第2章 一元二次方程综合试卷2 2025-2026学年浙教版数学八年级下 册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元复习卷，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，融合文化传承（《四元玉鉴》改编题）与现实情境（草莓产量增长、菜园围建），考查解方程、根的判别式、韦达定理及实际应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10题|解一元二次方程、根的判别式、韦达定理|如第8题结合一次函数图象考查参数取值，体现数学思维的逻辑性| |填空题|7题|根与系数关系、增长率问题、新定义|第14题以草莓产业发展为背景，考查模型意识；第17题新定义“同类方程”培养创新意识| |解答题|5题|解方程、纠错、实际应用|第21题菜园围建结合劳动教育实践，第22题工厂利润问题强化应用意识，均体现数学语言表达现实世界|

一元二次方程综合试卷2 一、选择题 1.一元二次方程的解是（   ）。 A． B． C． D． 2.若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（   ）。 A． B． C． D． 3.已知a、b是一元二次方程的两根，则的值为（   ）。 A． B． C． D． 4.若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（   ）。 A． B． C． D． 5.若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（　 　）。 A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥2 D．k≠2 6.若实数、满足，且，则的值是（   ）。 A． B．3 C．1 D． 7.下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ）。 A． B． C． D． 8.已知一元二次方程有实数根，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则整数的值为（   ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 9.有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②。若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（    ）。 A．14 B．15 C．16 D．17 10.《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于年。该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位。小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文。如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱。下列说法不正确的是（    ）。 A．设这批椽的数量为x株，则 B．一株椽的价钱为27文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 二、填空题 11.关于x的一元二次方程的两个根是，若，则m的值是 。 12.若关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围__________。 13.已知是一元二次方程的一个根，则__________。 14.从黄河滩区的标准化大棚，到唐店村的品牌化实践，河南草莓产业正走出一条“科技育种规范种植品牌赋能”的高质量发展之路。某村2025年产草莓鲜果150万千克，假设从2025年到2027年，每年草莓鲜果产量的增长率相同，预计2027年的产量为216万千克。设每年草莓鲜果产量的增长率为，则可列方程：___________。 15.实数x、y满足，，，则 。 16.一个直角三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，则这个直角三角形的第三边长为 。 17.新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”。如与是“同类方程”。现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”。那么代数式能取的最大值是_________。 三、解答题 18.解方程： （1） （2） 19.小明同学在解一元二次方程时， 他是这样做的∶ 解方程∶ （1）小明的解法从第几步开始出现错误； （2）请用适当方法给出正确的解答。 20.已知关于的一元二次方程有两个实数根。 （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实根满足，求的值。 21.某中学九年级“田园梦工厂”社团计划在校内修建菜园，作为学校劳动教育实践基地。社团成员已完成实地测量并获取相关数据（如下表），请结合表中信息解决以下两个问题。 实践内容 围建一个长方形菜园（如图） 素材整理 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建。    素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口。 解决问题 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由。 22.某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份累计收入达364万元，且2，3月份的生产收入保持相同的增长率，3月份后每月生产收入稳定在3月份的水平。 （1）求使用新设备后，2月3月生产收入的月增长率 （2）购进新设备需一次性支付640万元，则使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费） 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程综合试卷2 一、选择题 1.一元二次方程的解是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等。利用因式分解法解该方程，即可获得答案。 【详解】解：， ∴或， ∴， 故选：A。 2.若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义。根据一元二次方程的定义可知二次项的系数不能为0，即可得到，从而解题。 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， 即， 故选：B。 3.已知a、b是一元二次方程的两根，则的值为（   ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系得，，再通分和进行同分母的加法运算得到原式，然后利用整体代入的方法计算。 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以， 故选：A。 4.若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键；由题意易得，然后可得，然后问题可求解。 【详解】解：由题意得：， ∵方程要有实数根， ∴， 解得：； 故选A。 5.若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（　 　）。 A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥2 D．k≠2 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k-2≠0且△=（-2k）2-4（k-2）k≥0，然后求出两不等式的公共部分即可。 【详解】解：根据题意得k-2≠0且△=（-2k）2-4（k-2）k≥0， 解得k≥0且k≠2， 故选：B。 6.若实数、满足，且，则的值是（   ）。 A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】整理等式确定是同一个一元二次方程的两个不相等的实根，再利用根与系数的关系求出和，最后通分计算目标代数式即可。 【详解】解：实数，满足， ，且， 整理第二个等式得， 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，， 。 7.下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，依次计算各选项的判别式即可得到结果。 【详解】解： A．方程中， ， ， 方程没有实数根，本选项错误； B．方程中， ， ， 方程有两个相等的实数根，本选项错误； C．方程中，， ， 方程没有实数根，本选项错误； D．方程 中， ， ， 方程有两个不相等的实数根，本选项正确。 8.已知一元二次方程有实数根，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则整数的值为（   ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式和一次函数的性质求出m的取值范围，结合选项筛选出符合条件的整数m。 【详解】解：∵一元二次方程有实数根 ∴根的判别式 解得； ∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴， 观察各选项，只有B符合题意。 9.有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②。若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（    ）。 A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，准确识图，熟练掌握正方形的性质，并根据正方形的面积公式构造方程是解决问题的关键。设正方形B的边长为a，其中，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为，依题意得图②中大正方形的边长为，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可。 【详解】解：设正方形B的边长为a，其中， ∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1， ∴阴影部分为正方形，且边长为1， ∴图①中大正方形的边长为， 即正方形A的边长为， 又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示： ∴图②中大正方形的边长为：， ∵图②中阴影部分的面积为7， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴图②中大正方形的边长为： ∴图②中大正方形的面积为15； 故选：B。 10.《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于年。该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位。小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文。如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱。下列说法不正确的是（    ）。 A．设这批椽的数量为x株，则 B．一株椽的价钱为27文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系。 根据题意，找出等量关系，列方程求解，对各选项进行分析即可。 【详解】解：设这批椽一共有x株， 根据题意得，， 即， 解得，，（舍去）， ∴这批椽一共有株， ∴一株椽的价钱为：（文）； ．设这批椽的数量为株，则，说法正确，不符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法不正确，符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法正确，不符合题意； ．这批椽一共有株，说法正确，不符合题意。 故选：。 二、填空题 11.关于x的一元二次方程的两个根是，若，则m的值是 。 【答案】4 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：是解题的关键。直接运用一元二次方程根与系数的关系即可解答。 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是，若， ∴，即。 故答案为4。 12.若关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围__________。 【答案】且/且 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式，即可求解。 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且 解得：且， 故答案为：且。 13.已知是一元二次方程的一个根，则__________。 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值， 据此把代入原方程得到的值即可得到答案。 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为；。 14.从黄河滩区的标准化大棚，到唐店村的品牌化实践，河南草莓产业正走出一条“科技育种规范种植品牌赋能”的高质量发展之路。某村2025年产草莓鲜果150万千克，假设从2025年到2027年，每年草莓鲜果产量的增长率相同，预计2027年的产量为216万千克。设每年草莓鲜果产量的增长率为，则可列方程：___________。 【答案】 【分析】根据“从2025年到2027两年间，把某种产品的产量由150万千克提高到216万千克”列方程即可得解。 【详解】解：设每年草莓鲜果产量的增长率为， 根据题意得。 15.实数x、y满足，，，则 。 【答案】 【分析】先用两式相减计算，然后两式相加得到，再根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可解题。 本题考查因式分解、解一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键。 【详解】解：∵实数x、y满足，，， ∴，即 ∵ ∴， ∴， 解得， ∴， ∴ 故答案为：。 16.一个直角三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，则这个直角三角形的第三边长为 。 【答案】或4 【分析】先求出原方程的解，然后分原方程的两个解的是两条直角边时以及原方程的两个解的是一条直角边和斜边时，分别利用勾股定理进行计算即可得出答案。 【详解】解：∵直角三角形的两边长恰好是方程x2﹣8x+15＝0的两个根， x2﹣8x+15＝0， ， ∴，， ∴直角三角形的两边是3，5， 当原方程的两个解的是两条直角边时，根据勾股定理得其斜边为＝； 当原方程的两个解的是一条直角边和斜边时，斜边一定是5，根据勾股定理得其另一条直角边为＝4， 故答案为：或4。 17.新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”。如与是“同类方程”。现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”。那么代数式能取的最大值是_________。 【答案】 【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值。 【详解】∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为2023， 故答案为：。 三、解答题 18.解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键。 （1）利用因式分解法解方程； （2）利用公式法解方程。 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ， 解得，。 19.小明同学在解一元二次方程时， 他是这样做的∶ 解方程∶ （1）小明的解法从第几步开始出现错误； （2）请用适当方法给出正确的解答。 【答案】（1）4 （2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程.掌握解一元二次方程的方法是解题的关键。 （1）根据0乘以任何数都等于0，还有1乘以除0以外的任何数都等于任何数的情况，故小明的解法从第4步开始出现错误， （2）用直接开平方法解方程即可。 【详解】（1）解：小明的解法从第4步开始出现错误， ∵0乘以任何数都等于0，还有1乘以除0以外的任何数都等于任何数， ∴还有的情况。 故答案为：4； （2） 。 20.已知关于的一元二次方程有两个实数根。 （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实根满足，求的值。 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键。 （1）一元二次方程有两个实数根的条件是判别式的值大于等于零； （2）根据根与系数的关系可得，，再建立关于的方程，求解即可。 【详解】（1）∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵一元二次方程的两个实根是和， ∴，， ∵， ∴， 解得：。 21.某中学九年级“田园梦工厂”社团计划在校内修建菜园，作为学校劳动教育实践基地。社团成员已完成实地测量并获取相关数据（如下表），请结合表中信息解决以下两个问题。 实践内容 围建一个长方形菜园（如图） 素材整理 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建。    素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口。 解决问题 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由。 【答案】任务1：当时，菜园的面积为 任务2：不能，理由见详解 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键。 任务1：设的长为，则，由面积公式列式求解即可； 任务2：根据题意，由面积公式列式求解即可。 【详解】解：任务1：设的长为， ∴， ∴菜园的面积为， 整理得，， ∴， 解得，， ∴当时，不符合题意，舍去， ∴， ∴当时，菜园的面积为； 任务2：不能，理由如下， 根据题意得到，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴长方形菜园的面积不能为。 22.某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份累计收入达364万元，且2，3月份的生产收入保持相同的增长率，3月份后每月生产收入稳定在3月份的水平。 （1）求使用新设备后，2月3月生产收入的月增长率 （2）购进新设备需一次性支付640万元，则使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费） 【答案】（1）每月的增长率是。 （2）使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润。 【分析】本题主要考查理一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出方程和不等式是解题的关键。 （1）设每月的增长率为x，那么2月份的生产收入为，三月份的生产收入为，根据1至3月份的生产收入累计可达364万元可列方程求解即可； （2）设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据不等关系可列不等式求解即可。 【详解】（1）解：设每月的增长率为x，由题意得：， 解得或（不合题意舍去）。 答：每月的增长率是。 （2）解：设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依题意有， 解得。 答：使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $