2026年山西省晋中市榆次区九年级数学第二次模拟测试题

2026年九年级第二次模拟测试题（卷）数学 【温馨提示】 1．试题共8页，计23题；总分值120分；答题时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的信息填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．数字人民币是人民银行发行的数字形式法定货币，它将会逐步在全国普及．若数字人民币钱包中收入100元记作+100元，则支出20元记作（ ） A．+20元 B．-20元 C．+80元 D．-80元 2．为进一步弘扬团结互助、友善待人的优良风尚，某校五四青年节表彰增设“友爱之星”荣誉评选．校美术社团为此精心设计“友爱之星”徽章如下，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．加工厂计划生产一批笔筒，设计师给出该笔筒的三种视图如下图所示，则该笔筒的形状是（ ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．圆柱 5．下列任务中，适合采用普查方式的是（ ） A．了解某厂生产的锂离子电池充放电循环寿命情况 B．了解某款手机APP的用户满意度 C．了解乘客是否携带危险物品，火车站工作人员对乘客进行安检 D．了解我国九年级学生每周参加体育活动的时间 6．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（ ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 7．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A． B． C． D． 8．紫色石蕊溶液是一种常见酸碱指示剂，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇中性溶液仍为紫色，遇碱性溶液变成蓝色．实验桌上有三瓶因标签被污染而无法分辨的无色溶液：蒸馏水（呈中性）、稀盐酸溶液（呈酸性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）．小明将紫色石蕊溶液随机滴入两瓶溶液中，这两瓶溶液恰好变成一红一蓝的概率是（ ） A． B． C． D． 9．已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D． 10．某校运动会上，九年级男子长跑比赛扣人心弦．小华在距终点时暂时领先，他以的平均速度向终点冲刺，身后处的小亮也同时发起冲刺，…．若设小亮冲刺时的平均速度为，根据题意可得，则题中“…”表示的情境为（ ） A．小亮成功超越小华率先到达终点 B．小亮仍未超越小华 C．小亮与小华同时到达终点 D．两人仍保持原有距离 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．计算的结果是 ▲ ． 12．2026年4月22日是第57个世界地球日，我国活动主题为“珍爱自然资源守护美丽中国”．希望我们每个人从点滴做起，如每人每年努力节约1度电，相当于节约0.4千克标准煤，由此估计，全国每年就节约14亿度电，相当于全国每年节约 ▲ 千克标准煤（用科学记数法表示）． 13．某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：kPa）是体积（单位：mL）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为40 kPa时，气体的体积为 ▲ mL． 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在轴上，且，点，的坐标分别为，．若将依次沿轴方向，轴方向平移，使点与点重合，则点的对应点的坐标为 ▲ ． 15．如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接，．若点为边的中点，且，，则线段的长为 ▲ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分） （1）计算：； （2）解方程：． 17．（本题7分）某学校举办学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．九年级（1）班共参加9场比赛，没有输过，最后共得23分．该班级共胜多少场？平多少场？ 18．（本题8分）为对比近期甲、乙两地的气温情况，某实践活动小组从5月1日开始连续10日记录了两地每日的最低气温，绘制成如下折线统计图，并进行了数据分析． 平均数（） 中位数（） 众数（） 方差 甲地 16.4 16 3.04 乙地 16.3 16 0.81 根据以上信息，解答下列问题： （1）工作人员在画折线统计图时，遗漏了图例标识，请你根据上述表格中的数据推断出折线统计图中虚线表示 ▲ 地（填“甲”或“乙”）；并计算表格中 ▲ ， ▲ ； （2）请你从上面表格中选择两种统计量对甲、乙两地这10日的日最低气温作出评价． 19．（本题8分）如图，中，，以边为直径的交边于点，过点作的切线交边于点． （1）求证：； （2）若，，则的长为 ▲ ． 20．（本题8分）请根据以下聪聪与弟弟的对话及聪聪的做法，解决问题． 聪聪的做法（如图）： 第一步：聪聪家住在一幢高层居民楼的顶层25层，他先在此层楼道的西窗户边安装测倾器，从测倾器顶部点处测得图书大厦顶端处的俯角； 第二步：他下到17层楼道相同位置的西窗户边安装测倾器，保持测倾器高度不变，从测倾器顶部点处测得图书大厦顶端处的俯角； 第三步：了解到该居民楼每相邻两层楼地板之间的距离为． 已知图中所有点均在同一竖直平面内，且点，，，在同一铅垂线上，点，在同一铅垂线上． 请你根据聪聪的做法，帮他求出他家所在的居民楼与图书大厦之间的距离（结果精确到．参考数据：，，，，，）． 21．（本题9分）下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 正多边形的嵌套 我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案．如图1所示的建筑图案就是一个正方形里面嵌套了一个正八边形．我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 已知：如图2，正方形． 求作：正八边形，使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下： ①正八边形的每个内角为 ▲ °； ②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点．连接，，，，可得 ▲ °， ▲ °． 【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案： ①连接，相交于点； ②作的角平分线交于点； 【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐．继续深入分析图3，设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ▲ ，，，于是得到了新的作图方案． 任务： （1）补全材料： ①正八边形的每个内角为 ▲ °； ②= ▲ °，= ▲ °； ③设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ▲ ， ▲ ， ▲ ；（用含的代数式表示） （2）在图2正方形的边上作出正八边形的边． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22．（本题12分）综合与实践 【问题情境】 小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师．他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼（图1）．请你帮他一起设计，解决相关问题． 【建立模型】 整座建筑分为上下两部分，上部是一条抛物线的造型，其最高点到水平地面的距离为，左右两端，两点到水平地面的距离均为，且两点相距． 如图2，以水平地面所在直线为轴，垂直于水平地面且经过左端点的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求建筑上部抛物线造型对应的函数表达式； 【问题解决】 （2）将建筑上部的抛物线造型沿直线折叠得到一条新的抛物线，其与水平地面交于，两点（点在点的左侧）．抛物线在水平地面之上的部分与线段共同组成了建筑的下部． ①求线段的长； ②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆，（在的左侧），其中点，在建筑的上部，点，在建筑的下部．小明只记得两根装饰杆的高度均为，却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点，的坐标． 23．（本题13分）综合与探究 【问题情境】 如图1，在中，连接，．点为边上一点，连接．将沿折叠得到，点的对应点为点，连接． 【猜想证明】 （1）如图2，当点与点重合时，连接．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图3，当点为边的中点时，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，在折叠的过程中当为直角三角形时，请直接写出线段的长． 2026年九年级第二次模拟测试题 数学参考答案及评分细则 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B C D A B A A 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.1 12. 13.50 14. 15. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（每小题5分，共10分） （1）； 解：原式 （2） 解：方程两边都乘，得， 解这个方程，得. 经检验，是原方程的根. 17.（本题7分） 解：设该班级共胜场，平场. 根据题意得：， 解得：. 答：该班级共胜7场，平2场. 18.（本题8分） 解：（1）乙，16.5，16；（每空2分） （2）从平均数看，甲、乙两地这10日的日最低气温的平均数分别是16.4℃、16.3℃，说明甲地这10日的日最低气温平均数大于乙地这10日的日最低气温平均数（或者接近）； 从中位数看，甲、乙两地这10日的日最低气温的中位数分别是16.5℃、16℃，说明甲地这10日的日最低气温的中位数大于乙地这10日的日最低气温的中位数（或者接近）； 从众数看，甲、乙两地这10日的日最低气温的众数都是16℃，说明甲、乙两地这10日的日最低气温中16°C最多. 从方差看，甲、乙两地这10日的日最低气温的方差分别是3.04、0.81，说明甲地这10日的日最低气温方差大于乙地这10日的日最低气温方差，乙地这10日的日最低气温比甲地稳定. （每条1分，写出2条即可.言之合理即可） 19.（本题8分） （1）证明：连接，. 是的切线， ，即. 为的直径； ，即. 又， . 又，是的中位线. . . . （2）. 20.（本题8分） 解法一： 解：过点作，垂足为点. 根据题意可得， 的长度就是与之间的距离. 根据题意可得，，，. ，. 根据题意可得，. 设. 在中，， ， . 在中，， ， . ，. 解得. 答：他家所在居民楼与图书大厦之间的距离为156m. 解法二： 解：延长，分别交的延长线于，两点. 由题意得，四边形为矩形， ，. ，，， 的长度就是与之间的距离. 设. 在中，， ， . 在中，， ， . ，. 解得. 答：他家所在居民楼与图书大厦之间的距离为. 21.（本题9分） 解：（1）①135； ②45，22.5； ③，，； （2）如图所示，边即为所求. 22.（本题12分） （1）解：根据题意得抛物线顶点为，点坐标为. 设的函数表达式为. 将代入表达式得：. 解得：. 的函数表达式为， 即，. （2）①解法一： 由题意可知，抛物线与关于直线对称， 的函数表达式为. 将代入的函数表达式，得. 解得：；. ，. . 即线段的长为. 解法二： 设点，关于直线的对称点为，， 由题意可知，点，在上，. 点的纵坐标为0点，点的纵坐标为1.8， 点的纵坐标为. 将代入的函数表达式， 得. 解得：； ，即线段的长为16m. ②，. 23.（本题13分） 解：（1）四边形为矩形. 方法一：证明： ， . 四边形是平行四边形， ，. . 由折叠得，，. ，. ，，三点在同一条直线上. . 四边形为平行四边形. ， 为矩形. 方法二：证明： ， . 四边形是平行四边形， ，. . 由折叠得，，. ，. . 四边形为平行四边形. ， 为矩形. （2）.6分 方法一：证明： 连接交于点. 由折叠得，是线段的垂直平分线. 点是的中点. 点是的中点， 是的中位线. .即. 方法二：证明： 连接交于点. 点是的中点， . 由折叠得，，垂直平分线段. ，. ，. ， . . . 方法三：证明： 点是的中点， . 由折叠得，，. ，. . . . . （3）线段的长度为或. 提示：① ② 学科网（北京）股份有限公司 $