福建省龙岩市第二中学2025-2026学年高三上学期开学质量检测数学试题

**基本信息** 高三开学数学检测，覆盖函数、概率、立体几何等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及数学建模素养，适配高三起点能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|函数图像与定义域、概率计算、空间距离|基础概念辨析，如第3题概率考查分步思维| |多选题|3/18|幂函数性质、函数奇偶性与周期性|选项分层，如第10题结合函数性质与图像交点| |填空题|3/15|不等式求解、概率期望、抽象函数|情境应用，如第13题投篮得分期望考查数学建模| |解答题|5/77|函数奇偶性与恒成立、概率分布、立体几何证明、导数综合|综合能力考查，如19题导数结合切线与极值点，体现逻辑推理|

龙岩二中2025～2026学年第一学期高三开学质量检测 · 数 学 试 题 · 命题人、审题人：高三数学备课组 · （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是，则他最终通过面试的概率为（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．设随机变量M服从正态分布，且函数没有零点的概率为，函数有两个零点的概率为，若，则（    ） A．17 B．10 C．9 D．不能确定 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知幂函数互质，下列结论正确的是（     ） A．m，n是奇数，为奇函数 B．m是奇数，n为偶数时，为偶函数 C．m是偶数，n为奇数时，为偶函数 D．当时，在上是增函数 10．定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（   ） A．当时， B．的图象在处的切线方程为 C．的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D．的图象与直线恰有一个公共点，则实数 11．如图，在棱长为2的正方体中，点O为的中点， 且点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则点P的轨迹长度为1 B．若，则 C．若，，则 D．若，时，直线与平面所成的角为，则 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12．不等式的解集为 13．小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为，得2分的概率 为.若某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为；若某次投篮得2分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.记小华3次投篮的累计得分为，则的数学期望 . 14．已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式 的解集是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知函数是定义在R上的奇函数，且时，． (1)求时，函数的解析式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 16．（15分）在某次问卷调查中，有两题为选做题，规定每位被调查者必须且只需在其中选做一题，其中包括甲乙在内的4名调查者选做题的概率均为，选做题的概率均为 (1)求甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率； (2)设这4名受访者中选做题的人数为，求的概率分布和数学期望. 17．（15分）函数的定义域为，且满足对于任意，有 当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 18．（17分）在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，且，，. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由； (3)若是棱的中点，为线段上任意一点，求证：与一定不平行. 19．（17分）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 试卷第2页，共3页 高三数学开学考 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 2025～2026学年第一学期高三数学开学考参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C C B D A B C ABD BCD BCD 2．【详解】由题意，解得，即函数的定义域为. 3．【详解】由题意知，小王最终通过面试的概率为. 4．【详解】由题意可得直线的方向向量，直线经过点，又， 则，所以， 则点到直线的距离为. 5．【详解】由题意得， 函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，所以，，解得.因此，实数的取值范围是. 6．【详解】解：因为函数没有零点，所以，解得， 又因随机变量M服从正态分布，且，所以正态曲线关于对称， 因为函数有两个零点，所以，解得，则， 又，所以与关于对称，所以. 7．【详解】时，递增，时，， 要使得在上单调递增，则，解得， 8．【详解】由题意知，令，，则； 令，则， 因为不恒等于0，所以，为奇函数． 因为为偶函数，所以，用替换得， 再用替换得，因为为奇函数，所以， 可得，则是周期为4的周期函数． 因为，所以，则． 由得，则，得，故． 9．【详解】，A选项，是奇数，的定义域为，，是奇函数，A选项正确. B选项，是奇数，是偶数，的定义域为， ，是偶函数，B选项正确. C选项，是偶数，是奇数，的定义域为，是非奇非偶函数，C选项错误. D选项，根据幂函数的性质可知，当时，在上是增函数，D选项正确. 10．【详解】由函数为上的奇函数，所以， 由，所以函数关于对称，且， 则，所以4为函数的一个周期. 对A，，则，，所以， 由当时，，所以，错误； 对B，由A可知：当时，，所以当时，， 所以当时，，则， ，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即，正确； 对C，作出函数与图象，   函数图象关于对称， 当时，图象共有5个交点，由为奇函数， 所以当时，图象也有5个交点，所以图象所有交点的横坐标之和为10，正确； 对D，如图：   当时，；当时， ， 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以；所以函数的图象与直线恰有一 个公共点，则实数，正确。 11【详解】连接，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， 则， 故，对于A，若，，则，因为，所以， 所以点P的轨迹长度为，对于B，， 若，则，所以，故B正确； 对于C，若，，则，， ，设平面的法向量为，则， 故可设，所以点到平面的距离， 在中，，则， 所以，故C正确； 对于D，若时，，， 则， 设，则， 则， 由于函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以， 所以，，，所以，所以， 所以，故D正确. 12． 【详解】由题 13． 【详解】由题意可知的所有可能取值分别为3，4，5，6，记表示“第次投篮得1分”的事件， 表示“第次投篮得2分”的事件. ， ， ， 所以分布列为 X 3 4 5 6 P 0.18 0.32 0.32 0.18 故.故答案为： 14．【答案】 【详解】，则， 设，则，是常值函数， 又，，， ，， 设，则，在上单调递增，， ，在上单调递增，由， 故不等式可转化为，故，可得， 不等式的解集是故答案为：. 15.【详解】 （1）设，则，时，．， 是定义在R上的奇函数，，故，； （2）等价于， 时，单调递减，又为定义在R上的奇函数， 故在R上为减函数，所以对任意恒成立， 即对任意恒成立，只需，，， ，，即实数的取值范围是． 16．【详解】（1）设事件表示“甲选做第题”，事件表示“乙选做第题”，则甲、乙2名受访者选做同一道题的事件为“”，且事件、相互独立， 所以=， 故甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率； （2）随机变量的可能取值为，且， 故， 所以，， ，， ， 所以变量的概率分布为： 0 1 2 3 4 所以（或） 17．【详解】（1）设，则， 由于，所以，所以，所以，所以， 所以在上是增函数； （2）因对定义域内的任意，有， 令，则有，又令，得， 再令，得，从而， 于是有，所以是偶函数． （3）由于，所以， 于是不等式可化为， 由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 又由（1）可知在上是增函数，所以可得， 解得，所以不等式的解集为． 18．【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又，平面ABCD，所以平面. （2）以D为原点，以DA，DC为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系：   则， 设，则， ， ， 设平面平面的一个法向量为，则 ，即 ， 令 ，则 ，所以 ， 设平面平面的一个法向量为，则 ，即 ， 令 ，则 ，所以 . 若使得平面平面，则，即，解得， 所以线段上存在点，使得平面. （3）假设存在点N，在线段上，使得，如图所示： 连接AC，取其中点G，在中， 因为M，G都是边的中点，所以 ， 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行， 所以MG与MN重合，所以点N在线段AC上， 所以N是AC，BC的交点C，即MN就是MC，而MC与PC相交，矛盾， 所以假设错误，问题得证. 19．【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为，所以，， 则，解得，所以. （2）由（1）得，则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立，所以令，解得或； 令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增，所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个 极值点. 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $