精品解析：河南郑州市学森实验学校2025-2026学年高一下学期5月期中学情调研数学试题

2025—2026学年下学期期中学情调研 高一年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. 甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（　　） A. 30人，30人，30人 B. 30人，45人，15人 C. 20人，30人，40人 D. 30人，50人，10人 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抽样比，然后根据抽样比即可求出各校应抽取的学生数. 【详解】解：先求抽样比＝， 再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30（人），乙校抽取5 400×＝45（人），丙校抽取1 800×＝15（人）， 故选：B. 3. 若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，得，，化简后再结合两向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】设与的夹角是，，，即 ①， 又，，即 ②， 由①②知，， ，所以与的夹角为. 故选：B 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可求解. 【详解】由，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以，又，所以. 故选：D. 5. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（ ） A. 若，，且，则与为异面直线 B. 若，，且，则 C. 若，，且，则与为异面直线 D. 若，，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系依次判断即可． 【详解】对于A，若，，且， 则与为异面直线或平行直线或相交直线，故A错误； 对于B，若，，且， 则，，故B正确； 对于C，若，，且，则与可能为相交直线，如下图所示： 所以若，，且，则与为异面直线为假命题，故C错误； 对于D，若，，且，则与可能相交，如下图所示： 也可能为异面直线， 所以若，，且，则为假命题，故D错误. 6. 白塔和乌塔被称为“榕城双塔”．白塔位于山西麓的定光寺塔，因通体白色而得名，唐天祐元年（904年）由闽王王审知创建，明嘉靖间重建，为七层八角砖塔．为了测量白塔的高度，高一某研究性学习小组设计了测量方案．如图，白塔垂直于水平面，他们选择了与白塔底部在同一水平面上的两点，测得米，在两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则白塔的高度约为（ ） A. 45米 B. 50米 C. 55米 D. 60米 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系及余弦定理列式求解. 【详解】设米，在中，，则， 在中，，则， 在中，，由余弦定理得，解得， 所以白塔的高度约为45米. 7. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 8. 如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合球和圆柱的表面积公式求解. 【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有，故 所以剩余几何体的表面积为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（   ） A. 若复数满足，则 B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. 若复数是纯虚数，则实数或 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据复数的坐标表示求解；对于C：根据纯虚数的概念列式求解；对于D：根据复数模长的几何意义运算求解. 【详解】对于A：例如也满足，故A错误； 对于B：复数在复平面内对应的点为，该点在第二象限，故B正确； 对于C：若复数是纯虚数，则满足， 解得，故C错误； 对于D：因为复数满足，则复数对应的点构成的图形为圆环， 它的面积为，故D正确． 10. 在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，B使用三角形全等判定定理即可判断；对于选项C，利用正弦定理判断；对于D使用余弦定理计算即可判断. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则，因，结合正弦函数的图象可知角B有两解，一个是锐角，另一个是钝角，故C错误； 对于D，由余弦定理得，，故仅有一解，即D正确． 11. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面平面，则 B. 平面 C. 异面直线与所成的角为 D. 四棱锥的体积为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用中位线得出两条线段平行，再根据线面平行的性质可判断A选项，取中点构造三角形，通过边长关系判断是否垂直，可判断B选项，将异面直线所成角转化为与之平行的两条相交直线的夹角，利用等边三角形的内角得出角度即可判断C选项，四棱锥的高为已知棱长，底面为梯形，通过面积割补法求得底面面积，再代入体积公式计算可判断D选项. 【详解】对于A，分别为的中点， ．又平面，平面， ∴平面． 又平面平面，平面，， 又，，故A正确． 对于B，设的中点为，连接，则． ，， ，不满足勾股定理逆定理， 与不垂直，则与平面不垂直． 又，与平面不垂直，故B错误． 对于C，，而为等边三角形， ，即异面直线与所成的角为，故C正确． 对于D，四棱锥的高为，. 四棱锥的体积为，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和斜二测画法可知四边形为直角梯形，且，从而可求出原图形的面积. 【详解】 过点作，则， 在等腰中，. 所以原图形中， 所以. 13. 已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】 ，因此是直角三角形，如下图所示： 过作，垂足为，因为，所以， 又因为为的中点，所以为的中点， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 14. 中，若 ，，则点的轨迹一定通过的______心． 【答案】 内心 【解析】 【分析】通过判断两个同向单位向量之和的方向与的角平分线方向一致，即可推导点P的轨迹经过的三角形特殊点 【详解】因为是与同向的单位向量， 是与同向的单位向量，所以二者模长相等， 根据向量加法的平行四边形法则，两个模长相等的向量的和的方向， 与两向量夹角的角平分线方向一致， 因此的方向与的角平分线方向一致， 由 ， ，可知： 与共线，即点P在的角平分线上， 又因为三角形的内心是三个内角角平分线的交点， 因此点P的轨迹一定通过的内心。 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证； （2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解. 【小问1详解】 在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． 【小问2详解】 由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 16. 在菱形中，，，，. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）不是定值，取值范围为. 【解析】 【分析】（1）以，为基底，利用向量线性运算表示，对比即可得出与的值； （2）利用数量积的定义结合第一问的结论可求的值； （3）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据在线段上，可得，，结合坐标计算即可得出范围. 【小问1详解】 因为，，所以, 又因为，所以，，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 在菱形中，，所以，所以 【小问3详解】 以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 由菱形边长为，，得，，，， 因为，易得，由可得， 在线段上，则 ，. ，，所以，又， 所以，又因为，所以. 故不是定值，取值范围为 . 17. 在内蒙古草原上，牧民们为了更好地储存和运输牛奶，设计了一种特殊的容器.如图，该容器的上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆柱.已知圆柱的底面直径为40 cm，高为50cm，圆锥的高为20cm. （1）若容器壁的厚度忽略不计，求该容器的容积； （2）为了美观和耐用，牧民们计划在容器的外表面涂上一层特殊的防水涂料，求需要涂防水涂料的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥和圆柱的体积公式计算容积. （2）利用圆锥、圆柱的侧面积公式求容器的表面积. 【小问1详解】 圆锥的底面半径为20cm，高为20cm，所以圆锥的容积为： （）， 圆柱的底面半径为20cm，高为50cm，所以圆柱的容积为： （）， 所以该容器的容积为： （）. 【小问2详解】 圆锥的侧面积为：（）， 圆柱的侧面积为：， 圆柱的底面积为：（）. 所以需要涂防水涂料的面积为：（）. 18. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 19. 如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且． （Ⅰ）若为线段的中点，求证平面； （Ⅱ）求三棱锥体积的最大值； （Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）． 【解析】 【详解】（Ⅰ）在中，因为，为的中点， 所以．又垂直于圆所在的平面，所以． 因为，所以平面． （Ⅱ）因为点在圆上， 所以当时，到的距离最大，且最大值为． 又，所以面积的最大值为． 又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为． （Ⅲ）在中，，，所以． 同理，所以． 在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示． 当，，共线时，取得最小值． 又因为，，所以垂直平分， 即为中点．从而， 亦即的最小值为． 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期中学情调研 高一年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（　　） A. 30人，30人，30人 B. 30人，45人，15人 C. 20人，30人，40人 D. 30人，50人，10人 3. 若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（ ） A. 若，，且，则与为异面直线 B. 若，，且，则 C. 若，，且，则与为异面直线 D. 若，，且，则 6. 白塔和乌塔被称为“榕城双塔”．白塔位于山西麓的定光寺塔，因通体白色而得名，唐天祐元年（904年）由闽王王审知创建，明嘉靖间重建，为七层八角砖塔．为了测量白塔的高度，高一某研究性学习小组设计了测量方案．如图，白塔垂直于水平面，他们选择了与白塔底部在同一水平面上的两点，测得米，在两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则白塔的高度约为（ ） A. 45米 B. 50米 C. 55米 D. 60米 7. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 8. 如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（   ） A. 若复数满足，则 B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. 若复数是纯虚数，则实数或 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 10. 在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面平面，则 B. 平面 C. 异面直线与所成的角为 D. 四棱锥的体积为8 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________. 13. 已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为__________. 14. 中，若 ，，则点的轨迹一定通过的______心． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 16. 在菱形中，，，，. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围. 17. 在内蒙古草原上，牧民们为了更好地储存和运输牛奶，设计了一种特殊的容器.如图，该容器的上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆柱.已知圆柱的底面直径为40 cm，高为50cm，圆锥的高为20cm. （1）若容器壁的厚度忽略不计，求该容器的容积； （2）为了美观和耐用，牧民们计划在容器的外表面涂上一层特殊的防水涂料，求需要涂防水涂料的面积. 18. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 19. 如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且． （Ⅰ）若为线段的中点，求证平面； （Ⅱ）求三棱锥体积的最大值； （Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $