精品解析：上海市虹口区新华初级中学2024-2025学年八年级下学期延时练习数学试卷（7）

2024-2025学年上海市虹口区新华初级中学八年级（下）延时练习数学试卷（7） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 2. 将一个四边形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是（　　） A. 四边形的边长扩大为原来的2倍 B. 四边形各角扩大为原来的2倍 C. 四边形的周长扩大为原来的2倍 D. 四边形面积扩大为原来的4倍 3. 已知，且线段是、的比例中项，那么为（ ） A. B. C. D. 4. 点把线段分割成和两段，如果是种的比例中项．那么下列式正确的个数有（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某两地的距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则地图上的距离与实际距离之比是（ ） A 1∶200 B. 1∶2000 C. 1∶20000 D. 1∶200000 6. 古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 7. 已知，，那么____________． 8. 如果，那么___________． 9. 已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则______． 10. 已知非零实数，，满足，则的值为___． 11. 已知：点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝_____． 12. 我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是，那么这个菱形的面积是______． 13. 如图，的两条中线，相交于点，已知的面积为4，则四边形的面积为___________． 14. 如图，在中，为的中点，F为边上一点,连接交干点E；若，则长为__________. 15. 新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为______． 16. 如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为_____． 17. 如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果，，那么线段CE的长是______． 18. 在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样的三角形我们称之为“黄金三角形”．如图，已知点A在∠MON的边OM上，点B在射线ON上，且∠OAB＝100°，以点A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合），当△ABC为“黄金三角形”时，那么∠OAC的度数等于 ___． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 19. 如图，已知梯形ABCD中，，AC，BD交于O，过O作AD的平行线交AB于M，交CD于N．若AD=3cm，BC=5cm，求ON． 四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 已知a，b，c满足且，试求a，b，c的值． 21. 如图，F是平行四边形的边上一点，交的延长线于点E，若，，求的长． 22. 已知：在中，点是边上任意一点（不与点、重合）． （1）如图1，联结，__________；（用图中已有线段表示） （2）如图2，是线段上任意一点（不与点、重合），联结、，试猜想与之应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由． 23 如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，已知，． （1）求的长； （2）当，时，求的长． 24. 如图1，在梯形中，，且，，动点Q由点B沿向点C移动，1秒钟后动点P由点A沿向点D移动 （1）若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒，且动点Q到达C时，动点P 恰好也到达D．试求动点P、Q的速度． （2）若动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒，在运动过程中（P与A、D不重合时），与交于K，与交于N ①当动点Q到达中点时，过K作交于M，求的长；（如图2） ②在这运动过程中，是否会与平行？若会，请求出此时为P点出发后几秒？若不会，请说明理由．（如图3） 25. 如图，已知在直角梯形中，，，，，．动点、分别在边和上，且．线段与相交于点，过点作，交于点，射线交的延长线于点，设． （1）求值． （2）当点运动时，试探究四边形的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用的代数式表示四边形的面积；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积． （3）当是以线段为腰的等腰三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市虹口区新华初级中学八年级（下）延时练习数学试卷（7） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 2. 将一个四边形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是（　　） A. 四边形的边长扩大为原来的2倍 B. 四边形的各角扩大为原来的2倍 C. 四边形的周长扩大为原来的2倍 D. 四边形的面积扩大为原来的4倍 【答案】B 【解析】 【分析】两个图形相似的条件是：对应边成比例，对应角相等． 【详解】解：放大前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，放大后的倍数就是相似比，但对应角相等. ∴选项：A，C，D正确， 故选B． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，一定要注意，对应角和对应边的关系不一致，对应边“成比例”，而对应角是“相等”．两个条件应该同时成立． 3. 已知，且线段是、的比例中项，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，比例中项的定义，根据比例的性质得到，再由比例中项的定义得到，据此求出，则． 【详解】解：， ， 是、的比例中项， ， ， ， ，即， 故选：C． 4. 点把线段分割成和两段，如果是种的比例中项．那么下列式正确的个数有（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，由比例中项得出，代入解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设，则， ∵线段是种的比例中项， ∴，即， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴，，，， 故选：C． 【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键． 5. 某两地的距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则地图上的距离与实际距离之比是（ ） A. 1∶200 B. 1∶2000 C. 1∶20000 D. 1∶200000 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比． 【详解】解：因为3000米＝300000厘米，则15厘米：300000厘米＝1：20000． 故这幅地图的比例尺是1：20000． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一． 6. 古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可． 【详解】解：根据题意，设她穿的高跟鞋的高度是x cm，则 ， 解得：， ∴我认为选择鞋跟高为8厘米高跟鞋最佳； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用；关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 7. 已知，，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】由比例的性质得出结论即可． 【详解】解：∵a：b=2：3=8：12，b：c=4：5=12：15， ∴a：b：c=8：12：15； 故答案为：8：12：15． 【点睛】本题考查了比例的基本性质；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键． 8. 如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比性质．根据比例的性质“内项之积等于外项之积”，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9. 已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查比例中项及比例的基本性质，根据比例中项的定义及比例的基本性质得．解题的关键是掌握：如果比例线段的中项是两条相同的线段，即或，那么线段叫做线段、的比例中项． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得：或， 又∵为线段的长度， ∴不符合题意，舍去， 即． 故答案为：． 10. 已知非零实数，，满足，则的值为___． 【答案】8或 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，设，求出，分或求解即可． 【详解】解：设，则有： 得，， 当时，则， ∴， ∴ ∴； 当时， ∴ 故答案为：8或． 11. 已知：点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝_____． 【答案】﹣1或3﹣ 【解析】 【分析】分AC＞BC、AC＜BC两种情况，根据黄金比值计算即可． 【详解】点C是线段AB的黄金分割点，当AC＞BC时，ACAB1；当AC＜BC时，AC=ABAB=3． 故答案为1或3． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念，掌握黄金比值是、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 12. 我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是，那么这个菱形的面积是______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据比例中项的定义可求对角线的乘积．再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：对角线乘积， 菱形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比例线段、菱形的性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形性质和菱形的面积公式是解题关键． 13. 如图，的两条中线，相交于点，已知的面积为4，则四边形的面积为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积．解答该题时，需要利用“数形结合”是数学思想． 根据“三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形”得到，，然后结合图形来求四边形的面积． 【详解】解：∵的两条中线、相交于点， ∴， 即． ∵， ∴． 故答案为：4． 14. 如图，在中，为的中点，F为边上一点,连接交干点E；若，则长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题是相似三角形综合题．作出适当的辅助线是解答本题的关键；延长到H，使，作交于G，可得，结合，，进而即可求解． 【详解】解：如图，延长到H，使，作交于G． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴ × ， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵=， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是用勾股定理解三角形，解题关键是熟练掌握勾股定理．取中点，连接，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到即可求解． 【详解】解：取中点，连接， 此时为中线，， “精准三角形”， ， ， ， 设， 则，， ， 中，， ，， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 16. 如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 设正方形的边长为，得到根据平行线分线段成比例定理得到，求得，，根据三角形的面积公式列方程得到，于是得到正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， 正方形的面积． 故答案为：16． 17. 如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果，，那么线段CE的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到点G是△ABC的重心，根据重心的性质得到DG=AD，CG=CE，BG=BF，D是BC的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得BC=5，再根据勾股定理求出GC即可解答.． 【详解】解：延长AG交BC于D点， ∵中线BF、CE交于点G， ∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G， ∴点G是△ABC的重心，D是BC的中点， ∴AG=AD，CG=CE，BG=BF， ∵，， ∴,. ∵CE⊥BF，即∠BGC=90°， ∴BC=2DG=5， 在Rt△BGC中，CG=， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．理解三角形重心的性质是解题的关键. 18. 在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样的三角形我们称之为“黄金三角形”．如图，已知点A在∠MON的边OM上，点B在射线ON上，且∠OAB＝100°，以点A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合），当△ABC为“黄金三角形”时，那么∠OAC的度数等于 ___． 【答案】64°或28° 【解析】 【分析】分三种情况：①AB=AC时；②BA=BC时；③CA=CB时；分别由等腰三角形的性质和“黄金三角形”的定义求出∠BAC的度数，即可求解． 【详解】解：当△ABC为“黄金三角形”时，分三种情况： ①AB=AC时，∠ACB=∠ABC=2∠BAC， ∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°， ∴∠BAC=×180°=36°， ∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=100°-36°=64°； ②BA=BC时，∠BAC=∠BCA=2∠ABC， ∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°， ∴∠BAC=×180°=72°， ∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=100°-72°=28°； ③CA=CB时，∠BAC=∠ABC=2∠ACB， ∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°， ∴∠BAC=×180°=72°， ∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=100°-72°=28°； 综上所述，∠OAC的度数等于64°或28°， 故答案为：64°或28°． 【点睛】本题考查了“黄金三角形”的定义、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握黄金三角形的定义、等腰三角形的性质，求出∠BAC的度数是解题的关键，注意分类讨论． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 19. 如图，已知梯形ABCD中，，AC，BD交于O，过O作AD的平行线交AB于M，交CD于N．若AD=3cm，BC=5cm，求ON． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线判定得到，再根据平行线分线段成比例，由得①，由得②，然后把两式相加即可得到ON的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴①， ∵， ∴ ∴②， ①+②得， 即， ∴ON=． 四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 已知a，b，c满足且，试求a，b，c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，利用比例的性质设未知数是解题关键．设，得出，根据，求出，即可得到答案． 【详解】解：设， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 21. 如图，F是平行四边形的边上一点，交的延长线于点E，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据平行四边形的性质，得到，进而得到，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22. 已知：在中，点是边上任意一点（不与点、重合）． （1）如图1，联结，__________；（用图中已有线段表示） （2）如图2，是线段上任意一点（不与点、重合），联结、，试猜想与之应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积计算以及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）作于E点，根据三角形的面积公式表示出和的面积，即可求出； （2）在（1）的基础之上，作于F点，分别表示和的面积，得出，然后确定，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，作于E点， ∵，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图所示，作于E点，作于F点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，已知，． （1）求的长； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）9 （2）4 【解析】 【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． (2) 利用平行线性质得到,则，即，可求得的长，然后可求得的长，然后再利用求得的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理与相似三角形的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． 24. 如图1，在梯形中，，且，，动点Q由点B沿向点C移动，1秒钟后动点P由点A沿向点D移动 （1）若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒，且动点Q到达C时，动点P 恰好也到达D．试求动点P、Q的速度． （2）若动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒，在运动过程中（P与A、D不重合时），与交于K，与交于N ①当动点Q到达中点时，过K作交于M，求的长；（如图2） ②在这运动过程中，是否会与平行？若会，请求出此时为P点出发后几秒？若不会，请说明理由．（如图3） 【答案】（1）动点Q速度为2厘米/秒，动点P速度为3厘米/秒 （2） ；不会平行于，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用和平行线的判定和性质，解题的关键是熟悉平行线对应线段成比例，利用动态的思想列出代数式． （1）设动点Q的速度为x厘米/秒，则动点P的速度为厘米/秒，根据题意列出分式方程求解即可； （2）①根据题意得，，利用平行线的性质得到，即有和，即可求得； ②设点P点出发后t秒时，则，，利用平行线的性质得和，结合，即有，经过计算等式不成立，即不存在． 【小问1详解】 解：设动点Q的速度为x厘米/秒， 根据题意得： ， 解得：，（不合题意舍去） 经检验是原方程根， ∴动点Q速度为2厘米/秒，动点P速度为3厘米/秒． 【小问2详解】 解：①∵点Q到达中点， ∴， ∵动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒， ∴， ∵，， ∴， 则，， ∴； ②设点P点出发后t秒时，则，， ∵， ∴，， 若，则， ∴ 解得：此方程无解， ∴不会平行于． 25. 如图，已知在直角梯形中，，，，，．动点、分别在边和上，且．线段与相交于点，过点作，交于点，射线交的延长线于点，设． （1）求的值． （2）当点运动时，试探究四边形的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用的代数式表示四边形的面积；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积． （3）当是以线段为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】（1） （2）不发生变化． （3）、2或 【解析】 【分析】（1）由平行线分线段成比例即可求解其比值； （2）点在上运动时，由平行线分线段成比例的性质可得与的比始终是，且，所以其面积为定值，进而求出其面积即可； （3）以线段为腰，则可能是，也可能是，所以分开求解即可． 【小问1详解】 解：在梯形中， ， ． ， ． 又， ． 【小问2详解】 解：不发生变化． 作，垂足为点， 在中，， ． 而， ． 又， ． ． ，即． 作，垂足为点． ， 而， 可求得． ． 【小问3详解】 解：作，垂足为点． 当时，． ． 解得． 当时，． 解得或． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为、2或． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质以及梯形的面积的求解和等腰三角形的判定问题，能够利用所学知识熟练求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $