二项式定理课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦二项式定理专题，覆盖二项展开式通项公式应用、二项式系数性质、赋值法三大核心考点，对接高考评价体系，通过近五年真题分析明确“特定项系数”“系数和”等高频考点分布，归纳三类常考展开式题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题实战+思维路径+素养落地”，如以2024北京卷(x-√x)^4为例，用“通项公式法”精准求解x^3系数，培养数学思维中的推理与运算能力，通过“相邻项比较法”突破系数最值问题，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此高效指导复习，助力学生高考冲刺。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第3节　二项式定理 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第3节　二项式定理 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 三个高考关键点 关键点1 二项展开式的通项公式的应用 1.(2024·北京,5)在的展开式中,x3的系数为(　　)[命题点❶❷] A.6 B.-6 C.12 D.-12 A 解析:的展开式的通项为Tr+1=x4-r(-1)r, r=0,1,2,3,4.令4-=3,得r=2,故所求即为(-1)2=6.故选A. 返回目录 2.(2024·天津,11)在()6的展开式中,常数项为　　　　　. [命题点❶❷]  20 解析:∵()6的展开式的通项为Tr+1=)6-r()r=36-2rx6(r-3), r=0,1,…,6.令6(r-3)=0,得r=3,∴常数项为30=20. 返回目录 关键点2 二项式系数性质的应用 3.(2025·江苏泰州模拟)(n∈N*)的展开式的各二项式系数的和为64,则常数项为(　　)[命题点❷❺] A.8 B.12 C.15 D.-20 C 解析:由题可知,2n=64,解得n=6,该展开式的通项为Tr+1=x6-r= (-1)r,令6-r=0,得r=4,所以常数项为(-1)4=15.故选C. 返回目录 4.(2025·湖北襄阳模拟)已知(1+x)n的展开式中第2项与第5项的系数相等,则偶数项的二项式系数的和为(　　)[命题点❸❹❺] A.8 B.16 C.32 D.64 B 解析:依题意,,由二项式系数的对称性得n=1+4=5,所以(1+x)5的展开式中偶数项的二项式系数的和为24=16.故选B. 返回目录 关键点3 赋值法的应用 5.(多选)(2026·河北百师联盟)设(2-3x)12=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则下列说法正确的有(　 　)[命题点❷❺❻] A.(2-3x)12的展开式的各二项式系数的和为212 B.a0=212 C.a0+a2+a4+…+a12= D.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a12|=1 ABC 返回目录 解析: (2-3x)12的展开式中各二项式系数的和为212,A正确; (2-3x)12=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,令x=0,得a0=212,B正确;令x=1,得a0+a1+a2+…+a11+a12=(2-3)12=1①,令x=-1,得a0-a1+a2-…-a11+a12 =(2+3)12=512②,①+②,得2(a0+a2+a4+…+a12)=512+1,即a0+a2+a4+…+a12=,C正确;(2-3x)12的展开式的通项为 Tr+1=212-r(-3x)r,故a0,a2,…,a12>0,a1,a3,…,a11<0,令x=-1, 得a0-a1+a2-…+a12=|a0|+|a1|+|a2|+…+|a12|=512,D错误.故选ABC. 返回目录 6.(2025·北京,12)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0=　　　　　;a1+a2+a3+a4=　　　　　.[命题点❻] 1 15 解析:令x=0,得a0=1.令x=-,得24=a0+a1+a2+a3+a4. 所以a1+a2+a3+a4=16-1=15. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.二项式定理 展开式共有n+1项,每项中a与b的幂指数之和均为n,展开式中由左到右按a的降幂排列,a的幂指数从n降到0.二项式定理由左到右起到展开的作用,由右到左起到化简的功能 定理 (a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn(n∈N*)[❶] 通项 第k+1项为Tk+1=an-kbk[❷] 二项式 系数 二项展开式中各项的二项式系数为(k=0,1,2,…,n)[❸] 二项式系数与项的系数是两个不同的概念 返回目录 2.二项式系数的性质 返回目录 [微点拨]利用赋值法求二项式系数的和 已知(1+x)n=x+x2+…+xn. 令x=1,得2n=+…+.[❻] 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　二项展开式的通项公式的应用 角度 1 形如(a+b)n(n∈N*)的展开式问题 命题视角:根据展开式的通项公式Tk+1=an-kbk,求解特定项或特定项的系数. 例1 (1)(多选)在的展开式中,下列结论错误的有(　　) A.含项的系数为-128 B.第5项和第6项的二项式系数相等 C.常数项是第7项 D.有理项共有3项 AD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:二项式的展开式的通项为Tk+1=(x2)9-k=(-2)kx18-3k, k∈N,k≤9.令18-3k=-3,得k=7,则T8=(-2)7x-3,展开式中含项的系数为 -128=-4 608,A错误;展开式共10项,根据二项式系数的对称性,第5项和第6项的二项式系数相等,B正确;令18-3k=0,得k=6,故展开式中的常数项是第7项,C正确;由18-3k为整数,k∈N,k≤9可知有理项共有10项,D错误.故选AD. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·四川绵阳模拟)在的展开式中,x3的系数为5,则a的值为 (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 B 解析: 的展开式的通项为Tk+1=(ax)5-k=(-1)ka5-k, k=0,1,2,3,4,5.令5-=3,得k=4,则(-1)4a=5a=5,解得a=1.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (1)(2025·广东深圳模拟)在的展开式中,常数项为84,则x6的系数为(　　) A.-9 B.-36 C.9 D.36 C 解析: 的展开式的通项为Tr+1=x9-r=(-1)rarx9-3r,令9-3r=0,得r=3,常数项为(-1)3a3=-84a3=84,解得a=-1.令9-3r=6,得r=1, 所以(-1)×(-1)x6=9x6,即x6的系数为9.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·江苏南通模拟)若二项式(n∈N*)的展开式中存在常数项,则n的最小值为(　　) A.1 B.3 C.5 D.6 B 解析:二项式的展开式的通项为Tr+1=xn-rxn-3r, r∈N,r≤n,依题意,n-3r=0有正整数解,则n是3的正整数倍,所以n的最小值为3.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式问题 命题视角:求解特定幂次项的系数,计算系数和. 例2 (1)在(x+)(x+y)5的展开式中,x2y4的系数为(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 C 解析:根据二项式定理,(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.因此在(x+) (x+y)5的展开式中,含x2y4的项为x·5xy4+10x3y2=15x2y4,所以x2y4的系数为15.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·四川广安模拟)已知(1+ax)(x-2)5的展开式中x3的系数为-80,则实数a的值为(　　) A. B.2 C.1 D.- A 解析: (1+ax)(x-2)5=(x-2)5+ax(x-2)5. (x-2)5的展开式的通项为Tk+1=x5-k·(-2)k,k=0,1,2,3,4,5. 令5-k=3,得k=2;令5-k=2,得k=3.所以(1+ax)(x-2)5的展开式中x3的系数为(-2)2+a(-2)3=-80,解得a=故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (1)在(x-1)4(x2-2x+2)的展开式中,x2的系数与常数项之差为(　　) A.20 B.19 C.-8 D.-15 B 解析: (x-1)4(x2-2x+2)=(x-1)4[(x-1)2+1]=(x-1)6+(x-1)4,展开式中x2的系数为=21,常数项为2,故x2的系数与常数项之差为21-2=19.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)已知(1+的展开式中常数项为40,则a=(　　) A.2 B.±2 C.± D.-2 B 解析:的展开式的通项为Tk+1=(x2)4-kak=akx8-2k.令8-2k=4,得k=2,第3项为a2x4=6a2x4;令8-2k=0,得k=4,第5项为a4=a4. 则(1+的展开式中常数项为a4+6a2x4=a4+6a2=40, 即a4+6a2-40=0,解得a2=4或a2=-10(舍去),所以a=±2.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 形如(a+b+c)n(n∈N*)的展开式问题 角度 3 命题视角:求解特定项的系数. 例3 (1)(2026·山东聊城模拟)(x+y+1)6的展开式中x3y2的系数为(　　) A.120 B.90 C.60 D.45 C 解析: (x+y+1)6=[x+(y+1)]6,其展开式的通项为Tk+1=x6-k(y+1)k.令6-k=3,得k=3. (y+1)3的展开式的通项为y3-m1m,令3-m=2,得m=1.所以(x+y+1)6的展开式中x3y2的系数为=60.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·广东佛山三模)若的展开式中常数项为31,则a=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 C 解析:依题意,15+12=1+30a=31,解得a=1.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (1)(2025·山东青岛模拟)将展开成按x的降幂排列的多项式,则展开式中第2项的系数为(　　) A.50 B.-50 C.-10 D.10 C 解析: (x2-2x+2)5=,其展开式的通项为Tr+1=(x-1)10-2r =x10-2r-t(-1)t,其中0≤r≤5,0≤t≤10-2r,r,t∈N.展开式按x的降幂排列,则最高次项次数为10,第二项次数为9.令10-2r-t=9,当r≥1时,10-2r-t≤8-t≤8,不满足题意.故r=0,t=1,对应系数为(-1)1=-10.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2026·广东中山模拟)的展开式中x17y的系数为A,的展开式中x17的系数为B,则=(　　) A.10 B.-10 C. D.- B 解析:表示10个因式(x2-x-y)的乘积,要得到x17y,需要8个因式选x2,1个因式选-x,1个因式选-y,故x17y的系数为(-1)2=90,即A=90;表示9个因式(x2-x)的乘积,要得到x17,需要8个因式选x2,1个因式选-x,故x17的系数为(-1)=-9,即B=-9.所以=-10.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 1.分别展开:分别写出(a+b)m与(c+d)n的展开式的通项. 2.合并通项:两通项相乘,得到总通项U(p,q). 3.求出解组:根据目标列方程,求出所有整数解组(p,q),并求其系数和. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　二项式系数与项的系数问题 角度 1 二项式系数的和与项的系数和 命题视角:利用二项式系数的性质及赋值法求整体系数和或部分系数和. 例4 (1)(2025·湖南益阳模拟)若(x+1)(x-2)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则(　　) A.a0=-64 B.a7=64 C.a0+a1+a2+…+a7=2 D.a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6 C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:对于A,令x=0,得1×(-2)6=a0,即a0=64,A错误;对于B,(x-2)6展开式的通项为Tr+1=x6-r(-2)r,r=0,1,2,3,4,5,6,a7是x7的系数,x7需由(x+1)中的x与(x-2)6中的x6相乘得到,所以a7=1(-2)0=1,B错误;对于C,令x=1,得2×(-1)6 =a0+a1+a2+…+a7,即a0+a1+a2+…+a7=2,C正确;对于D,令x=-1,得0×(-3)6 =a0-a1+a2-…-a7,即a0-a1+a2-…-a7=0,因为a0+a2+a4+a6= [(a0+a1+a2+…+a7)+(a0-a1+a2-…-a7)]=1,a0=64,所以a2+a4+a6=-63.因为a1+a3+a5+a7=[(a0+a1+a2+…+a7)-(a0-a1+a2-…-a7)]=1,所以a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6不成立,D错误.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(多选)(2026·重庆江北模拟)已知(1-2x)7= a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,则(　　) A.a1=14 B.a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0 C.=-37 D.a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7=7 BC 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:对于A,a1=(-2)=-14,故A错误.对于B,令x=,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0,故B正确.对于C,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1①;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37②. ①+②,得a0+a2+a4+a6=; ①-②,得a1+a3+a5+a7= 所以-(a1+a3+a5+a7)2==-37,故C正确. 对于D,设f(x)=(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7, 则f'(x)=-14(1-2x)6=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6. 令x=1,得-14=a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7,故D错误.故选BC. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练4 (1)(2025·江西新余模拟)已知二项式(2x+3)n的展开式的各二项式系数的和为256,(x-a)n=b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+b8(x+1)8,b5=448,则实数a=(　　) A.-3 B.-2 C.-1 D.1 A 解析:由题知,2n=256,解得n=8,(x-a)8=[(x+1)-a-1]8,其展开式的通项为Tr+1=(x+1)8-r(-a-1)r,令8-r=5,得r=3,则b5=(-a-1)3=448,解得a=-3.故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(多选)(2026·广东中山模拟)已知(2+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,展开式中只有第5项的二项式系数最大,以下说法正确的是(　 　) A.n=8 B.展开式中x4的系数为70 C.展开式中奇数项的系数和为 D.展开式中偶数项的二项式系数的和为27 ACD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:对于A,由展开式中只有第5项的二项式系数最大,可知第5项为中间项,故展开式共有9项,从而n=8,A正确;对于B,展开式中x4的系数为24=1 120, B错误;对于C,令x=1,得a0+a1+a2+…+a8=38;令x=-1,得a0-a1+a2-…+a8=1,两式相加,得2(a0+a2+a4+a6+a8)=38+1,从而奇数项的系数和为,C正确;对于D,根据二项式系数的性质,展开式中偶数项的二项式系数的和为27,D正确.故选ACD. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 二项式系数与项的系数的最值问题 命题视角:(1)求(a+b)n的展开式中最大的二项式系数; (2)求展开式中某项系数的最值. 例5 (1)(多选)下列关于(a-b)11(a>0,b>0)的说法中,正确的是(　　) A.展开式的各二项式系数之和为2 048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最大 AC 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析: (a-b)11的展开式的二项式系数之和为211=2 048,故A正确;因为n=11为奇数,所以展开式共有12项,中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大,故B错误,C正确;展开式中第6项的系数为(-1)5<0,不是最大值,故D错误.故选AC. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2024·全国甲,理13)在的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　　.  5 解析: (+x)10的展开式的通项为Tr+1=xr,其中0≤r≤10且r∈Z. 设展开式中第r+1项系数最大, 则 解得r,又r∈Z,故r=8.所以展开式中系数最大的项是第9项,该项系数为=5. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练5 (1)在的展开式中,含x3项的系数为15,则展开式中二项式系数最大的是(　　) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 C 解析:的展开式的通项为Tr+1=xn-r=(-1)r, r=0,1,2,…,n. 由已知可得解得根据二项式定理的性质,该展开式中二项式系数最大的是第4项.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)在(n∈N*)的展开式中,二项式系数的最大值为20,则系数的最大值为(　　) A.729 B.1 243 C.1 458 D.2 187 C 解析:二项式系数的性质,结合=20,得n=6.设展开式的第k+1项的系数为ak+1,则ak+1=3k,k=0,1,…,6.由k,所以k=5,则a6=35=1 458.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 1.判类型:二项式系数的和仅与组合数有关,与字母系数无关;项的系数和与全项系数有关,包含正负号、字母系数. 2.选方法:二项式系数的和可赋a=b=1得各二项式系数的和为2n,赋a=1,b=-1联立得奇、偶项的二项式系数的和.项的系数和中的整体系数和可赋所有未知数为1,奇、偶项的系数和可固定其他字母,赋目标值为±1,反求参数通过赋值列方程. 3.验细节:二项式系数的和勿掺杂字母系数,项的系数和勿漏赋值、负号. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 1.二项式系数最大项:遵循“先增后减,中间项最大”的规律. 当n为偶数时,仅第+1项(k=)的二项式系数最大; 当n为奇数时,第项(k=)的二项式系数最大. 2.项的系数最大项:用“相邻项比较法”求解. 设第k+1项的系数为ak+1,根据展开式的通项公式写出其表达式; 列不等式组求解不等式组得到整数k,对应的第k+1项即为系数最大项. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　二项式定理的应用 命题视角:(1)整除性,将底数拆成“除数的倍数±常数”的形式,展开后分析余数; (2)近似计算,取展开式的前几项进行数值估算. 例6 (多选)(2025·湖北黄冈模拟)下列说法正确的是(　 　) A.29+28+…+=39 B.若(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a8=0 C.5555被8整除的余数为1 D.1.0510精确到0.1的近似数为1.6 ABD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:A,由二项式定理可知29+28+…+=(2+1)9=39,A正确; 对于B,令x=0,得a0=1①, 令x=1,得1=a0+a1+a2+…+a8②, ②-①,得a1+a2+…+a8=0,B正确; 对于C,5555=(56-1)55=5655-5654+5653-…+561-560,展开式中前面55项都是8的倍数,最后一项为-1,由此可知5555被8整除的余数为 8-1=7,C错误; 对于D,1.0510=(1+0.05)10=0.050+0.051+0.052+…+0.0510 =1+0.5+0.112 5+…+0.0510≈1.612 5,所以1.0510精确到0.1的近似数为1.6,D正确. 故选ABD. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练6 (1)(2025·山东枣庄二模)已知(3x+1)2 025=a0+a1x+a2x2+…+ a2 025x2 025,则a1+a2+…+a2 025被4除的余数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:令x=0,得a0=12 025=1;令x=,得52 025=a0+a1+a2+…+a2 025.所以a1+a2+…+a2 025=52 025-1. 因为52 025=(4+1)2 025=42 02510+42 02411+…+4112 024 +4012 025,展开式中前面2 025项都是4的倍数,最后一项为1,所以52 025被4除的余数为1,则52 025-1被4除的余数为0.故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)利用二项式定理计算1.056,则其结果精确到0.01的近似值是(　　) A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34 D 解析:1.056=(1+0.05)6=0.05+0.052+0.053+…+0.056 =1+0.3+0.037 5+0.002 5+…+0.056≈1.34.故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 1.整除问题 返回目录 考点1 考点2 考点3 2.近似计算 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:特定项问题: (1)通项法,准确写出通项,根据特定项要求建立方程求解指数; (2)因式分解或拆分法,将复杂式子拆分为可直接应用二项式定理的形式; (3)三项式转化法,通常先分组,再利用组合数求解系数. 1.已知(n∈N*,n≥2)的展开式中存在常数项,则n的值可以为 (　　) A.8 B.9 C.10 D.12 C 返回目录 解析:(n∈N*,n≥2)的展开式的通项为Tr+1=)n-r(-)r =(-1)r,r=0,1,2,…,n.令3n-5r=0,得n=,因为的展开式中存在常数项,所以n=5,10,15,20,….故选C. 返回目录 2.(2025·山东泰安模拟)在(x-1)的展开式中,常数项为(　　) A.24 B.6 C.-6 D.-24 D 解析:依题意,的展开式的通项为Tr+1=x4-r=(-2)rx4-2r, r∈N,r≤4,显然4-2r=-1无解,令4-2r=0,得r=2,故所求常数项为-(-2)2=-24.故选D. 返回目录 3.(原创)已知(3x-y+2z)n的展开式中有一项是kxy3z3,则n-k=　　　　　.  3 367 解析:因为(3x-y+2z)n的展开式中每一项的次数均为n,所以n=1+3+3=7. 展开式中含有xy3z3的项为(3x)(-y)3(2z)3=-3 360xy3z3,所以k=-3 360,则n-k=3 367. 返回目录 命题趋势2:系数相关问题: (1)赋值法求系数和,令变量取特定值,是解决各项系数和、奇数项与偶数项系数和问题的关键; (2)比较法求系数最值,通过建立相邻项系数的不等式关系,确定系数最大(小)项的位置. 4.在的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,则展开式中x6的系数是(　　) A. B.- C. D.7 A 返回目录 解析:∵在的展开式中,只有第6项的二项式系数最大, ∴它的展开式共有11项, ∴n=10.故二项展开式的通项为Tr+1=令5+=6,得r=2,则的展开式中x6的系数为(-)2=故选A. 返回目录 5.已知(x-2)m的展开式的各二项式系数之和为32,则的展开式中各项系数的最大值为(　　) A.252 B.210 C.120 D.10 B 解析:因为(x-2)m的展开式的各二项式系数之和为32,所以2m=32,解得m=5.所以,展开式的通项为 Tr+1=Cx10-r=(-1)rC 当r=4或6时,项的系数最大,最大值为=210.故选B. 返回目录 $