10.2　二项式定理课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“二项式定理”专题，依据高考评价体系梳理了特定项及系数、二项式系数性质、多项展开式三大核心考点，通过近五年真题分析明确“特定项系数求解”占45%、“系数和与最值”占30%的高频考点分布，归纳出通项公式应用、赋值法等常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+技巧建模+素养提升”策略，如以2024年全国甲卷系数最值题为例，通过待定系数法推导不等式组，培养学生数学思维中的推理能力，结合2022新高考Ⅰ卷多项式积展开式问题，用组合思想构建模型，帮助学生掌握答题逻辑，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

第二节　二项式定理 1 知识清单 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝______________________________； (2)通项：Tk＋1＝________，k＝0，1，2，…，n，它表示第________项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数. 返回导航 2 2．二项式系数的性质 2n 返回导航 3 【常用结论】 在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n-1. 返回导航 4 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n的展开式中的第k项是an－kbk.(　　) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间的一项或中间的两项．(　　) (3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．(　　) (4)在(a＋bx)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数相同．(　　) × × √ × 返回导航 5 2．(人教A版选修三P31T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　) B．－ D．－ 答案：D 返回导航 6 3．(人教A版选修三P38T3(5))在(1－2x)n的展开式中，各项系数的和是________． 答案：±1 解析：在(1－2x)n的展开式中，各项系数的和与未知数无关，令未知数x＝1，可得各项系数的和为(1－2)n＝(－1)n＝±1. 返回导航 7 4．(人教A版选修三P38T5(2)改编)求18的展开式的常数项为________． 答案：18 564 返回导航 8 命题点一　二项式中的特定项及系数问题 例1 (1)(2026·武汉模拟)10的展开式中的系数为(　　) A．210 B．－210 C．10 D．－10 答案：D　 返回导航 9 返回导航 10 (2)(2026·沙坪坝模拟)6的展开式中常数项是－160，则a＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 答案：C 返回导航 11 学霸笔记：求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零，求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可． 返回导航 12 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修三P30例2(2)改编)6的展开式中x2的系数是(　　) A．－12 B．192 C．240 D．－192 答案：D　 返回导航 13 (2)(衔接·人教A版选修三P35T6(2)改编)10的常数项为________． 答案：－252 返回导航 14 命题点二　二项式系数与系数的性质 考向1　二项式系数和与系数和 例2 (1)(多选)在(x－y)5的展开式中，下列说法正确的是(　　) A．一共有6项 B．第3项为－10x3y2 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 答案：ACD　 返回导航 15 返回导航 16 (2)(链接·2025年北京卷)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝________；a1＋a2＋a3＋a4＝________． 答案：1　15 解析：令x＝0，则a0＝1，又(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，故(1－2x)4＝a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3(－2x)3＋a4(－2x)4，令t＝－2x，则(1＋t)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4，令t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24，故a1＋a2＋a3＋a4＝15. 返回导航 17 学霸笔记：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法． (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 返回导航 18 跟踪训练　(1)若二项式n的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为(　　) A．－20 B．－30 C．15 D．20 答案：A　 返回导航 19 (2)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝(　　) A．1 B．121 C．－243 D．243 答案：D 返回导航 20 考向2　二项式系数与项的系数的最值问题 例 3 (1)若n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 答案：B　 返回导航 21 (2)(链接·2024年全国甲卷) 10的展开式中，各项系数中的最大值为________． 答案：5 返回导航 22 学霸笔记：(1)二项式系数最大项的确定方法 ①若n是偶数，则中间一项(第＋1项)的二项式系数最大． ②若n是奇数，则中间两项(第项与第＋1项)的二项式系数相等并最大． (2)二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k. 返回导航 23 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修三P38T1(7))(1＋x)2n的展开式中，系数最大的项是第________项． (2)已知n的二项式系数和为64，则二项式系数的最大值为________． n＋1 20 返回导航 24 返回导航 25 命题点三　多项展开式中的特定项问题 考向1　几个多项式和的展开式 例4 在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是(　　) A．25　　　B．30　　　C．35　　　D．40 答案：C 返回导航 26 返回导航 27 学霸笔记：对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)． 返回导航 28 跟踪训练　(人教A版选修三P38复习参考题T9)在(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n+2的展开式中，含x2项的系数是________________． 返回导航 29 考向2　几个多项式积的展开式 例5 (链接·2022年新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 答案：－28 返回导航 30 真题探源　(源自人教A版选修三P38T5(4))(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数为________． 答案：135 返回导航 31 学霸笔记：对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 返回导航 32 考向3　三项展开式 例6 在4展开式中，x3的系数为________. 答案：－1 024 返回导航 33 学霸笔记：(1)因式分解法：将三项式利用因式分解化为两个二项式的乘积，然后利用二项式定理求解． (2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解． (3)组合知识法：把(a＋b＋c)n看成n个a＋b＋c的积，利用组合知识分析项的构成． 返回导航 34 　跟踪训练　(衔接·人教A版选修三P38T5(5)改编)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为________________． 答案：30 返回导航 35 1．(2026·乐山模拟)求x(1＋x)10的展开式中x4的系数为(　　) A．45 B．90 C．120 D．210 答案：C 解析：二项式(1＋x)10展开式的通项为Tk＋1＝xk，k≤10，k∈N，所以x(1＋x)10的展开式中x4的系数等于(1＋x)10展开式中x3的系数，即＝120.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 2．在4的展开式中，常数项为(　　) A．－12 B．－6 C．6 D．12 答案：C 解析：由题设，二项式展开式为Tk＋1＝x4-kk＝x4-2k，k＝0，1，…，4，所以k＝2时，常数项为T3＝＝6.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 3．已知二项式(3x－1)n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则n为(　　) A．15 B．10 C．9 D．8 答案：D 解析：(3x－1)n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，故第5项为中间项，展开式共有9项，所以n＝8.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 4．若n的展开式中x与x2项的系数相等，则n＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 答案：C 解析：依题意，n＝∈N*，由展开式中x与x2项的系数相等，得，因此1＋2＝，所以n＝6.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 5．若(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)且a1＋a2＝28，则在展开式中各项系数的最大值为(　　) A．42 B．35 C．28 D．21 答案：B 解析：(1＋x)n展开式的通项为Tk＋1＝(1)n－kxk，k≤n且k∈N，a1＋a2＝28，即＋＝28，解得n＝7，故展开式中共有8项，所以展开式中间两项的系数最大，最大值为＝＝35.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 6．(2026·贵阳模拟)在(3－2x2)(1＋2x)5的展开式中，x3的系数为(　　) A．260 B．－260 C．－220 D．220 答案：D 解析：依题意，(1＋2x)5展开式中含x的项为·2x，含x3的项为(2x)3，因此(3－2x2)(1＋2x)5的展开式中含x3的项为－(2x)3＝220x3，所以x3的系数为220.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 7．(2026·蚌埠模拟)已知n的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中x的系数为(　　) A.10 B．32 C．40 D．80 答案：C 解析：根据题意，在n中，令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5，则二项式5的展开式的通项为Tk＋1＝x10-3k，其中k＝0，1，2，…，5，令10－3k＝1⇒k＝3，则展开式中x的系数为＝40.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 8．(2026·聊城模拟)(x＋y＋1)6的展开式中x3y2项的系数为(　　) A．120 B．90 C．60 D．45 答案：C 解析：因为(x＋y＋1)6＝[x＋(y＋1)]6，所以(x＋y＋1)6的展开式中x3y2项的系数为＝60.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 9．下列关于10的二项展开式，说法正确的是(　　) A．展开式共有10项 B．展开式的二项式系数之和为1 024 C．展开式的常数项为8 064 D．展开式的第6项的二项式系数最大 答案：BD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 解析：由题意可知，展开式共有11项，故A错误；展开式的二项式系数之和为210＝1 024，故B正确；展开式的通项为Tk＋1＝10-k(－2x)k＝x2k-10，k≤10且k∈N，令2k－10＝0，得k＝5，所以展开式的常数项为T5＋1＝＝－8 064，故C错误；当k＝5时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确．故选BD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 10．已知(x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(　　) A．a0＝1 B．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝0 C．a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝－512 D．a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝256 答案：BC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 解析：令x＝0，得a0＝(－1)9＝－1，故A错误；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝09＝0，故B正确；令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝(－2)9＝－512，故C正确；将a0＋a1＋a2＋…＋a9＝0与a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝－512这两式的左右两边分别相加，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝－512，解得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝－256，故D错误．故选BC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 11．(2025·天津卷)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为________． 答案：－20 解析：(x－1)6展开式的通项公式为Tk＋1＝x6-k(－1)k＝x6-k，k≤6且k∈N，令6－k＝3，得k＝3，所以x3项的系数为＝－20. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 12．(2026·徐州模拟)若(1＋x)n(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2∶3，则n＝________． 答案：4 解析：因为(1＋x)n展开式的通项为Tk＋1＝xk(0≤k≤n，k∈N)，因为第2项与第3项的二项式系数之比为2∶3，所以＝2∶3，即，解得n＝4. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 13．(13分)已知二项展开式(3－2x)2 025＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a2 025(x－1)2 025. (1)求的值； 答案：已知(3－2x)2 025＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a2 025(x－1)2 025， 令x＝1，可得a0＝1， 令x＝，可得a0＋＝(3－3)2 025＝0， 所以＝－1. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 (2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|的值． 答案：(3－2x)2 025＝[1－2(x－1)]2 025展开式的通项为Tk＋1＝×12 025-k×[－2(x－1)]k＝(x－1)k，k≤n且k∈N. 当k为偶数时，ak＝>0； 当k为奇数时，ak＝<0. 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025. 令x＝0，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝32 025， 即|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|＝32 025. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 14．(15分)已知n的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍． (1)求n的值； 答案：n的展开式的通项为 Tk＋1＝n－kk＝，k≤n且k∈N， 因为第三项的系数是第二项系数的2倍， ，解得＝4n，因为n∈N*，所以n＝9. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 (2)求展开式中二项式系数最大的项； 答案：由n＝9知展开式共有10项，二项式系数最大的项为第5项和第6项， 由(1)知第5项为T5＝，第6项为T6＝， 所以二项式系数最大的项为和. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 (3)求(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n+2的展开式中含x2项的系数(结果用数值表示)． 答案：由(1)知展开式中x2的系数为 ＋＋…＋＝＋＋＋…＋－1＝－1＝219， 所以展开式中含x2项的系数为219. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 15．(5分)(2026·邯郸模拟)若6的展开式中x10的系数比x2的系数小300，则实数a＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 解析：由二项式6展开式的通项为Tk＋1＝＝k·26-kx18-4k，k≤6且k∈N，令18－4k＝10，可得k＝2，所以展开式的x10的系数为＝240a，令18－4k＝2，可得k＝4，所以展开式的x2的系数为＝60a2，因为展开式中x10的系数比x2的系数小300，可得60a2－240a＝300，即a2－4a－5＝0，解得a＝5或a＝－1，又因为a≥0，所以a＝5.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 16.(5分)(2026·开封模拟)已知n，(n≥4，n∈N*)的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15∶2，展开式中系数最大项是________． 答案： 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 解析：由题意，可得二项式n展开式的通项为Tk＋1＝xn－k·k＝xn-3k，k≤n且k∈N，因为第5项与第3项的二项式系数之比为15∶2，可得，即，所以n2－5n－84＝0，则n＝12或n＝－7(舍)，设展开式中第k＋1项的系数最大，则可得解得，因为k∈N*，所以k＝4，所以系数最大的项为T5＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 Can－kbk　 k＋1 解析：(x－1)10的展开式的第6项是T6＝C·x5·(－1)5＝－C·x5，所以(x－1)10的展开式的第6项的系数是－C. 解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝C(9x)·()k＝336－3kCx18－k(0≤k≤18，k∈N)，令18－k＝0得k＝12，所以展开式的常数项为C，所以展开式的常数项为C＝C＝18 564. 解析：已知展开式中第k＋1项为Cx10－k(－)k＝(－1)kCx10－k，令10－k＝－2，解得k＝9，所以含的项为(－1)9Cx－2＝－1×10×＝－10·.因此展开式中的系数为－10.故选D. 解析：因为(－)6的展开式中常数项是C·()3·(－)3＝C·(－a)3，由C·(－a)3＝－160⇒20×(－a)3＝－160⇒a＝2.故选C. 解析：(2－)6的展开式的通项是C(2)6－k(－)k＝(－1)k26－kCx3－x，由题意得3－k＝2，k＝1，所以x2的系数是(－1)×25×C＝－192.故选D. 解析： (2x3－)10展开式的通项是Tk＋1＝C·(2x3)10－k·(－)k＝210－k·(－)k·C·x30－6k，令30－6k＝0，解得k＝5，所以(2x3－)10展开式的常数项是25·(－)5·C＝－252. 解析：对于A，因为(x－y)5的次数为5，故展开式共有6项，故A正确；对于B，二项式展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx5－k(－y)k，k＝0，1，2，3，4，5，令k＝2，可得第三项为T3＝Cx3(－y)2＝10x3y2，故B错误；对于C，令x＝y＝1可得所有项的系数和为0，故C正确；对于D，所有项的二项式系数和为25＝32，故D正确．故选ACD. 解析：由题意得，2n＝64⇒n＝6，所以展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k(－)k＝(－1)kCx6－2k，令6－2k＝0⇒k＝3，所以展开式中的常数项为(－1)3C＝－20.故选A. 解析：因为(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝C25x5－C24x4＋C23x3－…＋C(－1)5，所以a0＝－1<0，a1>0，a2<0，a3>0，a4<0，a5>0.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－35，所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)＝35＝243. 解析：因为(x＋)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有11项，即n＝10.故选B. 解析：由题得展开式通项公式为Tk＋1＝C()10－kxk，0≤k≤10且k∈Z，设展开式中第k＋1项系数最大，则⇒即≤k≤，又k∈Z，故k＝8，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C()2＝5. 解析：(1)在(1＋x)2n的展开式中，第k＋1项的系数与第k＋1项的二次项系数相同(k＝0，1，2，…，2n).又二项展开式共有2n＋1项，中间项的二项式系数最大，可得第n＋1项的系数最大． (2)因为(2x－)n的二项式系数和为64，则2n＝64，解得n＝6，所以二项式系数的最大值为C＝20. 解析：方法一　(1＋x)3展开式中含x3的系数为1，(1＋x)4展开式中含x3的系数为C＝4，(1＋x)5展开式中含x3的系数为C＝10，(1＋x)6展开式中含x3的系数为C＝20，所以展开式中含x3的系数为35. 方法二　多项式可化为＝，二项式(x＋1)7的通项公式为Tk＋1＝Cx7－k，令7－k＝4⇒k＝3，含x3项的系数为C＝35.故选C. 答案：－1 解析：(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n＋2的展开式中，含x2项的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋…＋C－1＝C＋…＋C－1＝C－1＝－1. 解析：因为(1－)(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，所以(1－)(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6，(1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28. 解析：(1－x)10展开式通项Tk＋1＝C(－1)kxk，展开式x4项为Cx4，x3项为－Cx3，x2项为Cx2，则(1＋x＋x2)(1－x)10展开式中x4的系数为C－C＋C＝210－120＋45＝135. 解析：(4x＋－4)4表示4个(4x＋－4)相乘，要想得到x3，需要从4个因式中，3个选择x项，1个选择常数项，所以x3的系数为C×43×(－4)＝－45＝－210＝－1 024. 解析：∵(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，设其展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(x2＋x)5－k·yk，0≤k≤5，k∈N，令k＝2，得(x2＋x)3的通项公式为C·(x2)3－m·xm＝C·x6－m，0≤m≤3，m∈N，再令6－m＝5，得m＝1，∴(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为C·C＝10×3＝30，即(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为30. $