第2章一元二次方程 单元达标测试题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《第2章一元二次方程》单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 2．用配方法将方程化成的形式，则的值是（　） A．4 B． C． D． 3．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．1 B．2026 C． D． 4．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．我们规定一种新运算“”，其意义为，若，则的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长是（    ） A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确 7．2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若关于x的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为_______． 10．若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 11．一元二次方程有两个不等实根，则的取值范围是______． 12．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小刚看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程为__________． 13．已知，，且，则______． 14．已知是方程的一个根，则______． 15．关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是______． 16．某公园2023年绿化面积10公顷，经过不断的努力改造与建设，2025年达到了公顷，则这两年的年均绿化面积增长率等于________． 三、解答题（满分72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为整数，求整数的值． 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 20．已知，是一元二次方程的两实根. (1)如果，求的值； (2)如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长． 21．阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 22．已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度匀速运动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为（）． (1) s后，的面积为？ (2)几秒后，的长度为？ (3)的面积能否为？请说明理由． 23．榆林作为陕北剪纸的重要传承地，其剪纸文创产品广受欢迎．某商家通过线上平台销售榆林特色陕北剪纸文创画，经过一段时间发现：当每幅剪纸画的售价是50元时，每天可售出该剪纸画20幅；而当售价在35元至50元范围内时，这种剪纸画的售价每降低1元，每天就会多售出2幅，设该陕北剪纸文创画每幅的售价为元． (1)请用含的代数式表示每天能售出该陕北剪纸文创画_____幅； (2)已知这种陕北剪纸文创画的制作成本是每幅15元，若要保证每天盈利900元， ①求该陕北剪纸文创画每幅的售价应为多少元？ ②为了助力榆林剪纸艺术传承，商家决定每销售1幅该陕北剪纸文创画便通过线上平台自动向剪纸艺术保护组织捐款0.8元，求商家每天通过销售该陕北剪纸文创画捐款多少元？ 参考答案 1．B 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数最高次数为2， 选项A中，的未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项B中，原方程整理得，满足一元二次方程的全部条件，符合要求； 选项C中，展开整理原方程：左边展开得，右边为，移项合并得：，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项D中，未说明，当时，未知数最高次数不是2，不满足定义，不符合要求． 2．C 【分析】根据配方法的步骤进行配方，可得到a与b的值，再代入中计算即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 故, 所以， 故选C． 3．A 【分析】直接利用一元二次方程的根与系数关系进行求解即可得到结果． 【详解】解：∵ a，b是方程的两个实数根， ∴． 4．D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 5．B 【分析】根据新运算的定义将原式转化为一元二次方程，整理求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， 解得：，． 6．C 【分析】先通过因式分解法解一元二次方程得到第三边的可能值，再利用三角形三边关系排除不符合的解，最后计算周长得到结果． 【详解】解：， ， 解得：或， 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 当时，，不满足三边关系，舍去； 当时，满足三边关系，可以构成三角形； ∴三角形周长为． 7．A 【分析】根据原价为每吨3400元，先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，列出方程即可. 【详解】解：由题意，得，即. 8．D 【分析】设段的长为，根据篱笆总长为以及有两个宽为的门，表示出的长，再根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设段的长为， 篱笆总长为，且中间隔有一道篱笆， 垂直于墙的三段篱笆总长为， 在上有两扇宽为的小门（不用篱笆）， 平行于墙的边的长度为 ，即， 花圃的面积为， 可列方程为 ． 9． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系求另一个根即可． 【详解】解：另一个根为， 根据根与系数的关系可知， 解得． 故答案为：． 10．2 【分析】根据一元二次方程的定义得到，再利用方程的解的定义，将代入已知方程，列出关于的方程，求解后结合二次项系数不为0的条件确定的值； 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为0， ∴将代入方程得： ， 即， 因式分解得， 解得或， 又∵一元二次方程的二次项系数不能为0，即，得， ∴的值为2． 11．且 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不为，再由方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于． 【详解】解：因为是一元二次方程， 所以． 因为方程有两个不相等的实数根， 所以方程根的判别式，即 解得. 所以的取值范围为且． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，从小明的解可求出常数项，从小刚的解可求出一次项系数 【详解】解：小明看错了一次项系数，但解正确，故常数项正确， 由根与系数的关系，； 小刚看错了常数项，但解正确，故一次项系数正确， 由根与系数的关系，，即，解得． 因此正确的一元二次方程为． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查根与系数的关系，由题意可知，m 和 n 是方程的两个根，根据根与系数的关系求出和的值，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴ m 和 n是方程的两个根． ∴，． ∴ ． 故答案为：． 14． 【分析】是方程的一个根，推出．推出，，整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴． ∴，， ， ． 15．， 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，再根据关于x的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【详解】解：观察与的形式可知，后者的解与前者的解满足关系， ∵x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，， ∴或， ∴，， 即方程的解是，． 16．/0.2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设年均增长率为x，根据增长模型列出方程，通过解二次方程求x的值即可． 【详解】解：设年均增长率为x，则2025年绿化面积可表示为，根据题意得： ， 两边除以10得， 开平方得：（舍去负根）， 解得：． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】（1）先整理方程，再利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： ，即， 或， 解得． 18．(1)见解析 (2)或、2、 【分析】（1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，求出m的值即可． 【详解】（1）证明：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∵， ∴此方程总有两个实数根； （2）由一元二次方程的求根公式得，， ∴，， ∵、都为整数， ∴或、2、． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程有实数根得到，即可求出k的取值范围； （2）由根与系数的关系得到，，再根据题目给出的条件进行解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ， ∴， ∴， 解得 ． （2）解：由根与系数的关系得： ， ， ， 整理得 ， ∴， 解得 或 ， ， ． 20．(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）根据根与系数的关系定理，得，，结合等腰三角形，三角形三边关系定理解答即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理，当时，三角形的周长为17； ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 21．(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解； （2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 22．(1)1 (2)2秒后，的长度为 (3)的面积不能为，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当时，方程没有实数根”． （1）利用时间=路程÷速度，可求出x的取值范围，当运动时间为时，，根据的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用勾股定理，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）的面积不能为，假设的面积能为，根据的面积为，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即的面积不能为． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当运动时间为时，， 根据题意得：， 即，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴1s后，的面积为． 故答案为：1； （2）解：根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：2秒后，的长度为； （3）解：的面积不能为，理由如下： 假设的面积能为，则有， ∴， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即的面积不能为． 23．(1) (2)①该陕北剪纸文创画每幅的售价应为元；②商家每天通过销售该陕北剪纸文创画捐款元 【分析】本题考查一元二次方程在销售问题中的应用，关键是根据售价与销量的关系列出代数式，再结合盈利条件建立方程求解． （1）根据售价从元降到元，降价了元，每降1元多售出2幅，因此多售出幅，结合原有销量幅，得到总销量； （2）①根据“每幅利润销量总盈利”列出方程，求解后结合售价范围确定符合条件的售价； ②根据确定的售价算出销量，再乘以每幅的捐款额元，得到每天的捐款总额． 【详解】（1）解：售价从元降到元，降价元， 多售出幅， 每天能售出幅； （2）解：①每幅利润为元，销量为幅， 根据题意，得， 整理得：， 因式分解：， 解得，， ， 不符合条件，取， 答：该陕北剪纸文创画每幅的售价应为元； ②当时，销量为（幅）， 每天捐款为（元）， 答：商家每天通过销售该陕北剪纸文创画捐款元． 学科网（北京）股份有限公司 $