精品解析：福建泉州市晋江市侨声中学等校2025-2026学年高二下学期第二次教学质量监测数学试卷

2026年春季高二年第二次教学质量检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：潘玉琴 郑新疆 审核人：李德福 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ） A. 平均数 B. 相关系数 C. 决定系数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关数据的特征可知，决定系数能够刻画其经验回归方程的拟合效果. 【详解】平均数与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的统计量； 变量y和x之间的相关系数的绝对值越大，则变量y和x之间线性相关关系越强； 用决定系数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好. 故选：C 2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值 B. 的极值点有3个 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 其展开式的通项公式为， 令，得到，所以展开式中的常数项为. 4. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 5. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设为正面向上的次数，则， 总得分 , 由于，， 所以 . ，所以D正确. 6. 已知是函数的一个极值点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得：， 又是的一个极值点，所以，所以， 所以，所以. 7. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件：“区域2和区域4颜色不同”，事件：“所有区域颜色均不相同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，结合条件概率公式求解即可. 【详解】事件：“区域2和区域4颜色不同”即从5种颜色选出两种放入区域2和区域4， 再从剩余的3种颜色选出一种放入区域5，剩余的区域1和区域3分别都有两种选择， 即有种， 事件有种， 所以， 故选：C. 8. 设函数，若恒成立，则的最大值为（ ） A. -1 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得到或，解得或，分别按照和讨论求解，当时，分别按照，，这三种情况讨论求解，得到，则，构造函数，利用导数法求出的单调性，得到的最大值即为所求. 【详解】，，或， 或， 当时，的解为，无解，故的解为， 不满足恒成立，故不符合题意； 当时，的解为，的解为， 当时，的解为，解为， 则的解为或，不满足恒成立，故不符合题意； 当时，的解为，解为， 则的解为或，不满足恒成立，故不符合题意； 当时，的解为，解为， 则的解为或，即的解为， 满足恒成立，故符合题意； ， 设，， 的解为，则在上是单调递增函数； 的解为，则在上是单调递减函数； 则在处取得最大值，且最大值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 5名工人各自在3天中选择一天休息，不同方法种数是 B. C. 一批零件共有10个，有4个不合格，从中随机抽取3个零件进行检测，恰好有1个不合格的概率是 D. 若随机变量，则时，概率最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合分步乘法计数原理、二项式系数的性质、古典概型概率计算、二项分布的概率最值问题逐项分析判断. 【详解】选项A：每名工人都有3种休息日期可选，共5名工人，根据分步乘法计数原理，总方法数为，A正确； 选项B：由二项式定理， ，B错误； 选项C：10个零件中有4个不合格、6个合格，抽取3个恰好1个不合格的概率为 ，C正确； 选项D：随机变量，对应概率 ，二项式系数在时取得最大值，故时概率最大，D正确. 10. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量x，y线性负相关且相关性较强 C. 相应于点的残差约为 D. 当时，y的估计值为14.4 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，计算出样本中心点，代入回归直线方程得；B选项，随着的增大而减小，又，B正确；C选项，当时，，从而计算出残差约为0.4；D选项，代入，得到答案. 【详解】A选项，，， 将代入回归直线方程得，，解得，A错误； B选项，从表可以看出，随着的增大而减小，又，接近于1， 所以变量x，y线性负相关且相关性较强，B正确； C选项，回归直线方程为，当时，， ，故相应于点的残差约为0.4，C错误； D选项，当时，y的估计值为，D正确. 故选：BD 11. 若函数，则（ ） A. 的图象是中心对称图形 B. 在上单调递减 C. 的极小值点为 D. 有两个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出函数的定义域，由判断奇偶性判断A；利用导数说明函数的单调性判断BC；求出极小值判断D. 【详解】函数中，，解得或， 即函数的定义域为， 对于A，， 因此函数为奇函数，函数图象关于对称，A正确； 对于B，又，当时，； 当时，，即在上单调递减，在上单调递增，B正确； 对于C，由奇函数的对称性知，在上单调递增，在上单调递减， 因此的极小值点为，极大值点为，C正确； 对于D，由选项B知，函数在有最小值， 因此函数在上无零点，由称性知函数在上无零点，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为，则，所以， 解得，所以曲线在处的切线斜率为. 13. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】按照家庭被分配到一人或两人，进行分类讨论. 【详解】由题可分以下两种情形： ①家庭只有志愿者甲，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种； ②家庭除了甲还有另一名志愿者，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种. 故志愿者甲恰好被安排在家庭共有种不同安排方法. 故答案为：. 14. ，若不等式在上恒成立，则正数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先证时，故原不等式恒成立等价于在上递增，求导后分离参数得，构造函数，求得函数值域即可得的取值范围. 【详解】设，则， ∴在上单调递增，∴，∴， ，∴，又在上恒成立， ∴需要在上为增函数，即对，恒成立， 即在上恒成立； 令，，则， 当时，，在上单调递减，故， ∴，解得正数． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某机构为了解科技工作者对deepseek的使用情况与年龄是否有关，从甲市科技工作者中抽取了200人进行调查，得到下表. 使用deepseek 不使用deepseek 总计 年轻人（40周岁及40周岁以下） 100 中老年人（40周岁以上） 30 80 总计 200 （1）补全表中数据，根据小概率值的独立性检验，是否可以认为科技工作者对deepseek的使用情况与年龄有关联？ （2）将样本中使用deepseek的频率作为甲市科技工作者中使用该软件的概率，从甲市科技工作者中随机抽取3人，记为这3人中使用deepseek的人数，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，可以认为两者相关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先根据题意补全列联表，写出零假设，求得卡方值并与对应的小概率值比较即得结论； （2）先求出样本中使用deepseek的频率，依题可得，求出二项分布的分布列，利用随机变量的期望公式或二项分布的概率期望公式即可求得. 【小问1详解】 依题意，补全列联表如下： 使用deepseek 不使用deepseek 总计 年轻人（40周岁及40周岁以下） 100 20 120 中老年人（40周岁以上） 50 30 80 总计 150 50 200 零假设为：科技工作者对deepseek的使用情况与年龄无关联， 由列联表中的数据，得. 根据小概率值的独立性检验，可以推出不成立，即可以认为科技工作者对deepseek的使用情况与年龄有关联. 【小问2详解】 样本中使用deepseek的频率为，由题意可知， 的可能取值为， ， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 或. 16. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的极小值； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数单调性和极值点，进而求出函数的极小值； （2）先转化不等式，构造函数并求导，分析函数单调性及极值点，进而求出的取值范围． 【小问1详解】 当时，函数，求导得： ， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是极小值点，代入函数得． 【小问2详解】 恒成立， ，不等式化为， 整理得，，问题转化为， 令，则， ，令分子为0，化简得 ，整理得， ，，故，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值：， 当时，，时， 且对所有，成立； 当时，处，不满足条件， 的取值范围为． 17. 随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. （1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； （3）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 【答案】（1）更适合 （2），8.1千万件 （3） 【解析】 【分析】（1）根据散点图可判断，更适合； （2）对两边取对数可得，再结合表中数据，即可求解； （3）由正态分布的概率公式代入计算，再由期望的计算公式即可得到结果. 【小问1详解】 根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程模型. 【小问2详解】 由得：，即， 由表中数据得：， 所以， 所以，所以， 所以关于的回归方程为. 当时，，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件. 【小问3详解】 因为，， 所以 ， 所以， 所以（元）. 18. 已知在点处与轴相切. （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）若，求证. 【答案】（1） （2）单调递减区间为，无单调递增区间 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意知，，联立求得答案； （2）对，利用导数求单调区间； （3）对不等式变形，换元，构造函数证明. 【小问1详解】 因为在点处与轴相切，， 所以，，解得. 【小问2详解】 由（1）得，，定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，所以，所以单调递减， 当时，，单调递减，，所以单调递减， 所以的单调递减区间为，无单调递增区间. 【小问3详解】 因为，则，要证， 即证， 即证， 设，则， 即证， 即证， 令，， 又， 所以在上单调递增，， 即，故不等式成立. 19. 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. （1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； （2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种. 记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【答案】（1） （2）（i），，证明见解析；（ii）能 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式进行求解即可； （2）（i）利用全概率公式，结合等比数列的定义进行求解即可； （ii）根据（i）的结论，结合指数函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 设选择方案A，B，C分别为事件A，B，C，物流提前送达为事件Z， 则， ，，， . 【小问2详解】 （i）由①知道. 由②根据全概率公式 ， . 设第n次物流选择方案A，B，C为事件，，，第n次物流提前送达为事件， 则，，，因为，所以， 所以. 由②根据全概率公式 ， 注意到，， 而， 所以 ， 同理 . 注意到 ， 且，所以， 故为定值， 即是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）可求， 同理 ， 所以， 联立解得 ，， 所以. 随着的增大，增大，注意到，所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统能逐步提高物流提前送达的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季高二年第二次教学质量检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：潘玉琴 郑新疆 审核人：李德福 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ） A. 平均数 B. 相关系数 C. 决定系数 D. 方差 2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值 B. 的极值点有3个 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是函数的一个极值点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件：“区域2和区域4颜色不同”，事件：“所有区域颜色均不相同”，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若恒成立，则的最大值为（ ） A. -1 B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 5名工人各自在3天中选择一天休息，不同方法种数是 B. C. 一批零件共有10个，有4个不合格，从中随机抽取3个零件进行检测，恰好有1个不合格的概率是 D. 若随机变量，则时，概率最大 10. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量x，y线性负相关且相关性较强 C. 相应于点的残差约为 D. 当时，y的估计值为14.4 11. 若函数，则（ ） A. 的图象是中心对称图形 B. 在上单调递减 C. 的极小值点为 D. 有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. 13. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有__________种. 14. ，若不等式在上恒成立，则正数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某机构为了解科技工作者对deepseek的使用情况与年龄是否有关，从甲市科技工作者中抽取了200人进行调查，得到下表. 使用deepseek 不使用deepseek 总计 年轻人（40周岁及40周岁以下） 100 中老年人（40周岁以上） 30 80 总计 200 （1）补全表中数据，根据小概率值的独立性检验，是否可以认为科技工作者对deepseek的使用情况与年龄有关联？ （2）将样本中使用deepseek的频率作为甲市科技工作者中使用该软件的概率，从甲市科技工作者中随机抽取3人，记为这3人中使用deepseek的人数，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的极小值； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 17. 随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. （1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； （3）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 18. 已知在点处与轴相切. （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）若，求证. 19. 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. （1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； （2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种. 记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $