河北沧州市沧县中学2025-2026学年高二下学期5.23周测数学试题

**基本信息** 高二年级周测试卷聚焦函数、概率统计等核心知识，以AI使用、游戏情境为载体，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配阶段性学情检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合运算、不等式解法、函数单调性|结合DeepSeek使用情况考查独立性检验| |多选题|3|命题否定、不等式性质、随机变量期望|以乒乓球擂台赛为情境设计概率问题| |填空题|3|代数式最值、排列组合、期望计算|偶数数字排序问题考查逻辑推理| |解答题|5|函数恒成立、概率方案比较、统计案例分析|分层设问（如函数题三问），融合实际决策情境|

沧县中学高二年级5.23周测 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小联系是 A． B． C． D． 5．已知，，则a的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 性别 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 男性 女性 合计 6．AI模型正在改变着我们的工作和生活方法，某机构为了了解对DeepSeek的使用情况与性别的关系，随机调查了人，得到如下列联表（单位：人）： 依据小概率值的独立性检验认为对DeepSeek的使用情况与性别有关系，则的最小值为（   ）（附：，，） A．48 B．49 C．50 D．51 7．设为正整数，展开式的各项二项式系数最大值为，展开式的各项系数的最大值为，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有3张黑色牌和3张红色牌，小王手中有3张黑色牌和2张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有7张牌的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列各结论正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．命题“，有”的否定是“，使” C．的最小值为2 D．若，则 10．已知实数满足且，则下列说法正确的有（        ） A．若，则 B． C．的最小值是 D．的最小值是1 11．水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮在首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去．以下说法正确的是（    ） A．在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜的局数为随机变量，则 B．记前6轮比赛中甲参与的轮次数为随机变量，则 C．甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为 D．记事件“第轮甲轮空”，则 三、填空题 12．已知实数与满足，且，则的最小值为_____． 13．由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个． 14．已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________. 四、解答题 15．设 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式 16．为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. (1)小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； (2)小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 17． 某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 (1)请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； (2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响. （i）用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望； （ii）记有n人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值. 18．设正数a，b满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)从（ⅰ）（ⅱ）中任选一个问题回答，若回答多个问题，则按第一个问题计分． （ⅰ）求的最大值；（ⅱ）求的最小值． 19．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点． (1)已知函数，求函数的不动点； (2)若对于任意的，二次函数（）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； (3)若函数在区间上有唯一的不动点，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《沧县中学高二年级5.23周测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A D D C D BD ABC 题号 11 答案 ACD 5．D解：可知，，则，， 因为，所以，解得，即a的最大值为. 6．D将列联表中的数据代入公式计算得 ， 解得 48.726，又 ， 所以 的最小值为 51 . 故选：D. 7．C因为展开式有项， 所以最中间的一项即第项的二项式系数最大，即，因为展开式有项，其展开式的通项公式为，系数为， 所以系数的大小由和二项式系数决定，而二项式系数的最大值为展开式最中间的有两个，其系数分别是和， 又因为，所以无论是奇数还是偶数，展开式的各项系数的最大值为，因为，所以，解得. 8．D进行两次后，小王手中有7张牌意味着小王这两次都赢了， 第一次总事件数为种，小王赢的事件数是种， 则第一次小王赢的概率是， 第一次赢之后小张有5张牌，第一种情况是有2张黑色牌，3张红色牌， 小王有4张黑色牌，有2张红色牌， 第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种， 则第二次小王赢的概率是： 第二种情况是有3张黑色牌，2张红色牌，小王有3张黑色牌，有3张红色牌， 第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种， 则第二次小王赢的概率是： 出现第一种情况是第一次小王出红色牌，概率是， 出现第二种情况是第一次小王出黑色牌，概率是， 则两次均赢的概率为：. 故小王手中有7张牌的概率为. 故选：D. 10．ABC对于A，由，则，即，故A正确； 对于B， ，因为，，即，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由，则，故， 当时，取得最小值，故D错误. 11．ACD对于A，在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜两局包括两类互斥的事件： ①第一、二局甲全胜；②甲在第一和第三局胜或者在第二和第三局胜， 故，故A正确； 对于B，依题意，易得，故B错误； 对于C，设“甲在第轮获胜”， 依题，甲在第三轮获胜包括甲在第一、二、三轮均胜；或者第一轮输，第三轮胜两类情况. 则甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为： ,故C正确； 对于D，因，且与互斥， 由全概率公式，, 故又， 则组成一个首项为，公比为的等比数列， 于是，，即，故D正确. 故选：ACD. 12． 由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 13．90因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则 当0排在第6位时，共有（个）数； 当0排在第5位时，共有（个）数； 当0排在第4位时，共有（个）数， 故这样的七位数共有（个）． 故答案为： 14． 设这三个正整数分别为，则题意可得， 所以随机变量可能取值为1和2， 用隔板法可求得：事件总情况为种， 当时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种； ②三个数中有两个1，有种， 所以时，； 当时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种； ②三个数中有两个2，有种， 所以时，， 所以. 故答案为： 15．（1）由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意； 时，则需满足，解得， 综上所述，. （2）由（1）可知，则， 则 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为4. （3）由，可得， ①当时，即，解集为； ② 当时，，不等式即为，解集为； ③ 当时，，不等式即为，解集为； ④ 当时，可得，解集为； ⑤ 当时，，不等式即为，解集为. 综上可得,的解集为: 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 16．（1）记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件， 则 所以. 所以两次实验恰好成功一次的概率. （2）记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，， 所以， ， ， 所以. ， ， ， 所以. 因为，所以方案一略好. 17．（1）列联表如下： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 零假设为：满意程度与性别无关，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）（i）依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”， 则，，， 所以 ， 依题意，，所以； （ii）依题意，，， 若最大，则， 解得，因为，所以， 所以取最大值时的值为12. 18．（1）， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为； （2），所以， ， 当时，取到最小值； （3）若选（ⅰ）,， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为; 若选（ⅱ），，所以， ， 显然当时取到最小值. 19．（1）设为不动点，因此，即， 解得或，所以为函数的不动点． （2）方程，即， 有， 因为，于是得一元二次方程有两个不等实根， 即判别式， 依题意，对于任意的，不等式恒成立， 只需关于未知数的方程无实数根， 则判别式， 整理得，解得， 所以实数a的取值范围是． （3）由，得， 由于函数在上有且只有一个不动点， 即在上有且只有一个解 令 ①，则，解得； ②，即时， 方程可化为，另一个根为，不符合题意，舍去； ③，即时， 方程可化为，另一个根为1，满足； ④，即，解得， （i）当时，方程的根为，满足； （ii）当时，方程的根为，不符合题意，舍去； 综上，m的取值范围是或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $