2026年广西壮族自治区崇左市扶绥县二模数学试题

**基本信息** 2026年广西扶绥县二模数学卷以新能源车标、抽水机功率等时代素材及刘徽注《九章算术》文化元素创设情境，通过基础题（如正负数表示）、提升题（新定义“边垂角”）、创新题（对称变换综合）的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与创新意识，适配中考二模诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|12/36|图形性质（轴对称）、代数运算（方程）|结合新能源车标考查轴对称（数学眼光）| |填空|4/12|规律探究、概率（网格）|太阳能电池板网格求概率（数据意识）| |解答|7/72|新定义、函数综合|“边垂角”定义探究（推理意识）、对称变换综合（创新意识）|

2026年广西壮族自治区崇左市扶绥县二模数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。 3．不能使用计算器。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（共12小题，每题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1．下列新能源车标中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．刘徽在为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之．正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量．如果零上记作，那么零下可记作（   ） A．°C B．5°C C．°C D．12°C 3．有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 4．设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2027 C． D． 5．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点D，E分别在边和上，，连接，M，N分别是的中点，连接，且，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D． 8．如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心画．若，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（   ） A．3 B． C． D． 10．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，，交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．已知某工地的抽水机，总功率，抽水时，水流的力（单位：）与水流的速度（单位：）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法不正确的是（    ） A． B．当时， C．当水流速度越大时，水流的力也越大 D．当时， 12．如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13．若 ，则 __________ 14．观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为____________． 15．如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是____． 16．在平面直角坐标系中，点，轴于点，点是轴负半轴上一动点，连接交轴于点．若三角形的面积大于三角形的面积，则的取值范围是_______． 3、 解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）。 17．（8分）计算： (1) ； (2) ； (3)； (4)． 18．（10分）为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈善义卖活动．八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元．已知1班人数是2班人数的一半多7人，且2班比1班的人均义卖款多5元．请问，1班和2班的人数各是多少人？ 19．（10分）如图，为的直径，，与相交于点，点在上，且与相切． (1)求证：． (2)连接，交于点，连接．已知，，求弦的长． 20．（10分）【阅读理解】定义：如图1，点D，E分别在射线上（均不与点A重合），过点D且垂直于的直线与过点E且垂直于的直线交于点F，则称满足这样条件的（需满足两边分别与的两边垂直）为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，分别延长，交于点C，交于点B，连接． ①与之间的数量关系是_________； ②求的“边垂角”及与它的“边垂角”之间的数量关系； (2)如图2，是的“边垂角”，，交于点E，点F在射线上，连接，若，，，求的长． 21．（10分）如图，是直角三角形，．以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，点为线段上一动点，过点作的垂线交射线于点，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 22．（12分）已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若抛物线的对称轴在y轴右侧，且当时，y的最小值为，求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当时，在的范围内，y有最大值14，求抛物线的解析式． 23．（12分）【延伸阅读】 如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足为点，连接．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求得点的坐标． 【应用拓展】 (1)直接写出点关于直线的对称点的坐标 ，关于直线的对称点的坐标 ； (2)如图2，求直线关于直线的对称直线的解析式； (3)如图3，已知二次函数的图象记为，关于直线对称的图象记为，求图象与的公共点的坐标； (4)如图4，已知反比例函数的图象记为，关于直线对称的图象的解析式为，当直线与图象有且只有两个公共点时，直接写出的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年广西壮族自治区崇左市扶绥县二模数学试卷（1) 题号 1 2 4 5 6 2 8 9 10 答案 A A A C B A 题号 11 12 答案 13.6413 解：设m+43=x, :(m+43)2=6513 .x2=6513, .（m+33)(m+53 =x-10x+10) =x2-100 =6513-100 =6413. 14.-2026a2026 解：当n=1时，(-)x1×a=a, 当n=2时，（-1)2×2×a2=-2a2, 当n=3时，（-1)3×3×a3=3a3, 当n=4时，（-1)4x4×a=-4a, 依此类推， :第n个式子为(-1)na”, 将n=2026代入得， 第2026个式子为(-1)2026+1×2026a2026=-2026a2026. 故答案为：-2026a2026。 5033 解：由图可知，总面积为4×4=16， 1×1 其中光伏吸收区的面积为 ×12=6， 2 :小球最终停留在光伏吸收区的概率是。-？ 1681 16.1<-3 解：设直线AP的解析式为y=x+b,过点Aa,3)(a≠0，P(0,t, ak+b=3 得： b=t 3-t k= 解得： a b=t 3-t .直线AP的解析式为y= x+t, a 当y=0时，得：x=匹， t-31 [ 当a>0时，如图， 点Aa,3)a≠0)，AB⊥x轴， .OB=a,AB=3, ,r1. 00=at 1-3′0p=-1, ·B0=0B-00=a-a=-3a t-3t-3 :三角形0PQ的面积大于三角形ABQ的面积， :号00：0P>0BAB, 2 品小 ×3, t-3 解得：1<-3或t>3（舍去)： 当a<0时，如图： -3’0p=-1, at ∵00=- .BO=BO-00=-a at 3a t-3t-3 :三角形OPQ的面积大于三角形ABQ的面积， 00.OP3-0B:AB 3a 。x-)> ×3, t-31 解得：t<-3或t>3（舍去)： 综上所述，t的取值范围是t<-3. 故答案为：t<-3. 7.0 1 (2)-14 (3)x2-4y2+12yz-9z (4)x2+4xy+4y2-2x-4y+1 .1 (1)解：原式=1-8×。 0 1 (2)解：原式=-9-4+1-2 =-14· (3)解：原式=[x+(2y-3z)][x-(2y-3z)] =x2-(2y-3z)}2 =x2-4y2-12yz+9z2）】 =x2-4y2+12yz-9z2; (4)解：原式=(x+2y)-2(x+2y)+12 =x2+4xy+4y2-2x-4y+1. 18.1班人数是20人，2班人数是26人 解：设2班人数是”人，则1班人数是 经*7人 :八(1)班义卖善款1900元，八(2)班义卖善款2600元，2班比1班的人均义卖款多5 元， 2600 1900=5 ..r 2*7 整理得r2+254r-7280=0, 解得1=26,53=-280<0（舍去）， 经检验：r=26是原分式方程的解， .2班人数是26人， 26+7=20. 则1班人数是20人. 19.(1)证明过程见解析： (2)弦BF的长为4V6. (1)证明：连接0C, E :CD与00相切， CD⊥OC, L0CD=90°， ∠DCE+∠0CB=180°-90°=90°， :OE⊥AB, ∠B0E=90°， LE+L0BE=90°， :0B=0C, .Z0BC Z0CB .ZE ZDCE :ED CD. （2)解：：∠E=LDCE,∠E=22.5°， ∠DCE=22.5°， .∠0DC=22.5°×2=45°， :∠0CD=90°， .∠C0D=90°-45°=45°， .∠CD0=∠C0D, .CO=CD, .ED=CD,DE=6, ..CO=CD=DE=6, 0D=V62+62=6V2,0A=0B=0C=6, ·AD=V0A+0D2=V62+(6=65,AB=6×2=12, :sin∠A=OD-62_V6 AD65=3 :AB为O0的直径，点F在⊙0上， .∠AFB=90°， sin∠A=BF-BF B12’ :BF、6 ·123 .BF=46. 20.(I)①LBAC+∠DFE=I80°；②∠DCE的边垂角”是∠ABE,∠DCE=∠ABE; (2)7 (1)解：①∠BAC+∠DFE=180 .·DF⊥AM,EF⊥AN .∠FDA=90°，∠FEA=90° :∠BAC+∠FDA+∠DFE+∠FEA=360 LBAC+∠DFE=180°； ②根据“边垂角”的定义，可知∠DCE的“边垂角”是∠ABE. :∠BDF=∠CEF=90°，∠DFB=LEFC, ∠DBF=∠ECF,即∠DCE=∠ABE. (2)解：：LACG是∠GBD的“边垂角”， .BD⊥CG,CA⊥BG. LBAE=LCDE=∠CAG=90°. 由②可得∠ABE=∠ACG. 在△ABE和△ACG中， :∠BAE=∠CAG,AB=AC,∠ABE=∠ACG, △ABE≌△ACG(ASA. :AG=AE,BE=CG. ∠CAF=45°， ∠GAF=90°-∠CAF=45°. ∠GAF=LCAF. 在△AGF和△AEF中， AF=AF,ZGAF ZEAF,AG=AE, :AAGF≌△AEF(SAS. GF EF. :BE=CG=CF+GF=CF+EF=4+3=7. 21.(1)证明见解析 3 (②)y=4,0≤x≤10 (I)证明：由作图可知，AD=BC,CD=AB, :四边形ABCD是平行四边形， 又：∠B=90°， .四边形ABCD是矩形； (2)解：：LB=90°，AB=6,BC=8, :AC=AB2+BC2=10 :四边形ABCD是矩形， .AD‖BC, .∠PAF=∠ACB, :FP⊥AC, .∠APF=90°， :∠B=90°， .∠APF=∠B, .△APF∽△CBA, :AP、PF ·BCAB 即y 86 3 8y=6x,即y= 4 :点P为线段AC上一动点， .AP的取值范围是0≤x≤10. 22.(1)直线x=2 (24+2V2,0),(4-22,0 (3)y=x2-4x+2 (1)解：当b=1时，抛物线y=x2-4bx+c化为y=x2-4x+c, -4 抛物线的对称轴为直线x=- 2 =2 （2)解：：抛物线y=x2-4bx+c的对称轴在y轴右侧， -4>0, 2 b>0. 当c=8时，y=x2-4bx+8=(x-2b)2-4b2+8, .-4b2+8=-8, 解得b=±2， b=2, y=x2-8x+8. 令x2-8x+8=0, 解得x1=4+2V2,x2=4-2V2, :抛物线与x轴的交点的坐标为(4+2V2,0),（4-2V2,0; （3)解：当c=2b时，y=x2-4bx+2b=(x-2b)2-4b2+2b. 若20<5，即6<，则当x-6时，y的值最大， 36-24b+2b=14, 解得b=1. 若26>5，即6>，则当x=4时，y的值最大， 16-16b+2b=14, 解得6=片（含去） 当26=5，即b=时，y=r2-10x+5, 2 x=4与x=6时的函数值相等，均为-19，不符合题意， 综上所述，抛物线的解析式为y=x2-4x+2. 23.(1)4,1,3,2 1 2y=x+2 (3)图象W与W,的公共点的坐标为 3+√213+V21 3-3-或 2,2 或2,2 1+V171-V17 2，2 或 1-171+17 2,2 (4)b的取值范围为-5≤b<-4或3<b≤4 (1)解：根据题意可得：点A(1,4)关于直线y=x的对称点A的坐标(4,1)， 如图，作AP⊥x轴于点K,过点A分别作x轴和y轴的平行线相交于点Q, 把x=0代入y=x+1得y=1, .直线y=x+1与y轴交点K(0,), .PK=4-1=3,AP=1, :点A和A关于直线y=x+1对称， AK=A,K,∠1=∠2， 90°-∠1=90°-∠2，即∠AKP=∠A,KQ, 在AKP和△A,KQ中， 「∠AKP=∠A,KQ ∠APK=∠A,QK, AK=AK .△AKP≌aA,KO(AAS), ...PK=OK=3,AP=A,0=1, .A3,2); K (2)解：如图，令直线y=2x-1和直线y=x+1相交于点A, [x=2 联立得 y=3 A2,3, 把y=0代入y=2x-1得：0=2x-1, 解得： g 过点M作x轴的垂线，垂足为点M,令点B关于直线y=x+I的对称点为点B; 过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，相交于点N, AM=3,BM=2-1-3 221 和(1)同理可得：△ABM≌△AB'N, AM=AN=3.BM =B'N=3 引 设直线AB解析式为y=x+b, 将A2,3), 代入得： 3=2k+b 3 解得： b=2 .直线AB解析式为y=。x+2, 即直线y=2x-1关于直线y=x+1的对称直线的解析式为y=。x+2; B OB M yx+1/ y=2x-1 (3)解：令点(x,y)在y=x2-2x-3上， 根据题意可知点(x,y)关于直线y=x对称的点的坐标为y,x, W2的解析式为x=y2-2y-3, y=x2-2x-3① 联立得： x=y2-2y-3② ②-①得：（x-y)=(y+x(y-x)-2(y-x), 整理得：(y-x(y+x-)=0, .y-x=0或y+x-1=0, ①当y-x=0时，x=y, .x=x2-2x-3, 解得：x=3±2 —1 2 :W与W2的公共点的坐标为 3+3+）成3-，3-： 或 2，222 ②当y+x-1=0时，y=1-x, 1-x=x2-2x-3, 解得：x=I±7」 2 .W与W,的公共点的坐标为 综上：图象成与W,的公共点的坐标为 3+23+）成3-，3-或 2,2 或 2，2 1+而，1-回成-7,1+而 2， 2 22 （4)解：联立G,G2得： 2 y= y+3’解得： X=-2 x2=1 (出=-1’ 当=2’ x+1 G,G2交点坐标为-2，-1或(1,2)， 当直线y=-2x+b经过点(-2，-1)时，-1=4+b, 解得：b=-5, 当直线y=-2x+b经过点(1,2)时，2=-2+b, 解得：b=4, ①当-2x+b=2时，整理得：2X2-br+2=0, 当直线和G只有一个交点时：△=b2-4×2×2=0, 解得：b=-4或b=4（舍去)， ②-2x+b=+3时，整理得：2x2+3-b)x+3-b)=0, x+1 当直线和G2只有一个交点时：△=(3-b)2-4×2(3-b)=0, 解得：b=3或b=-5(舍去)， G,G2图象如图所示： 由图可知：当直线y=-2x+b与图象G,G,有且只有两个公共点时，-5≤b<-4或3<b≤4. 2☑101入345