精品解析：上海市民办华育中学2025-2026学年第二学期启行八年级数学

2025学年第二学期启行八年级数学 一、选择题（共24分） 1. 将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（　　） A. 测量两组对边是否相等 B. 测量对角线是否相等 C. 测量对角线是否互相平分 D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 3. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图像是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形中，点、在对角线上，连接、、、，若要判定四边形是菱形，则添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，，，，设交于点，则下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 用直尺和圆规在一个矩形内作菱形，下列作法中，错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共48分） 7. 若一个多边形的内角和与外角和之比为，则该多边形的边数为_______． 8. 在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，点A和点B的对应点分别是点和点，如果点的坐标是，那么点的坐标是______． 9. 已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，写出一个满足条件的的值______． 10. 点在轴上，点到点与点的距离相等，则点的坐标为______． 11. 已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为______． 12. 在中，，，，点G是的重心，连接，那么_________． 13. 下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；②矩形的对角线一定互相垂直；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线垂直的矩形是正方形．其中正确的是________．（把所有正确结论的序号都填上） 14. 我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是，那么这个菱形的面积是______． 15. 如图，在矩形中，，，、分别是边、的中点，点、在对角线上，如果四边形是矩形，那么的长等于______． 16. 如图，矩形中，为上一点，将沿翻折，点的对应点恰好为的重心，那么__________． 17. 如图，点C在x轴上，平行四边形的对角线OB，AC相交于点D，双曲线经过A，D两点，则平行四边形的面积是________． 18. 平行四边形中，两条邻边长分别为6和10，与的平分线交于点，点是的中点，连接，则______． 三、解答题：（共78分） 19. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 20. 如图1，在中，为上一点，使，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：四边形是菱形． 21. 七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形组成，用七巧板可以拼出2600多种图形．如图，图中的正方形就是由七巧板无缝隙、无重叠地拼接而成（简称密铺）．如果设编号为④的三角形的面积为2． （1）直接写出四边形的周长与面积：_____，_____； （2）小明说：他可以用编号分别为③，④，⑤，⑥，⑦的五块板密铺出一个新的正方形，试求这个密铺出的新正方形的边长与面积，并在备用图中画出密铺之后新正方形的示意图（每块标注对应编号）． 22. 在四边形中，，分别是，的中点， （1）如图1，当时，求证： （2）如图2，当不平行于时，求证：． 23. 甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了450cm．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为x（s），甲、乙行走的路程分别为y1（cm）、y2（cm），y1、y2与x之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）乙比甲晚出发　 　s，乙提速前的速度是每秒　 　cm，m=　 　，n=　 　； （2）当x为何值时，乙追上了甲？ （3）在乙提速后到甲、乙都停止的这段时间内，当甲、乙之间的距离不超过20cm时，求x的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标是． （1）分别求反比例函数和一次函数的表达式； （2）将一次函数的图象向右平移个单位，平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点，求的值． （3）在（2）的条件下平移后的图像上有一点，平面内存在一个点，使得、、、所组成的四边形为矩形，请直接写出满足条件所有点的坐标． 25. 综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 （1）高斯小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中____，并写出求解过程． （2）欧拉小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕、与折痕的交点分别是、，经过多次操作和测量，发现点、、始终三点共线，设正方形的边长为1，当时，请你帮助欧拉小组求出此时线段的长，并写出求解过程． （3）【尝试应用】经过数学老师的启发和指导，欧拉小组发现线段与线段之间存在着数量关系，设正方形的边长为1，当时，_____（用含的代数式表示）． （4）刘徽小组在看到欧拉小组的发现和结论后，觉得线段和线段之间也应该存在着数量关系，于是同样设正方形的边长为1，通过几次操作测量后，得到了这个结论：当时，_____（用只含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期启行八年级数学 一、选择题（共24分） 1. 将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的与截面，理解多边形边与角的关系，图形结合分析是解题的关键． 根据题意作图分析，即可求解． 【详解】解：A、如图所示，四边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； B、如图所示，五边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； C、如图所示，六边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； D、如图所示，七边形纸片按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个六边形，不可能得到五边形，故该项符合题意； 故选：D ． 2. 要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（　　） A. 测量两组对边是否相等 B. 测量对角线是否相等 C. 测量对角线是否互相平分 D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】A.测量两组对边是否相等，能判定平行四边形，故A错误； B.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定四边形的形状，故B错误； C.测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，故C错误； D.根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形．故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 3. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和一次函数的图象，根据一次函数图象与反比例函数图象与系数的关系逐一判断即可求解，熟悉两函数图象的分布与其解析式中对应系数的关系是解题的关键． 【详解】解：A、由反比例函数得，由一次函数得，即，则正确，故符合题意； B、由反比例函数得，由一次函数得，即，则错误，故不符合题意； C、由反比例函数得，由一次函数得，即，则错误，故不符合题意； D、由反比例函数得，由一次函数得，即，则一次函数应交轴负半轴，则错误，故不符合题意； 故选A． 4. 如图，在正方形中，点、在对角线上，连接、、、，若要判定四边形是菱形，则添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质和判定，菱形的性质和判定，根据相关性质逐一判断即可，综合掌握相关知识点是解决问题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 在和中： ∴ ()， ∴； 同理可证： ()， ∴； 选项：∵，， ∴，依据四条边相等的四边形是菱形， 选项正确． 选项： ∵ ∴ 是成立的结论，无法推出四边形的边或对角线满足菱形的判定条件，选项不符合题意． 选项：仅知道，无法保证四边形的四条边相等或对角线互相垂直平分，不能判定其为菱形，选项错误． 选项： 仅能确定点的位置，无法保证点的位置使四边形满足菱形的判定条件，选项不符合题意． 5. 如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，，，，设交于点，则下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线定理可得，，，进而判定四边形是平行四边形，结合即可求解． 【详解】点，，分别是边，，的中点， 、、为的中位线，  ，，， 故A正确，不符合题意；  ，  ， 故B正确，不符合题意；  ，是边的中点，  不是的平分线，即， 故C错误，符合题意； ，，  四边形是平行四边形，  ， 故D正确，不符合题意． 6. 用直尺和圆规在一个矩形内作菱形，下列作法中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型． 根据菱形的判定和作图痕迹解答即可． 【详解】解：A、由作图可得，垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形，正确； 、由作图可得，平分， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∵的长度和的长度关系不确定， ∴四边形不一定是菱形，错误； C．由作图可得，，且， ∴四边形是菱形，正确； D、由作图可得，平分，， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形，正确； 故选：B． 二、填空题（共48分） 7. 若一个多边形的内角和与外角和之比为，则该多边形的边数为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和的综合，根据n多边形的内角和公式和外角和为列方程求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得，即该多边形的边数为9， 故答案为：9． 8. 在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，点A和点B的对应点分别是点和点，如果点的坐标是，那么点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点平移的性质进行求解． 【详解】解：∵点的对应点为点， ∴可以看作点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴点的坐标为，即． 9. 已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，写出一个满足条件的的值______． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数图象经过的象限，结合常数项的符号，判断一次项系数的符号，得到的取值范围，在取值范围内任选一个满足条件的的值即可． 【详解】解：∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴，解得 ， 可取． 10. 点在轴上，点到点与点的距离相等，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据两点间的距离公式列式求解即可，两点间的距离公式：. 【详解】设点坐标为. 利用两点间的距离公式，得 根据题意,得, ∴. 即. 解得. 所以,点的坐标是， 故答案为. 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，熟记公式与熟练解方程是解答本题的关键. 11. 已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据一次项系数的符号分情况讨论函数的增减性，结合的取值范围确定最小值对应的自变量取值，代入一次函数解析式求解即可． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 当，即时，随的增大而减小， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 综上所述，的值为或 故答案为：或． 12. 在中，，，，点G是的重心，连接，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出斜边的长度，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到边中线的长度，再根据重心的性质求出的长度． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 设的中点为，连接， 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：， 作的中点，连接、，设与交于点， 根据中位线性质得：，， ，， ， ， 故答案为：． 13. 下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；②矩形的对角线一定互相垂直；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线垂直的矩形是正方形．其中正确的是________．（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】根据菱形，矩形，平行四边形，正方形的判定定理和性质，对每个说法逐一判断． 【详解】解：①根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故①错误.； ②矩形的性质为对角线相等，矩形对角线不一定互相垂直，仅邻边相等的特殊矩形即正方形对角线互相垂直，故②错误； ③根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故③正确； ④根据正方形的判定定理，对角线垂直的矩形是正方形，故④正确； 综上，正确的是③④． 14. 我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是，那么这个菱形的面积是______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据比例中项的定义可求对角线的乘积．再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：对角线的乘积， 菱形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比例线段、菱形的性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形性质和菱形的面积公式是解题关键． 15. 如图，在矩形中，，，、分别是边、的中点，点、在对角线上，如果四边形是矩形，那么的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，设交于点，根据勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，得出，证明四边形为平行四边形，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，，，设交于点，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵、分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 16. 如图，矩形中，为上一点，将沿翻折，点的对应点恰好为的重心，那么__________． 【答案】4 【解析】 【分析】延长交于点H，由重心的定义和性质可得，由折叠的性质可得，设，则，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点H， ∵点为的重心， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 17. 如图，点C在x轴上，平行四边形的对角线OB，AC相交于点D，双曲线经过A，D两点，则平行四边形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴，交于点，交于点，证明得出，，则，由的几何意义可得，得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴，交于点，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 即 ∴ 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴ 由的几何意义可得， ∴， ∴ ∴行四边形的面积是 故答案为：． 18. 平行四边形中，两条邻边长分别为6和10，与的平分线交于点，点是的中点，连接，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情形分别求解即可解决问题：①如图1中，当，时，延长交于．②如图2中，当，时；由三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质可以得出答案． 【详解】解：①如图1中，当，时，延长交于，过点F作，交于点G，交的延长线于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； ②如图2中，当，时，延长，交于点M，过点F作，交于点G，交的延长线于点H， 同理可证：，， ∴， ∵中，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∵，，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； 综上所述，的长为7或1． 三、解答题：（共78分） 19. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而可得，最后问题可求证； （2）由题意易得，然后根据菱形的面积公式可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 如图1，在中，为上一点，使，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行得到，，由得到，即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形．得到，，再由得到，，即可证明四边形是平行四边形．结合得到，即可证明平行四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：， ， 四边形是平行四边形， ，． ； ， ． ； ， 在和中， ． 【小问2详解】 证明：，， 四边形是平行四边形． ，， 四边形是平行四边形． ，， ， 四边形是平行四边形． ， ， 又， 平行四边形是菱形． 21. 七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形组成，用七巧板可以拼出2600多种图形．如图，图中的正方形就是由七巧板无缝隙、无重叠地拼接而成（简称密铺）．如果设编号为④的三角形的面积为2． （1）直接写出四边形的周长与面积：_____，_____； （2）小明说：他可以用编号分别为③，④，⑤，⑥，⑦的五块板密铺出一个新的正方形，试求这个密铺出的新正方形的边长与面积，并在备用图中画出密铺之后新正方形的示意图（每块标注对应编号）． 【答案】（1）， （2）新正方形的边长为，面积为，示意图如图所示： 【解析】 【分析】（1）先求出等腰直角三角形④的腰长，可得正方形⑥的边长，进而得到等腰直角三角形①的腰长，再分别求出等腰直角三角形①和④的底边长，即可求出，进而求出，即可求出四边形的周长与面积； （2）根据③，④，⑤，⑥，⑦五块板的面积和为，可得用③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出一个新正方形的边长为，即可解答． 【小问1详解】 解：∵编号为④的等腰直角三角形的面积为2， ∴等腰直角三角形④的腰长为， ∴正方形⑥的边长为， ∴等腰直角三角形①的腰长为， ∴等腰直角三角形①的底边长为， ∵等腰直角三角形④的底边长为， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为，面积为； 【小问2详解】 解：∵③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出的正方形的面积刚好是的面积， ∴新正方形的面积为； ∴用③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出一个新正方形的边长为， ∴新正方形的面积为； 示意图如下（略）． 22. 在四边形中，，分别是，的中点， （1）如图1，当时，求证： （2）如图2，当不平行于时，求证：． 【答案】（1）证明：连接并延长，交的延长线于点G，如图所示： ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． （2）证明：连接，取的中点G，连接，，如图所示： ∵，，G分别是，，的中点， ∴，，，， ∴， ∵与不平行， ∴B、G、F三个点一定不在同一直线上， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交的延长线于点G，证明，得出，，根据中位线的性质得出，即可得出结论； （2）连接，取的中点G，连接，，根据三角形中位线的性质得出，，，，即可得出，根据两点之间线段最短得出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了450cm．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为x（s），甲、乙行走的路程分别为y1（cm）、y2（cm），y1、y2与x之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）乙比甲晚出发　 　s，乙提速前的速度是每秒　 　cm，m=　 　，n=　 　； （2）当x为何值时，乙追上了甲？ （3）在乙提速后到甲、乙都停止的这段时间内，当甲、乙之间的距离不超过20cm时，求x的取值范围． 【答案】（1）15；15；31；45；（2）24秒（3）23≤x≤25或43≤x≤45 【解析】 【详解】解：（1）由题意可知，当x=15时，y2=0，故乙比甲晚出发15秒； 当x=15时，y2=0；当x=17时，y2=30；故乙提速前的速度是（cm/s）； ∵乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴乙提速后速度为30cm/s， 故提速后乙行走所用时间为：（s）， ∴m=17+14=31（s）， 甲的速度为：310÷31=10（m/s） n=＝45； 故答案为15；15；31；45； （2）设OA段对应的函数关系式为y1=kx， ∵A（31，310）在OA上， ∴31k=310，解得k=10， ∴y1=10x． 设BC段对应的函数关系式为y2=k1x+b， ∵B（17，30）、C（31，450）在BC上， ∴，解得， ∴y2=30x-480， 由乙追上了甲，得10x=30x-480，解得x=24． 答：当x为24秒时，乙追上了甲． （3）若y1-y2≤20，即10x-30x+480≤20， 解得：23≤x≤24， 若y2-y1≤20，即30x-480-10x≤20， 解得：24≤x≤25， 若450-y1≤20，即450-10x≤20， 解得：43≤x≤45， 综上所述，当23≤x≤25或43≤x≤45时，甲、乙之间的距离不超过20cm． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标是． （1）分别求反比例函数和一次函数的表达式； （2）将一次函数的图象向右平移个单位，平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点，求的值． （3）在（2）的条件下平移后的图像上有一点，平面内存在一个点，使得、、、所组成的四边形为矩形，请直接写出满足条件所有点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标分别代入函数表达式中即可求解； （2）求出平移后的一次函数表达式，联立反比例函数表达式，得到一元二次方程，根据求解即可； （3）分两种情况讨论，当为边时，当为对角线时，分别求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为：． 将点的坐标代入，得 ，解得， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：一次函数向右平移个单位后的表达式为：， 联立， 则， 整理得：， ∵平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点， ， 解得或． 当时，，不经过第二象限，舍去． ∴． 【小问3详解】 解：当时，． 联立，解得或， ∴． 如图，点， 则直线的解析式为，， ． 设点， 则直线的解析式为，， ． ． ∴与直线垂直的直线为直线． 当为边时， 过点作的垂线，交直线于点， 由上可得直线的表达式为：， 将点代入，得 ，解得． ∴直线的表达式为：． 联立，解得， ∴点的坐标为：． 过点作的垂线，交直线于点， 同理可得，直线的表达式为：， 联立，解得， ∴点的坐标为：． 当为对角线时， 则， 设点， ， ， 解得或， ∴点的坐标为：或． 综上所述，点的坐标为：或或或． 25. 综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 （1）高斯小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中____，并写出求解过程． （2）欧拉小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕、与折痕的交点分别是、，经过多次操作和测量，发现点、、始终三点共线，设正方形的边长为1，当时，请你帮助欧拉小组求出此时线段的长，并写出求解过程． （3）【尝试应用】经过数学老师的启发和指导，欧拉小组发现线段与线段之间存在着数量关系，设正方形的边长为1，当时，_____（用含的代数式表示）． （4）刘徽小组在看到欧拉小组的发现和结论后，觉得线段和线段之间也应该存在着数量关系，于是同样设正方形的边长为1，通过几次操作测量后，得到了这个结论：当时，_____（用只含的代数式表示）． 【答案】（1） 解：连接， 由折叠的性质得，，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）； 解：∵四边形为正方形，边长为1， ∴，， ∵， ∴， 根据折叠可得，， 设，则， ∵、、三点共线， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得， 即； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质求得是等边三角形，据此求解即可； （2）设，则，根据点、、三点共线，得出，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （3）仿照解析（2）的方法，进行求解即可； （4）过点H作于点M，作于点N，过点Q作于点K，作于点J，设，由（3）可得，利用等面积法求出，同理求出，把代入得出，整理即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形为正方形，边长为1， ∴，， ∵， ∴， 根据折叠可得，，，， ∴， ∴、F、G三点共线， 设，则，， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得， 即； 【小问4详解】 解：过点H作于点M，作于点N，过点Q作于点K，作于点J，如图所示： 则， 根据题意得：正方形中，， 设，由（3）可得， ∵正方形中，， ∴，，，都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， 又∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $