精品解析：2025年山西省晋中市榆次区中考二模数学试题

榆次区2025年九年级第二次模拟测试题（卷） 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 某地一天早晨的气温是，中午气温上升了，则中午的气温是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数加法的实际应用，掌握理解题意是解题的关键． 根据有理数的加法计算即可． 详解】解：由题意得：， 故选：B． 2. 中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知．下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 寿字纹 B. 万字纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减、同底数寡的除法、完全平方公式以及寡的乘方与积的乘方运算．解题的关键是准确掌握并运用这些运算法则来逐一判断选项． 分别依据整式加减、同底数幂除法、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方运算法则对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 月壤砖是一种未来可能用于月球盖房子的建筑材料，呈榫卯结构．2024年11月13日，我国设计的“月壤砖”搭乘“天舟八号”货用飞船飞往天宫空间站开展太空暴露试验．图2是一块月壤砖的示意图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形即可得到答案． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，中间有一条横着的虚线，即看到的图形如下： 故选：C． 5. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，进而利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数（次）与其年龄（岁）的关系为．由此可知，正常情况下，随着一个人年龄的增加，这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数的变化情况是（ ） A. 逐渐下降 B. 逐渐提高 C. 不变 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是根据一次函数的斜率判断函数的增减性． 分析函数的性质，判断随差增大的变化情况． 【详解】解：， ， 根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小．这里表示年龄，表示运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，所以随着年龄的增加，运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数函渐下降， 故选A． 7. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟算羊”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对乙说：“我若得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我若得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”设甲有只羊，乙有只羊，则下列所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解题意中的数量关系正确列式是关键． 根据题意，分别表示出甲、乙得到对方的羊是的数量即可求解． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， 甲对乙说：“我若得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．” ∴， 乙对甲说：“我若得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．” ∴， ∴方程组为， 故选：C ． 8. 如图，点，在以为直径的上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由四边形是圆内接四边形，得，又为直径的，则，然后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵为直径的， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流与电阻关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定．依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象（如图）．根据图象及物理学知识，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，得，再运用数形结合思想得当时，得，故，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， 当时，结合图象得， 则， 故选：A 10. 如图，某公园计划修建一条以点为圆心，半径米，圆心角为的弧形观景步道即．施工过程中，因场地条件限制，需在保持圆心和半径长度不变的前提下，将弧形步道的弧长减少米，则调整后该弧形观景步道的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算是关键． 根据弧长公式（是弧长所对的圆心角）代入计算即可． 【详解】解：半径米，圆心角为的弧形观景步道即， ∴（米）， ∵将弧形步道的弧长减少米， ∴调整后的弧长为（米）， 设此时的圆心角的度数为， ∴， 解得，， 故选：C ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与运算，解题的关键是先将化简，再进行同类二次根式的减法运算． 先把化为最简二次根式，然后再减去． 【详解】． 故答案为：． 12. 如图，将沿射线平移得到，连接．若的周长为，则四边形的周长为__________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得，，得到四边形的周长等于的周长与的和，计算即可得解． 【详解】解：将沿射线平移得到， ∴， 的周长为 ， 四边形的周长 ． 故答案为：21． 13. 博物馆是保护和传承人类文明的重要殿堂．小华了解到我们市区内有晋中市博物馆、晋之源壁画艺术博物馆、山西中医药大学中医药博物馆、山西流金岁月传媒博物馆，他想从这四所博物馆中任选两所去感受历史温度，领略晋中文化，则他选去晋中市博物馆和晋之源壁画艺术博物馆的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率，解题的关键是根据题意利用表格或树状图列举出所有等可能结果，并从中找到符合条件的结果数． 列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“晋中市博物馆”“ 晋之源壁画艺术博物馆”“ 山西中医药大学中医药博物馆”“ 山西流金岁月传媒博物馆”四个专题展览分别记作、、、， 列表如下： 由表知，共有12种等可能结果，其中同时选取“晋中市博物馆”和“晋之源壁画艺术博物馆”专题展览的有2种结果， 所以同时选取“晋中市博物馆”和“晋之源壁画艺术博物馆”专题展览的概率为， 故答案为：． 14. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．其分子结构模型如图所示，其中黑球代表碳原子，灰球代表氢原子，甲烷有4个氢原子，乙烷有6个氢原子，丙烷有8个氢原子，．．．依此规律，十三烷的分子结构模型中氢原子的个数是__________个． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律题，找出规律是解题的关键． 根据氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷有4个氢原子，， 乙烷有6个氢原子，， 丙烷有8个氢原子， ， 以此类推，则十三烷的分子结构模型中氢原子的个数：， 故答案为：28． 15. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在线段上，且，则线段的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是关键． 根据矩形，勾股定理得到，如图所示，过点作于点，根据解直角三角形的计算得到，设，则，再证明，得到，即，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，掌握负指数幂，零次幂，分式的性质是关键． （1）分别算出括号，负指数幂，零次幂，除法运算的结果，再运用加减运算计算即可； （2）根据分式的性质化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解： （或）； （2）解：方法一： ； 当时，原式． 方法二： ， 当时，原式． 17. 暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．两位家长带领多少名学生时，选择甲旅行社比较合算？ 【答案】带领多于4名学生时，选择甲旅行社比较合算 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设两位家长带领名学生，根据所给优惠标准分解计算出两个旅行社的费用，再根据甲旅行社的费用低于乙旅行社的费用建立不等式求解即可． 详解】解：设两位家长带领名学生． 根据题意，得． 解得， 答：带领多于4名学生时，选择甲旅行社比较合算． 18. 某学校为了更好地推动教育数字化，提高学生使用数字化资源学习的技能，开展了信息素养兴趣课．课程结束后，进行了结课考试，其中测试成绩分为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．为了解八、九年级学生的情况，对所有测试成绩进行了统计分析，整理并绘制成如下统计图（不完整）．已知两个年级参加考试人数相同，且九年级有11人获得A等级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）补全下面表格中的数据：________，______，_______； 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 八年级 8.76 9 1.0624 九年级 8 1.3824 （3）请你选择两种统计量对本次信息素养兴趣课测试中八、九年级的测试成绩做出评价． 【答案】（1）图见解析 （2）9，8.76，10； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查统计图表的综合应用，解题的关键是通过已知条件求出相关数据，再根据平均数、中位数、众数、方差的定义和计算方法进行求解与分析． （1）先根据九年级A等级人数及所占比例求出总人数，进而补全八年级条形统计图； （2）根据定义分别计算八年级中位数、九年级平均数和众数； （3）依据平均数和方差对两个年级成绩进行评价． 【小问1详解】 解：因为九年级有11人获得等级，且等级占比， 所以九年级参加考试的总人数为人， 那么八年级等级人数为人， 补全条形统计图如下： ； 【小问2详解】 解：八年级一共有25人，将成绩从小到大排列，第13个数的位置就是中位数， 等级6人，等级12人，前人， 所以第13个数在等级，等级对应分数9分， 即； 等级11人，等级人，等级人，等级人， ； 等级人数最多，等级对应分数10分，所以； 故答案为：9，8.76，10； 【小问3详解】 解：从平均数角度：八年级平均数8.76分，九年级平均数也是8.76分，说明两个年级学生的平均成绩相同， 从方差角度：八年级方差1.0624，九年级方差1.3824，因为，方差越小数据越稳定，所以八年级学生成绩比九年级学生成绩更稳定． 19. 4月23日至25日，以“培育读书风尚建设文化强国”为主题的第四届全民阅读大会成功在我省太原举办，将全民阅读推上了新高潮．某社区老年活动中心为方便老年人阅读，准备购进A、B两种老年大字书供大家借阅．据了解，用600元购买A书籍的数量比购买B书籍的数量多5本，且B书籍的单价是A书籍单价的倍，求A、B两种书籍的单价． 【答案】A种书籍的单价为20元，则B种书籍的单价为24元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设A种书籍的单价为元，则B种书籍的单价为元，根据用600元购买A书籍的数量比购买B书籍的数量多5本，且B书籍的单价是A书籍单价的倍建立方程求解即可． 【详解】解：设A种书籍的单价为元，则B种书籍的单价为元． 根据题意，得． 解得． 经检验是原方程的根，且符合题意， （元） 答：A种书籍的单价为20元，则B种书籍的单价为24元． 20. 如图1，某小区准备为地下车库进出口处安装感应式防风卷帘门，现需要知道该进出口的高度，但由于工具有限无法直接测量，于是设计了如下测量方案：如图2，先测得地下车库进出口的坡道长，与水平面的夹角，又在坡道顶端处测得进出口处顶端的俯角．图中所有点均在同一竖直平面内，B，C两点在同一条铅垂线上． 请你根据以上测量数据求出该地下车库进出口的高度的长． （结果精确到，参考数据：，，，，，．） 【答案】该地下车库进出口的高度的长约为3.5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先分别延长和，交于点，得，根据，，把数值代入进行计算，得米，米，在中，把数值代入进行计算，得米，结合进行计算，即可作答． 【详解】解：分别延长和，交于点． 依题意，为铅垂线，为水平线，可得． 在中，，， ，， （米） （米） 在中，，， ， （米）． （米）． 答：该地下车库进出口的高度的长约为3.5米． 21. 阅读与思考 下面是善思小组的数学探究报告，请认真阅读，并完成相应任务． 关于中点三角形的探究 善思小组 我们查阅资料得知：把一个三角形的三边中点顺次连接所得的三角形叫作中点三角形．如图1，点D，E，F是三边的中点，则叫作的中点三角形． 发现问题并提出问题：根据中点三角形的定义，可以作出已知三角形的中点三角形，反之，如果已知中点三角形，如何作出原三角形呢？ 分析问题：需要知道中点三角形与原三角形的关系．探索如下： 点D，E分别是边AB，BC的中点，，（依据）． 同理，，，，． ．． 通过探究发现：中点三角形与原三角形相似，相似比为，且对应边平行；还发现图1中有其它许多结论：如四边形是平行四边形，，…． 解决问题：根据探究所得，可以用网格或尺规作出中点三角形的原三角形．（点，，分别是边，，的中点） 任务：（补充完整上述探究报告） （1）填空：报告中的“依据”是指：__________． （2）在图2的正方形网格中用无刻度直尺作出； （3）在图3中用尽可能少的步骤，尺规作出（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）三角形中位线定理 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可； （2）根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，结合网格特点作图即可； （3）分别以点D，F为圆心，以为半径作弧，两弧交于点A． 分别以点D，E为圆心，以为半径作弧，两弧交于点B．连接，本别延长相较于点C，则即为所求． 【小问1详解】 解：报告中的“依据”是指：三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理； 【小问2详解】 如图，即所求， 小问3详解】 如图，即为所求． 【点睛】本题考查了尺柜作图，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 22. 综合与实践 问题情境：王老板的流动早餐摊位由于生意火爆，计划扩大规模并改善顾客的就餐环境，新建如图所示的钢结构早餐棚． 方案设计：如图是该早餐棚的横截面图，可以近似看成由抛物线的一部分和矩形构成的封闭图形．已知矩形的宽米，长米，抛物线最高点到地面的距离为米． 方案实施： （1）在图中以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系．请在图中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）为了加固餐棚，如图，计划在餐棚内安装三根支撑杆，，，其中点，在抛物线上，点，在地面上． 若四边形恰好是正方形，请你帮王老板求出支撑杆的长度； 如图，王老板还想在餐棚顶部设计如图所示的等腰三角形展板，点在同一条直线上．为了美观，要求，，且，与抛物线分别只有一个交点．请你直接写出展板的面积． 【答案】（1）； （2）支撑杆的长度为米；． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，正方形的性质，解一元二次方程，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线表达式为，则，然后求出的值即可； （）设点的坐标为，则，根据题意可得正方形关于轴对称，所以，又，则，然后解方程即可求解； 如图，是等腰三角形，是等腰三角形，轴，点在同一条直线上，则，三点共线，求出解析式为，又，设解析式为，联立，则有，整理得：，因为与抛物线分别只有一个交点，所以，解得，因此解析式为，然后求出，，最后由面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：建立如图所示的直角坐标系， 根据题意得，， 设抛物线表达式为， ，解得， ∴ 抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上， ∴设点的坐标为， ∴， 根据题意可得正方形关于轴对称， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴，整理得：， ∴， （不合题意，舍去） ， ∴（米）； 如图，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系， ∵是等腰三角形，是等腰三角形，轴，点在同一条直线上， ∴，三点共线， 根据题意得，， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， ∵， ∴设解析式为， ∴联立， ∴，整理得：， ∵与抛物线分别只有一个交点， ∴，解得：， ∴解析式为， 当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴， ∴展板的面积为． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，将等边沿边翻折得到，点是边上的两点，且，分别连接，，． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：（2）将图1中的线段绕点逆时针方向旋转得到线段，交直线于点．如图2，当点落在线段的延长线上时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 迁移探究：（3）如图3，若变为等腰直角三角形，， ，将沿边翻折得到，点为边上一点，且，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段．当点落在直线上时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据翻折的性质易得四边形为菱形，可知，再证得四边形为平行四边形，即可得到结论； （2）过点作交于点，根据等边三角形的性质和平行线的性质易证为等边三角形，即得，在证得，即得，再根据线段的和差即可得到结论； （3）当与重合时；当在的延长线上时，易证，求得，根据等腰三角形的性质可得，再证得，根据相似比即可得到的长度． 【详解】解：（1）四边形是菱形，理由如下： 方法一：连接交于点， 等边翻折得到，，，， ，四边形为菱形， ，，， 又， ，即， 又， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形； 方法二： 等边翻折得到， ，，，， 又， ，， 同理，， ，，， ， ， ， 四边形为菱形． （2）方法一： 证明：过点作交于点， 为等边三角形， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， 四边形为菱形， ， 又，，， 又，， ， ，， ， 即； 方法二： 证明：连接， 等边翻折得到， ，，，， ，， ， ， 四边形为菱形， ， 又，， ， ， ，， ， ， ， 又， ，即， 又，为等边三角形， ， ，即， 又， ， ． （3）解：当与重合时， 当在的延长线上时，易证， ， 由为等腰直角三角形，可得， 易证为等腰直角三角形，， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，翻折的性质，旋转的性质，熟练掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 榆次区2025年九年级第二次模拟测试题（卷） 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 某地一天早晨的气温是，中午气温上升了，则中午的气温是（ ） A. B. C. D. 2. 中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知．下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 寿字纹 B. 万字纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 月壤砖是一种未来可能用于月球盖房子的建筑材料，呈榫卯结构．2024年11月13日，我国设计的“月壤砖”搭乘“天舟八号”货用飞船飞往天宫空间站开展太空暴露试验．图2是一块月壤砖的示意图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数（次）与其年龄（岁）的关系为．由此可知，正常情况下，随着一个人年龄的增加，这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数的变化情况是（ ） A. 逐渐下降 B. 逐渐提高 C. 不变 D. 无法确定 7. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟算羊”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对乙说：“我若得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我若得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”设甲有只羊，乙有只羊，则下列所列方程组正确的是（ ） A. B. C D. 8. 如图，点，在以为直径的上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流与电阻关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定．依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象（如图）．根据图象及物理学知识，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，某公园计划修建一条以点为圆心，半径米，圆心角为的弧形观景步道即．施工过程中，因场地条件限制，需在保持圆心和半径长度不变的前提下，将弧形步道的弧长减少米，则调整后该弧形观景步道的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 如图，将沿射线平移得到，连接．若的周长为，则四边形的周长为__________． 13. 博物馆是保护和传承人类文明的重要殿堂．小华了解到我们市区内有晋中市博物馆、晋之源壁画艺术博物馆、山西中医药大学中医药博物馆、山西流金岁月传媒博物馆，他想从这四所博物馆中任选两所去感受历史温度，领略晋中文化，则他选去晋中市博物馆和晋之源壁画艺术博物馆的概率是__________． 14. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．其分子结构模型如图所示，其中黑球代表碳原子，灰球代表氢原子，甲烷有4个氢原子，乙烷有6个氢原子，丙烷有8个氢原子，．．．依此规律，十三烷的分子结构模型中氢原子的个数是__________个． 15. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在线段上，且，则线段的长度为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．两位家长带领多少名学生时，选择甲旅行社比较合算？ 18. 某学校为了更好地推动教育数字化，提高学生使用数字化资源学习的技能，开展了信息素养兴趣课．课程结束后，进行了结课考试，其中测试成绩分为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．为了解八、九年级学生的情况，对所有测试成绩进行了统计分析，整理并绘制成如下统计图（不完整）．已知两个年级参加考试人数相同，且九年级有11人获得A等级． 请根据以上提供信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）补全下面表格中的数据：________，______，_______； 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 八年级 8.76 9 1.0624 九年级 8 1.3824 （3）请你选择两种统计量对本次信息素养兴趣课测试中八、九年级测试成绩做出评价． 19. 4月23日至25日，以“培育读书风尚建设文化强国”为主题的第四届全民阅读大会成功在我省太原举办，将全民阅读推上了新高潮．某社区老年活动中心为方便老年人阅读，准备购进A、B两种老年大字书供大家借阅．据了解，用600元购买A书籍的数量比购买B书籍的数量多5本，且B书籍的单价是A书籍单价的倍，求A、B两种书籍的单价． 20. 如图1，某小区准备为地下车库进出口处安装感应式防风卷帘门，现需要知道该进出口的高度，但由于工具有限无法直接测量，于是设计了如下测量方案：如图2，先测得地下车库进出口的坡道长，与水平面的夹角，又在坡道顶端处测得进出口处顶端的俯角．图中所有点均在同一竖直平面内，B，C两点在同一条铅垂线上． 请你根据以上测量数据求出该地下车库进出口的高度的长． （结果精确到，参考数据：，，，，，．） 21. 阅读与思考 下面是善思小组数学探究报告，请认真阅读，并完成相应任务． 关于中点三角形的探究 善思小组 我们查阅资料得知：把一个三角形的三边中点顺次连接所得的三角形叫作中点三角形．如图1，点D，E，F是三边的中点，则叫作的中点三角形． 发现问题并提出问题：根据中点三角形的定义，可以作出已知三角形的中点三角形，反之，如果已知中点三角形，如何作出原三角形呢？ 分析问题：需要知道中点三角形与原三角形的关系．探索如下： 点D，E分别是边AB，BC的中点，，（依据）． 同理，，，，． ．． 通过探究发现：中点三角形与原三角形相似，相似比为，且对应边平行；还发现图1中有其它许多结论：如四边形是平行四边形，，…． 解决问题：根据探究所得，可以用网格或尺规作出中点三角形的原三角形．（点，，分别是边，，的中点） 任务：（补充完整上述探究报告） （1）填空：报告中的“依据”是指：__________． （2）在图2的正方形网格中用无刻度直尺作出； （3）在图3中用尽可能少的步骤，尺规作出（保留作图痕迹，不写作法）． 22. 综合与实践 问题情境：王老板的流动早餐摊位由于生意火爆，计划扩大规模并改善顾客的就餐环境，新建如图所示的钢结构早餐棚． 方案设计：如图是该早餐棚横截面图，可以近似看成由抛物线的一部分和矩形构成的封闭图形．已知矩形的宽米，长米，抛物线最高点到地面的距离为米． 方案实施： （1）在图中以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系．请在图中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）为了加固餐棚，如图，计划在餐棚内安装三根支撑杆，，，其中点，在抛物线上，点，在地面上． 若四边形恰好是正方形，请你帮王老板求出支撑杆的长度； 如图，王老板还想在餐棚顶部设计如图所示的等腰三角形展板，点在同一条直线上．为了美观，要求，，且，与抛物线分别只有一个交点．请你直接写出展板的面积． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，将等边沿边翻折得到，点是边上的两点，且，分别连接，，． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：（2）将图1中的线段绕点逆时针方向旋转得到线段，交直线于点．如图2，当点落在线段的延长线上时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 迁移探究：（3）如图3，若变为等腰直角三角形，， ，将沿边翻折得到，点为边上一点，且，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段．当点落在直线上时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$