福建省龙岩市第二中学2025-2026学年高二第二学期第一次考试数学试题

**基本信息** 龙岩二中高二下数学月考试卷立足核心知识，以空间向量、导数应用为重点，通过立体几何证明（如18题四棱锥线面垂直）、函数单调性与恒成立问题（如19题不等式证明），考查空间观念与逻辑推理，适配高二阶段性巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直角坐标系、导数几何意义|第1题空间点对称考查空间想象| |多选题|3/18|空间向量基底、正方体线面关系|第9题基底共面性判断体现推理意识| |填空题|3/15|切线方程、复合函数求导|第12题切线方程考查数学表达| |解答题|5/77|立体几何证明与二面角、函数恒成立|18题四棱锥二面角计算综合空间与逻辑推理，贴合高考趋势|

龙岩二中2025～2026学年第二学期高二第一次月考 数 学 试 题 命题人、审题人：高二数学备课组 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分） 1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 4．如图,在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）   A． B． C． D． 5．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在长方体中，已知，E为的中点， 则异面直线与所成角的余弦值为（    ）   A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分） 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若构成空间的一个基底，则，，必共面 B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D．点关于平面对称的点的坐标是 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 11．已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在区间上单调递减 C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数恰有4个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分） 12．函数在处的切线的方程为______. 13．已知函数，则______. 14．已知x，y为正实数，，则的取值范围是___________． 四、解答题 15．（13分）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 16．（15分）已知空间三点，，．设，． (1)求，； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数k的值． 17．（15分）已知函数，. (1)当时，求的极值点； (2)讨论的单调性； (3)若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求二面角F-AE-D的余弦值。 19．（17分）函数． (1)当时，恒成立，求的取值范围； (2)证明：当时，． 试卷第2页，共2页 高二数学月考试卷 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 《龙岩二中2027届高二下数学月考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A D B D B A ABD ACD AB 1．D【详解】依题意，点关于轴的对称点为. 2．C【详解】∵，∴，解得：. 3．A【详解】设为事件“数学不及格”，为事件“语文不及格”，则 由条件概率公式， 所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为． 4．D【详解】由题意，得 ． 5．B【详解】，又在上单调递增，故在上恒成立， 而时，易见，只需要即可，故. 6．D【详解】建立如图所示的空间直角坐标，   因为，E为的中点，所以， 所以，假设异面直线与所成的角为， 则. 7．B【详解】令，则， 因为，所以，所以函数在上单调递增， 因为，所以． 8．A【详解】函数有两个零点,等价于有两个根， 即有两个根，令，， 令，，所以在R上单调递增；又， 所以当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为， 当时，当时，要想有两个根， 只需要，即 9．ABD 【详解】对于A，构成空间的一个基底，则，，不共面， 因为，则，，必共面，故A正确； 对于B，在中，所以P，A，B，C四点共面,故B正确； 对于C，当时，则是钝角或，故C错误； 对于D，关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标是，故D正确． 10．ACD【详解】对于A，由于，分别是的中点， 所以平面平面，所以平面，故A正确； 对于B，，故，，故与不垂直,故与不垂直,故B错误； 对于C，由，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量，故C正确； 对于D，，点到平面的距离为，故D正确. 11．AB【详解】对于A中，由函数，可得， 因为 是函数的一个极值点，可得， 解得，经检验适合题意，所以A正确； 对于B中，由，令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B正确； 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 由于切点满足直线方程，则， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误； 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D错误．   12．【详解】由，所以，所以， 当时，则，所以在处的切线的方程为：，即. 13．【详解】令，由复合函数的求导公式， 得，故. 14．【详解】由得：， 构造函数，则，可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立，所以. 15． 【详解】（1）， 令，得 ; 令，得 ; 函数的增区间为；减区间为。 （2）由（1）知函数的极小值点为，极小值为， 因为，，故在区间上的最大值为，最小值为. 16． 【详解】（1）解：因为，，所以,所以； 因为，，所以，所以； （2）解：由（1）可知， 又，所以，即与的夹角为. （3）解：由（1）可知，， 又向量与互相垂直，所以，所以，即，解得. 17．【详解】（1）当时，，定义域为.，令，得,当时，，单调递增；当时，，单调递减.在时取得极大值，无极小值.所以的极大值点是，无极小值点. （2），则，， 当时，恒成立，函数单调递减； 当时，，，，函数单调递增， ，，函数单调递减. 综上所述：当时，函数单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）函数在上恒小于0，等价于由（2）知， 当时，函数单调递减，故恒成立，故符合题意； 当时，若，即，函数在上单调递减，故，成立，故符合题意；若，即，函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得，故； 若，即，函数在上单调递增， 故，解得，故无解. 综上所述：. 18． 【详解】（1）∵，，．∴，∴，即． 又∵，且，且直线均在平面内，∴平面． （2）∵平面平面，平面平面． 又，平面，∴平面，又因为面，∴． 由(1)已证，且已知，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， ∴，，，， ∵E为的中点，∴， 又∵，∴， 设平面的法向量为，则，令，则，， ∴，由(1)可知，平面，∴平面的法向量为， ∴，∴由图可知，二面角F-AE-D的余弦值为. 19．【详解】（1）当时，. 当时，上式恒成立，即；当时，. 设，，则. 设，，则在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以在上恒成立.所以由， 由.所以在上单调递减，在上单调递增. 所以.所以.综上可知：的取值范围为：. （2）时，要证，即. 设，则，.设，， 则在上恒成立.所以在上单调递增. 又，，则方程只有一解， 设为，且，.当时，当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 因为，所以，，，所以. 即.所以在上恒成立.从而原命题成立. 答案第2页，共2页 答案第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $