学试题第4页（共4页）高一下期期中数学考试参考答案 题号 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 C 0 A B 0 C ABD ABC 题号 11 答案 ABC 1.C 【详解】已知i=1+2i,变形得z=1+2i_1+2i_1-2 2 2-i, i -1 则z=2-i的共轭复数为2+i. 2.D 【详解】过C作CD⊥AO,垂足为D',如下图： C /0 D A” 由题意可得(4o+B'C)CD1=2,1oC1=V2CD, 由斜二测画法，还原可得下图： B A 易知Aol=A0l,|B'C=|BC,loC=2loCI=22cD, 所以原梯形面积为04o+Bc)-oc=04o+B'C)22CD1=45 3.A 【详解】对于A,AC=AB+BC=(3a+36)+(-a+36)=2a+65=2(a+3b), 又CD=a+3b,因此AC=2CD, AC与CD共线，且两个向量有公共点C,因此A,C,D三点共线， 选项B,AB=3a+3b,AC=2a+6b,不存在实数1使AB=AC,不共线： 选项C:AD=AB+BC+CD=3a+9b,，AB=3a+3b,不存在实数1使AB=AD,不共线 选项D:BC=-a+3b,CD=a+3b,不存在实数2使BC=CD,不共线 答案第1页，共7页 4.B =a1 【详解】由正弦定理，得sinB sinc =√5 sinA√2 所以 b+2c a =√2 sinB+2sinc sinA 5.D 【详解】如图，以A为坐标原点O,以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平 面直角坐标系， D O(A) 则A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1) E,F分别为BC,CD的中点， 2. A正+AF=6,,BD=(←2，)， 证+西丽=3x(2+}1= 3 -2 6.c 【详解】A.若a⊥c,b⊥c,则a/b,a与b相交或异面，故错误； B.若a/b/1c,a,b,c不一定在同一平面内， D A B 如在正方体中， ,A411BB/CC,但A4,BB,CC1不共面， D 故错误： C.由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条，故正确： D.若a,b异面，b,c异面，则a,c不一定异面， 答案第2页，共7页 C B 如在正方体中， AA与CD异面，CD与BB异面，但 AA//BB,故错误；故选：C 7.A 【详解】由正弦定理将边化为角可得sinC=sin Acos B, ysinC=sin(-B-A)=sin(A+B)=sin Acos B+sin B cosA, sin Acos B=sin Acos B+sin B cos A,sin B cosA=0, 由A,B∈(0，，故sinB≠0，则cosA=0,故A=匹 即△ABC的形状为直角三角形 8.C 【详解】设圆台的下底面半径为r, 由思意知++×子， 37 整理得r2+r-6=0,解得r=2（负值舍去)， 设圆台的母线长为，则1=2-+目)子 所以该圆台的侧面积为S=π1+2列×。-15π 44 h: 9.ABD 【详解】设z=a+bi,a,beR,则z=a-bi, 对于A,五=(a+bi)(a-bi)=d2+b=,故A正确： 对于B,乞=上即为2=1，由A可得-1z,故=1，故B正确： 答案第3页，共7页 对于C,取z=i,则z=1,z2=-1,z≠z2,故C错误： 对于D,z+z=2aeR,故D正确 10.ABC 【详解】由向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(2,-1),1∈R, 对于A,由向量数量积的坐标运算，可得a.b=-3×2+2x1=-4,所以A正确： 对于B,由正，可得-3()=2，解得2-子所以B正确： 对于C,由aL8,可得a8=-32+2x()-0,解得1=子所以c正确： 对于D,因为b与c的夹角为钝角，则向量满足bc<0且五与c不共线， 由8-211()21k0,可得号 当与c共线时，即/c时，则满足2×(-1)=1×2，解得1=-2， 综上可得，实数的取植范围为-m,2(之》，所以D错误 11.ABC 【详解】对于A,如图，连接EF,GH, B G 因为GH是△ABC的中位线，所以GHIB,C, 因为B,E//C1F,且BE=CF,所以四边形BEFC1是平行四边形， 所以EF∥B,C1,所以EF/GH,所以E,F,G,H四点共面，故A正确： 对于B,如图，延长EG,FH相交于点P, 因为P∈EG,EGc平面ABBA,所以PE平面ABBA, 因为P∈FH,FHc平面ACC1A,所以PE平面ACCA, 因为平面ABBA∩平面ACC1A=AA, 答案第4页，共7页 所以P∈AA,所以EG,FH,A4三线共点，故B正确： 对于C,先考虑侧面，3个侧面将空间分为7部分，再考虑两个底面，两个底面切割后将空 间分为7×3=21个部分，C正确： 对于D,到A,B,C三个顶点距离相等的点的轨迹是一条经过△ABC重心且垂直于平面ABC 的直线，D错误. 12.-1+3i 【详解】设z=a+bi,a,b∈R,则z=a-bi, ..z.7=d+b2, 代入原式得a2+b2+2a+2bi=8+6i, （d+b+2a=8,即 [d2+2a+1=0 a=-1 ，解得 2b=6 =3 b=3 .z=a+bi=-1+3i. 13.3 【详解】由向量a=(2,1),b=(1,m),得a-b=(2,1)-(1,m)=(1,1-m), 又因为a1(a-b),得a.(a-b)=0,所以(2,1)·(1,1-m)=2+1-m=0,解得m=3. 14.1 【详解】根据余弦定理得：a+b.+cd=B+a口+c2-6 2bc 2ac 即r-6+你+c2-)(女+c2-)-0,整理得cG-b)+-G=0, 2c 即(a2-b2)(c-1)=0,因为a≠b,所以c=1. 15.(1)m=0或=3；(2)m=2 【详解】(1)由复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i,m∈R, 当复数z为实数时，m2-3=0,解得：=0或l=3. (2)由复数z=(m2-5m+6)+(m2-3mi,meR, m2-5+6=0 当复数z为纯虚数时， 2-3≠0 ，解得：m=2 16.①证明见解折：(@号 答案第5页，共7页 【详解】(1)连接AC,由已知条件，点E,F分别为棱BC,AB的中点， 故有EFI/AC, 又EF4平面AACC,ACc平面A4CC, 所以直线EF/1平面AACC; A (2)由(1)可知EF/1AC,BC∥BC, F 故∠BCA或其补角为异面直线EF与BC所成的角. 因为AB L AC,AB=4,AC=4√3，所以 BC=AB2+AC2=8, 根据直三棱柱性质可知，A4⊥AB,A4⊥AC，所以BA=VAA2+AB2=4W7, CA=V4A2+AC2=12, 在△ACB中，由余弦定理得coS∠BC4= +2-451, 2×8×12 2 又∠BC4∈(0，π)，故∠BCA=, 3 即异面直线EF与BG所成的角的大小为亚 17.①A-背：@105 【详解】(1)因为acos B+bcosA=2 ccos A, 由正弦定理可得：sin Acos B+sin B cos A=2 sinCcosA, 即sin(A+B)=2 sinC cosA,在△ABC中，sin(A+B)=sinC>0, 所A克因为4@可，所以A=骨 1 (2)由(1)知，cosA=2,因为a=7,b+c=13, 由余弦定理，得：a2=b2+c2-2 bc cos A=(b+c)2-3bc 即49=13-3，得c=40,所以a4BC的面积S=bcsin=x40x5 2 10W5. 2 2 180Dw-a五，-a+6:@品 答案第6页，共7页 【详解】(1)由N=A正，得AN=ā，所以DN=-4D=ā-万， 4 由-号C,得丽-号而-6，所以丽-丽-丽=+。 (2)设A0=W,则D0=A0-AD=AM-AD=a+2D-i=a+径元-16， 由D0,N三点共线，得存在实数使D0=uD成=i-可)=i-历， 仙的最a6不头线，得及京，号1=，解得1=品从号 6 因此A0:AM=所以A0:OM=品 -11 190证明见解折：®证明见解析：⊙存在，5} 【详解】(1)证明：N,Q分别为PA,PB的中点，∴.NQ∥AB, :底面ABCD是平行四边形，.AB∥CD NQ∥CD,所以点2，N,C,D四点共面 (2)由(1)知Ng∥AB,因为NO文平面PCD,CDc平面PCD,∴.NQ∥平面PCD. M,O分别为BC,PB的中点，M0∥CP, 因为MQt平面PCD,CPc平面PCD,.MQII平面PCD 又NQ∩MQ=Q，,NQ,MQC平面MNQ,所以平面MQ/1平面PcD. (3)线段PD上存在一点E,使得N1/平面ACB,且g= PD 2 证明如下：取PD的中点E,连接WE,CE,AE, 因为N,E,M分别是PA,PD,BC的中点，BC∥AD,BC-AD, 所以NE‖MC,NE=MC,所以四边形MCEN是平行四边形， 所以WME,因为MN文平面ACE,CEc平面ACE, 所以N/平面ACB,此时PE=上。 PD2 答案第7页，共7页