福建省连城县第一中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

连城一中2025-2026学年下期高二年级月考1数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人：魏水祥 审题人：张建平 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．下面求导正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 3．设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．6 D．14 4．函数的图像如图所示，则（   ） A． B． C． D．的正负不确定 5．在正方体中，若，E为线段上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 6．一束光线自点出发，被平面反射到达点被吸收，那么光线所经过的距离是（ ） A． B． C． D． 7．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 8．对任意，不等式恒成立，则正数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 10．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 11．若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知函数的导函数为，若，则________. 13．已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数_____． 14．已知函数.若对，都有恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15．(13分)已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 16.(15分)如图在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点，建立一个适当的空间直角坐标系，完成下列各题.A B C D E F G (1)求证：EF⊥CF； (2)求CE的长； (3)求EF与CG所成角的余弦值. 17．(15分)设函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 18．(17分)二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价8元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19．(17分)已知函数. (1)若，，求实数a的取值集合； (2)设， （i）对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点（记零点为）； （ii）证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 连城一中2025-2026学年下期高二年级月考1数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D B D D C A CD ACD AC 1．C【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C. 2．B【详解】，，且，， 解得：，故选：B. 3．D【详解】因为曲线在处的切线方程为， 所以，，所以．故选：D. 4．B【详解】由题中图像可知，函数在上单调递减，故在上有．故．故选：B 5．D【详解】在正方体中，， 由，得.故选：D 6．D【详解】由题意得，点关于平面的对称点为， 则.故选：D. 7．C【详解】设，则， 因为，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，，，， 即，即，故．故选：C. 8．A【详解】对任意的，不等式恒成立，则，可得， ，令，其中，则， 所以，函数在上为增函数，由可得，则，故对任意的，，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，故，解得， 即正实数的最大值为.故选：A. 9．CD【详解】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误；模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误；由相等向量的传递性，知若，则，C正确；在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确，故选：CD 10．ACD【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，C正确；当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确；当时，单调递增，它的最大值为，最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确．故选：ACD. 11． AC【详解】对于A项，因，，且，则有，当且仅当时取“=”，A正确；对于B项，因，，且，则,得，则B错误； 对于C项，因，，且，则，得，， 设，，得，得函数在上单调递增， 得，得，即，得，故C正确；对于D项，，令，得，得函数在上单调递增，得，得，即，故D项错误. 12．5【详解】.故答案为：5 13．【详解】由题知，即 又，，，四点共面，所以，解得.故答案为：. 14．【详解】由题意知，当时，.， ①当时，恒成立，即在上单调递减，所以恒成立，所以.②当时，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.当，即时，在区间上单调递增，所以，（舍去）， 当，即时，在上单调递减，，所以， 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，所以，得到，所以，综上，的取值范围为．故答案为：． 15．【详解】（1）由，可得：，， 由，可得：或；由，可得：；所以函数的单调递增区间是：和，单调减区间是：；...........6分 （2）由（1）知：函数在区间上的单调性为： 单调递减，单调递增， 所以最小值为， 又，所以最大值为. 所以函数在区间上的最小值为，最大值为........13分 16.解　如图，以D为原点，分别以的方向为标准正交基的基向量的正方向，均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G(1，1，). .........2分 (1)==. 因为·=++×0=0， 所以⊥，即EF⊥CF. .................6分 (2)因为=， 所以||==. ................10分 (3)由=及(1)得·=×1+×0+=. 又||==，||==， 所以cos〈〉===. ..................15分 因此EF与CG所成角的余弦值为. 17．【详解】（1）因为，则，解得，故， 所以，所以， 此时，曲线在处的切线方程为，即...........6分 （2）因为，则， 当时，则， 即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间； 当时，由可得，由可得. 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的减区间为，增区间为........15分 18．【详解】（1）由题意，当时，，当时，.所以....8分 （2）当时，，令，解得. 当，，当，；则在上单调递增，在上单调递减，所以当时， 当时，，当且仅当，即时取等号. 综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元...........17分 19．【详解】（1）由可得，记，则， 当时，此时在上单调递增，当时，此时在上单调递减，故当时，取到最大值，且最大值为，故， 实数a的取值集合为...............................5分 （2）（i）证明：则， 当时，由得，此时无零点，不符合题意， 当时，单调递增， 由于，， 故在有唯一的零点， 综上可知：对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点，...........10分 （ii）设，，则当时，，在单调递减， 当时，在单调递增，故，故当且仅当时取等号，由得， 故，所以，则， 又因为，所以 即， 再由可得，当且仅当时取等号， 由得，，即，则，当且仅当时取等号， 当时，， 由得， 所以， 故， 则,当且仅当时取等号，......17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $