4．4　三角函数的图象与性质 专题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数的图象与性质核心考点，涵盖定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及对称性，按考情分基础、重难、多维探究考点系统梳理，通过自练自悟、师生共研、方法总结及分层真题训练，构建完整复习体系，助力学生突破重点难点。 讲义以直观想象、逻辑推理、数学运算素养为导向，创新采用“考点梳理-方法提炼-真题演练”三步教学法，如单调性教学结合代换法与图象分析培养思维，设置A级基础到C级拓广练习精准分层，帮助学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升学生应考能力。

4．4　三角函数的图象与性质 课标要求 考情分析 1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 2．能利用正弦函数、余弦函数在[0，2π]上及正切函数在上的图象与性质解决问题． ◎考点考法：本讲是高考热点之一，主要考查三角函数的定义域、值域、单调性、周期性、对称性等基本性质，题目难度多是容易题． ◎核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算． 1．正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． 2．若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)； 若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z). 1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　) A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 解析　T＝＝π，A＝2－1＝1，故选A． 答案　A 2．函数y＝4sin (2x＋π)的图象关于(　　) A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线x＝对称 解析　记f(x)＝4sin (2x＋π)＝－4sin 2x，所以f(－x)＝－4sin (－2x)＝4sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点中心对称，对称轴为x＝＋(k∈Z).故选B. 答案　B 3．函数f(x)＝3tan (ω＞0)的最小正周期为π，则ω＝________． 解析　∵f(x)的最小正周期T＝＝π，∴ω＝1. 答案　1 4．函数y＝2sin (x∈[－π，0])的单调递增区间为________． 解析　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以所求的单调递增区间为. 答案　 5．函数y＝3－2cos 的最大值为________，此时x＝________． 解析　函数y＝3－2cos 的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z). 答案　5　＋2kπ(k∈Z) 考点一　三角函数的定义域和值域　基础考点　自练自悟 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析　由题意，得2sin x－1≥0，sin x≥，即x∈(k∈Z)， 则x∈(k∈Z).故选B. 答案　B 2．函数y＝tan 的定义域是________． 解析　由于正切函数y＝tan x的定义域为，故令x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠1＋6k，k∈Z，即函数y＝tan 的定义域是{x|x≠1＋6k，k∈Z}． 答案　{x|x≠1＋6k，k∈Z} 3．函数y＝－sin x＋cos x在上的值域是________． 解析　y＝－sin x＋cos x＝2cos ，∵x∈，∴x＋∈，cos ∈，∴y＝2cos ∈[0，]，故函数y＝－sin x＋cos x在上的值域是[0，]. 答案　[0，] 4．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为________． 解析　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx cos x，sin x cos x＝，且－≤t≤. ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－. ∴函数的值域为. 答案　 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，再解不等式(组)即可． 2．三角函数值域(最值)的求法 (1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数，可先化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值). (2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，再化为关于t的二次函数求值域(最值). (3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，再化为关于t的二次函数求值域(最值). 考点二　三角函数的奇偶性、周期性和对称性　重难考点　师生共研 (1)已知函数f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　) A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称 (2)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos (3)函数f(x)＝3sin ＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________． [解析]　(1)因为函数f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为4π，即T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin .令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，故f(x)图象的对称轴为直线x＝＋2kπ(k∈Z).令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．故选B. (2)由三角函数的最小正周期T＝，可得y＝sin 与y＝cos 的最小正周期为4，而y＝sin 和y＝cos 的最小正周期为8，故排除C、D.因为函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，所以f(x)在x＝2处取得最值．对于A，f(2)＝sin ＝sin π＝0，对于B，f(2)＝cos ＝cos π＝－1，所以f(x)的解析式可能为f(x)＝cos .故选B. (3)∵f(x)＝3sin ＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.∴f(x)＝3sin ＋1＝3cos 2x＋1，令2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，∴f(x)图象的对称中心为(k∈Z). [答案]　(1)B　(2)B　(3)　(k∈Z) 有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式． (2)周期的计算方法：利用周期的公式求解． (3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心． 1．记函数f(x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 解析　因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin ＋b＝2，即sin ＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f(x)＝sin ＋2，所以f＝sin ＋2＝sin ＋2＝1.故选A． 答案　A 2．函数f(x)＝3sin ，φ∈(0，π)，若f(x)为奇函数，则φ等于________． 解析　若f(x)＝3sin 为奇函数， 则－＋φ＝kπ，k∈Z， 即φ＝＋kπ，k∈Z，又φ∈(0，π)，所以φ＝. 答案　 3．定义在R上的非常数函数f(x)满足：f(－x)＝f(x)，且f(2－x)＋f(x)＝0.请写出符合条件的一个函数的解析式f(x)＝________． 解析　由f(2－x)＋f(x)＝0，得出对称中心为(1，0)，且由f(－x)＝f(x)得出f(x)为偶函数，且周期为4，f(x)＝cos x符合题意． 答案　cos x(答案不唯一) 考点三　三角函数的单调性　多维探究　发散思维 角度1　求三角函数的单调区间 (1)若函数f(x)＝|cos 2x|在区间D上单调递减，则D可以为(　　) A． B． C． D． (2)函数f(x)＝sin 的单调递减区间为________________． [解析]　(1)当x∈时，2x∈，y＝cos 2x≥0且单调递增，f(x)＝|cos 2x|＝cos 2x单调递增，A错误； 当x∈时，2x∈，y＝cos 2x≤0且单调递减，f(x)＝|cos 2x|＝－cos 2x单调递增，B错误； 当x∈时，2x∈，y＝cos 2x≤0且单调递增，f(x)＝|cos 2x|＝－cos 2x单调递减，C正确； 当x∈时，2x∈，y＝cos 2x≥0且单调递增，f(x)＝|cos 2x|＝cos 2x单调递增，D错误． (2)f(x)＝sin 的单调递减区间是f(x)＝sin 的单调递增区间， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故函数f(x)＝sin 的单调递减区间为(k∈Z). [答案]　(1)C　(2)(k∈Z) 求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如ωx＋φ)整体当作一个角，再利用基本三角函数(y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x)的单调性列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间． [提醒]　要注意求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω＜0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫忘记考虑函数自身的定义域． 角度2　利用三角函数的单调性比较大小 已知函数f(x)＝2cos ，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c [解析]　由2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，所以f(x)在上单调递减，所以f＞f＞f，即a＞b＞c. [答案]　A 比较三角函数值大小的方法 先统一为同名的三角函数，然后利用诱导公式把角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． 角度3　根据三角函数的单调性求参数 (1)已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是________． (2)已知函数f(x)＝(sin x－cos x)cos x，若f(x)在区间上是单调函数，则实数θ的取值范围是________． [解析]　(1)因为x∈，所以ωx∈，因为0∈且y＝sin x在上单调递增，所以⊆，即有解得0＜ω≤. (2)f(x)＝sin x cos x－cos2x ＝sin2x－· ＝sin 2x－cos 2x－＝sin －， 令t＝3x－，则y＝sin t－， 因为x∈，所以t∈， 又因为f(x)在区间上是单调函数， 则y＝sin t－在区间上是单调函数， 所以－π<2θ－≤－，即－<2θ≤－， 解得－<θ≤－. [答案]　(1)　(2) 已知函数单调性求参数 (1)明确一个不同：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集． (2)抓住两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解． 1．已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 解析　f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，选项A中：2x∈，此时f(x)单调递增；选项B中：2x∈，此时f(x)先递增后递减；选项C中：2x∈，此时f(x)单调递减；选项D中：2x∈，此时f(x)先递减后递增．故选C. 答案　C 2．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________． 解析　因为f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点， 所以当0≤ωx≤， 即0≤x≤时，y＝sin ωx单调递增； 当≤ωx≤， 即≤x≤时，y＝sin ωx单调递减． 由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增， 在上单调递减，知＝，所以ω＝. 答案　 A级　基础过关 1．函数f(x)＝cos 的图象的一条对称轴方程为(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝－ 解析　令2x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝.故选B. 答案　B 2．已知函数f(x)＝sin x cos (2x＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ＝(　　) A．0 B． C． D．π 解析　∵f(x)定义域为R，且为偶函数， ∴f＝f⇒－cos (－π＋φ)＝cos (π＋φ)⇒cos φ＝－cos φ⇒cos φ＝0，∵φ∈(0，π)， ∴φ＝.当φ＝时，f(x)＝－sin x sin 2x为偶函数满足题意．故选C. 答案　C 3．若f(x)＝sin ，则(　　) A．f(1)＞f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2)＞f(1) C．f(2)＞f(1)＞f(3) D．f(1)＞f(3)＞f(2) 解析　令≤2x－≤，可得≤x≤，所以函数f(x)在区间上单调递减，由于1＜＜2，且－1＜2－，故f(1)＞f(2)，由于＜2＜＜3，且－2＞3－，故f(2)＞f(3)，所以f(1)＞f(2)＞f(3).故选A． 答案　A 4．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　因为f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，所以＝－＝，且ω>0，则T＝π，ω＝＝2，当x＝时，f(x)取得最小值，则2·＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，则f(x)＝sin ，则f＝sin ＝，故选D. 答案　D 5．(多选)已知函数f(x)＝tan ，则(　　) A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)的定义域为 C．f＝f D．f(x)在上单调递减 解析　对于A：函数f(x)＝tan 的最小正周期T＝，故A正确；对于B：由2x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，故B错误；对于C：f＝tan ＝tan ＝，f＝tan ＝tan ＝，所以f＝f，故C正确；对于D：当x∈时，2x－∈，因为y＝tan x在上单调递增，所以f(x)在上单调递增，故D错误，故选AC. 答案　AC 6．(多选)已知f(x)＝cos ＋1，则下列说法正确的有(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)在上单调递增 C．f(x)的图象关于x＝轴对称 D．f(x)的图象关于点对称 解析　对于A，由周期公式，得T＝＝π，故A正确；对于B，当x∈时，2x－∈，由函数y＝cos x在上单调递增，则f(x)在上单调递增，故B正确；由x＝，则2x－＝，又cos ＝0，所以f(x)的图象关于点中心对称，故C、D错误．故选AB. 答案　AB 7．记函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________． 解析　因为T＝，所以f＝，即cos (2π＋φ)＝cos φ＝. 又0<φ<π，所以φ＝. 因为x＝为f(x)的零点，所以f＝0，即ω＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝9k＋3，k∈Z.又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值，且最小值为3. 答案　3 8．已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1，且方程f(x)－a＝0在内有实数根，则实数a的取值范围是________． 解析　f(x)＝sin2x－2cos2x＋1＝sin2x－cos 2x＝2sin ，方程f(x)－a＝0在内有实数根，即a＝f(x)在内有实数根，由x∈，得2x－∈，故－2≤f(x)≤1，即实数a的取值范围是[－2，1]. 答案　[－2，1] 9．设函数f(x)＝tan (ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调区间． 解析　(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝，即＝.因为ω＞0，所以ω＝2，所以f(x)＝tan (2x＋φ). 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z. 又0＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝tan . (2)令－＋kπ＜2x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋＜x＜＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，无单调递减区间． 10．已知函数f(x)＝sin ＋cos ，g(x)＝2sin2. (1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值； (2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合． 解析　f(x)＝sin＋cos ＝sin x－cos x＋cos x＋sin x ＝sin x， g(x)＝2sin2＝1－cosx. (1)由f(α)＝，得sin α＝， 由α是第一象限角，所以cos α＞0， 从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝. (2)f(x)≥g(x)等价于sinx≥1－cos x， 即sin x＋cos x≥1. 于是sin ≥，从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z， 故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为. B级　能力提升 11．已知函数f(x)＝2sin ＋m(ω＞0)的最小正周期为T，若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点对称，则f＝(　　) A．－1 B．1 C．3 D．1＋ 解析　因为＜T＜π，所以＜＜π，即2＜ω＜6，又因为y＝f(x)的图象关于点对称，所以m＝1，＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝，k∈Z，又因为2＜ω＜6，所以当k＝1时，ω＝4满足要求，其他均不符合要求，即f(x)＝2sin ＋1，所以f＝2sin ＋1＝3.故选C. 答案　C 12．(多选)已知函数f(x)＝2sin cos ωx－，ω＞0.若f(x)图象中离y轴最近的对称轴为x＝，则(　　) A．ω＝2 B．f(x)的最小正周期为π C．f(x)图象的一个对称中心是 D．f(x)的单调递增区间为(k∈Z) 解析　f(x)＝2sin cos ωx－＝2sin ωx×cos ωx＋2cos ωx×cos ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin ，则令2ωx＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，因为f(x)图象中离y轴最近的对称轴为x＝，且ω＞0，则＝，故ω＝1，A错误；则f(x)＝sin ，故f(x)的最小正周期为＝π，B正确；把x＝代入f(x)＝sin ，得f＝0，故是f(x)图象的一个对称中心，C正确；令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，D正确．故选BCD. 答案　BCD 13．已知函数f(x)＝cos4x＋2sinx cos x－sin4x. (1)当x∈时，求f(x)的最大值、最小值以及取得最值时的x值； (2)设g(x)＝3－2m＋m cos(m＞0)，则是否存在m，满足对于任意x1∈，都存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立？ 解析　(1)f(x)＝cos4x＋2sinx cos x－sin4x ＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＋2sinx cos x ＝cos 2x＋sin 2x＝2sin ， ∵x∈，∴2x＋∈. ∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2； 当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－. (2)∵x1∈，∴2x1＋∈， ∴sin ∈，∴f(x1)∈[1，2]. ∵x2∈，∴2x2－∈， ∴cos ∈. 又m＞0， ∴g(x2)＝3－2m＋m cos ∈. 假设存在m，满足对于任意x1∈，都存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立，则此不等式组无解． 故满足题意的实数m不存在． C级　拓广探索 14．(多选)已知函数f(x)＝sin ，若当x∈[m，n](m＜n)时，f(x)∈，则n－m的值可能为(　　) A． B． C． D． 解析　f(x)＝sin ，作出函数f(x)的图象，如图所示．在一个周期内考虑问题，若要使当x∈[m，n]时，f(x)∈，则可满足或所以n－m的值可以为区间内的任意实数．故选ABC. 答案　ABC 15．(多选)已知函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|，则下列说法正确的是(　　) A．是f(x)的周期 B．f(x)的最小值为 C．f＝f(x) D．f(x)＝在上有两解 解析　∵f＝＋＝|cos x|＋|sin x|＝f(x)， ∴f(x)是以为周期的函数，故A正确；当x∈时，f(x)＝|sin x|＋|cos x|＝sin x＋cos x＝sin ，则x＋∈，∴1≤sin ≤，函数f(x)的最小值为1，故B错误；由f＝＋＝≠f(0)＝1，故C错误；当x∈时，f(x)＝|sin x|＋|cos x|＝sin x＋cos x＝sin ，此时f(x)在x∈上单调递增，在x∈上单调递减，在x＝处取得最大值，故f(x)＝在x∈上有唯一解，又∵f(－x)＝|sin (－x)|＋|cos (－x)|＝|sin x|＋|cos x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，因此f(x)＝在x∈上有唯一解，∴f(x)＝在上有两解，故D正确．故选AD. 答案　AD 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．4　三角函数的图象与性质 课标要求 考情分析 1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 2．能利用正弦函数、余弦函数在[0，2π]上及正切函数在上的图象与性质解决问题． ◎考点考法：本讲是高考热点之一，主要考查三角函数的定义域、值域、单调性、周期性、对称性等基本性质，题目难度多是容易题． ◎核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算． 1．正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． 2．若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)； 若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z). 1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　) A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 2．函数y＝4sin (2x＋π)的图象关于(　　) A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线x＝对称 3．函数f(x)＝3tan (ω＞0)的最小正周期为π，则ω＝________． 4．函数y＝2sin (x∈[－π，0])的单调递增区间为________． 5．函数y＝3－2cos 的最大值为________，此时x＝________． 考点一　三角函数的定义域和值域　基础考点　自练自悟 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 2．函数y＝tan 的定义域是________． 3．函数y＝－sin x＋cos x在上的值域是________． 4．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为________． 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，再解不等式(组)即可． 2．三角函数值域(最值)的求法 (1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数，可先化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值). (2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，再化为关于t的二次函数求值域(最值). (3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，再化为关于t的二次函数求值域(最值). 考点二　三角函数的奇偶性、周期性和对称性　重难考点　师生共研 (1)已知函数f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　) A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称 (2)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos (3)函数f(x)＝3sin ＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________． 有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式． (2)周期的计算方法：利用周期的公式求解． (3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心． 1．记函数f(x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 2．函数f(x)＝3sin ，φ∈(0，π)，若f(x)为奇函数，则φ等于________． 3．定义在R上的非常数函数f(x)满足：f(－x)＝f(x)，且f(2－x)＋f(x)＝0.请写出符合条件的一个函数的解析式f(x)＝________． 考点三　三角函数的单调性　多维探究　发散思维 角度1　求三角函数的单调区间 (1)若函数f(x)＝|cos 2x|在区间D上单调递减，则D可以为(　　) A． B． C． D． (2)函数f(x)＝sin 的单调递减区间为________________． 求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如ωx＋φ)整体当作一个角，再利用基本三角函数(y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x)的单调性列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间． [提醒]　要注意求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω＜0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫忘记考虑函数自身的定义域． 角度2　利用三角函数的单调性比较大小 已知函数f(x)＝2cos ，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c 比较三角函数值大小的方法 先统一为同名的三角函数，然后利用诱导公式把角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． 角度3　根据三角函数的单调性求参数 (1)已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是________． (2)已知函数f(x)＝(sin x－cos x)cos x，若f(x)在区间上是单调函数，则实数θ的取值范围是________． 已知函数单调性求参数 (1)明确一个不同：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集． (2)抓住两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解． 1．已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 2．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________． A级　基础过关 1．函数f(x)＝cos 的图象的一条对称轴方程为(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝－ 2．已知函数f(x)＝sin x cos (2x＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ＝(　　) A．0 B． C． D．π 3．若f(x)＝sin ，则(　　) A．f(1)＞f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2)＞f(1) C．f(2)＞f(1)＞f(3) D．f(1)＞f(3)＞f(2) 4．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 5．(多选)已知函数f(x)＝tan ，则(　　) A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)的定义域为 C．f＝f D．f(x)在上单调递减 6．(多选)已知f(x)＝cos ＋1，则下列说法正确的有(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)在上单调递增 C．f(x)的图象关于x＝轴对称 D．f(x)的图象关于点对称 7．记函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________． 8．已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1，且方程f(x)－a＝0在内有实数根，则实数a的取值范围是________． 9．设函数f(x)＝tan (ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调区间． 10．已知函数f(x)＝sin ＋cos ，g(x)＝2sin2. (1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值； (2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合． B级　能力提升 11．已知函数f(x)＝2sin ＋m(ω＞0)的最小正周期为T，若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点对称，则f＝(　　) A．－1 B．1 C．3 D．1＋ 12．(多选)已知函数f(x)＝2sin cos ωx－，ω＞0.若f(x)图象中离y轴最近的对称轴为x＝，则(　　) A．ω＝2 B．f(x)的最小正周期为π C．f(x)图象的一个对称中心是 D．f(x)的单调递增区间为(k∈Z) 13．已知函数f(x)＝cos4x＋2sinx cos x－sin4x. (1)当x∈时，求f(x)的最大值、最小值以及取得最值时的x值； (2)设g(x)＝3－2m＋m cos(m＞0)，则是否存在m，满足对于任意x1∈，都存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立？ C级　拓广探索 14．(多选)已知函数f(x)＝sin ，若当x∈[m，n](m＜n)时，f(x)∈，则n－m的值可能为(　　) A． B． C． D． 15．(多选)已知函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|，则下列说法正确的是(　　) A．是f(x)的周期 B．f(x)的最小值为 C．f＝f(x) D．f(x)＝在上有两解 学科网（北京）股份有限公司 $