12.4 定理 分层作业 2025--2026学年苏科版七年级数学下册

**基本信息** 苏科版七年级下册数学同步练，新授课使用，分A/B/C三层设计，梯度递进巩固定理应用，培养推理意识与创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|命题与定理概念、三角形内角和及推论、反证法基础|选择填空考基础判断（如命题与定理区别），解答题练基本证明（如三角形内角和计算）| |B组|假命题反例设计、反证法步骤深化、几何综合计算|含折叠角度（如三角形纸片折叠求∠BA'C）、反证法证明（如证m是偶数）| |C组|动态几何探究、多情况角度关系|“∑形”图形中动态点M移动下的∠BAM与∠MCD数量关系探究，培养创新意识|

2026年苏科版数学七年级下册定理分层作业 （满分：100分 时间：60分钟） A组练习： 一、选择题(每题3分，共15分) 1.下列说法中，正确的是 ( ) A.命题都是定理 B.要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可 C.假命题不是命题 D.要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可 2.关于“平行于同一条直线的两条直线平行”，有下列说法：①是命题；②是假命题；③是真命题；④是定理.其中正确的是 ( ) A.①③ B.①③④ C.③④ D.①②④ 3.如图,∠ACD=80°,∠B=35°,根据三角形内角和定理的推论,∠A 的度数为 ( ) A.25° B.35° C.45° D.55° 4.对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是 ( ) A.∠1=45°,∠2=45° B.∠1=30°,∠2=60° C.∠1=60°,∠2=60° D.∠1=30°,∠2=40° 5.在探究证明三角形内角和定理时，某综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形三个内角的和等于180°”的是 ( ) 二、填空题(每题3分，共12分) 6.在△ABC 中,已知∠A=20°,∠B=4∠C,则∠C= . 7.如图,AD 与CE 交于点B,∠C=90°,∠A=36°,∠D=∠E,则∠D= . 8.一个正多边形的内角和为1800°，则这个正多边形的每个内角的度数为 . 9.用反证法证明“若|a|<1，则 是真命题时，第一步应先假设 . 三、解答题(共25分) 10.(8分)阅读下面材料并解决问题： 一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫作证明.证明中的每一步推理都要有依据，这些依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了. 判断命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”是否为真命题.如果是，写出证明过程；如果不是，请举出反例(要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言进行表述). 11.(8分)用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”. 已知:如图,直线a,b 被直线c 所截,∠1+∠2 180°. 求证:直线a 与b . 证明：假设所求证的结论不成立，即a b，则∠1+∠2 180°( ),这与 矛盾，故 不成立，所以 . 12.(9分)某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB 与道路CD 平行，道路AB 与道路AE 的夹角为60°，相关部门想新修一条道路CE，要求∠C=∠E，求∠C 的度数. B组练习： 一、选择题(每题3分，共9分) 13.已知命题“若 则a>b”，下列说法正确的是 ( ) A.它是一个真命题 B.它是一个假命题,反例:a=3,b=2 C.它是一个假命题,反例:a=3,b=-2 D.它是一个假命题,反例:a=-3,b=-2 14.用反证法证明一个命题的步骤一般为先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过若干推理，得出矛盾，由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立.用反证法证明命题：四边形的外角中至多有3个钝角，第一步应假设 ( ) A.四边形的外角中没有钝角 B.四边形的外角中有1个钝角 C.四边形的外角中有2个钝角 D.四边形的外角全部都是钝角 15.如图,直线a∥b,点A 在直线a上,点C,D 在直线b上,且AB⊥BC,BD平分∠ABC.若∠1=33°,则∠2的度数是 ( ) A.12° B.13° C.14° D.15° 二、填空题(每题3分，共6分) 16.一个正十二面体如图1所示，它的每个面都是正五边形，其表面展开图如图2所示，则∠α为 °. 17.如图,将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在点A'处,且 BA'平分∠ABC,CA'平分∠ACB.若∠1=42°,∠2=46°,则∠BA'C 的度数为 . 三、解答题(共33分) 18.如图,在△ABC 中,已知∠B=∠C,AD 平分∠EAC.求证:AD∥BC. 19.已知m 是正整数,且m²是偶数.求证:m 是偶数.(注:利用反证法证明) C组练习： 20. (12分)如图1,由线段AB,AM,CM,CD 组成的图形像∑,称为“∑形BAMCD”. (1)如图2,在“∑形 BAMCD”中,若AB∥CD,∠A=29°,∠C=31°,则∠AMC= °; (2)如图3,在“∑形 BAMCD”中,若AB∥CD,∠AMC=60°,则∠C-∠A= °; (3)如图4,连接“∑形 BAMCD”中的点 B,D,若∠B+∠D=150°,∠AMC=α,试猜想∠BAM 与∠MCD 的数量关系，并说明理由； (4)在(3)的条件下，当点 M 在射线BD 上从上向下移动的过程中，请写出∠BAM 与∠MCD 所有可能的数量关系. 答案 1. B 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理，故 A选项不符合题意； 要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可，故B选项符合题意； 假命题是命题，故C选项不符合题意； 要证明一个命题是真命题，要经过推理证明，不能只举一个例子说明，故D选项不符合题意. 2. B 3. C 因为∠ACD=80°,∠B=35°,∠ACD=∠A+∠B,所以∠A=∠ACD-∠B=80°-35°=45°. 4. A A.∠1=45°,∠2=45°,和为 90°,且∠1=∠2,满足反例条件. B.∠1=30°,∠2=60°,和为 90°,但∠1≠∠2,支持原命题，不是反例. C.∠1=60°,∠2=60°,和为120°,不满足条件. D.∠1=30°,∠2=40°,和为 70°,不满足条件. 5. B 因为EF∥AB,所以∠ECA=∠A,∠FCB=∠B.由∠ECA+∠ACB +∠FCB =180°,得∠A +∠ACB +∠B=180°,故 A 选项不符合题意. 因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠CDB=90°,无法证明“三角形三个内角的和等于180°”，故B 选项符合题意. 由 DE∥BC,得∠ADE=∠B,∠C=∠AED.由 DF∥AC,得∠EDF = ∠AED,∠A = ∠FDB,故∠C =∠EDF.由∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°,得∠B+∠C+∠A=180°,故 C选项不符合题意. 因为 CE∥AB,所以∠A =∠FCE,∠B =∠BCE,由∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°,得∠A+∠B+∠ACB=180°,故 D 选项不符合题意. 6.32° 因为∠A=20°,∠B=4∠C,且在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,所以20°+4∠C+∠C=180°,所以∠C=32°. 7.63° 在△ABC中,∠C=90°,∠A=36°, 所以∠ABC=90°-36°=54°. 在△BDE中,∠D=∠E,∠DBE=∠ABC=54°, 所以 8.150° 设这个正多边形的边数为n.由题意，得(n-2)·180°=1 800°,解得n=12. 1800°÷12=150°，则这个正多边形的每个内角的度数为 用反证法证明“若 则 是真命题时，第一步应先假设 10.解：该命题是假命题. 4分 反例：如图. 在上面的长方体中， ,但 AD 与AE不平行.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 11.解：已知：如图，直线a，b被直线c所截， 求证：直线a 与b不平行。 证明：假设所求证的结论不成立，即 则 (两直线平行，同旁内角互补)，这与 矛盾，故假设不成立。 所以a 与b不平行。 故答案为≠；不平行； 两直线平行，同旁内角互补； 假设；a与b不平行.…8分(每空1分) 12.解:如图,记AE 与CD 的交点为F。 因为AB∥CD,∠BAF=60°, 所以∠DFE=∠BAF=60°. 3分 因为∠DFE 是△CEF 的外角, 所以∠DFE=∠C+∠E=60°. 6分 又因为∠C=∠E, 所以∠C=30°. 9分 13. D“若 则a>b"是一个假命题，故A选项说法错误； a=3，b=2不能确定原命题是假命题，故B选项说法错误； a=3，b=-2不能确定原命题是假命题，故C选项说法错误； a=-3，b=-2能确定原命题是假命题，故D选项说法正确. 14. D 根据反证法的步骤，第一步应假设四边形的外角中至多有3个钝角不成立，即四边形的外角全部都是钝角. 15. A 如图,延长CB 交直线a 于点E,则△BCD 的一个外角为∠ECF. 因为AB⊥BC,∠1=33°,所以∠ABE=90°,∠AEC=90°-∠1=57°. 因为a∥b, 所以∠ECF=∠AEC=57°. 因为 BD平分∠ABC, 所以 因为∠ECF 是△BCD 的外角,所以∠2=∠ECF-∠CBD=57°—45°=12°. 16.36 因为正五边形的每个外角为360°÷ 5=72°,所以正五边形的每个内角为180°-72°=108°,所以∠α=360°-3×108°=360°-324°=36°. 17.112° 如图,连接AA'. 由题意可知，∠DAA'=∠DA'A,∠EAA'=∠EA'A. 因为 ∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'=46°, 所以∠1+∠2=2∠DAA'=2∠EAA'=2∠BAC =42°+46°=88°, 所以∠BAC=44°, 所以∠ABC+∠ACB=180°-44°=136°. 因为.BA'平分∠ABC,CA'平分∠ACB, 所以 所以 136°=68°, 所以∠BA'C=180°—68°=112°. 18.证明:因为∠EAC=∠B+∠C,∠B=∠C, 所以∠EAC=2∠B. 因为AD 平分∠EAC, 所以∠EAC=2∠EAD, 6分 所以2∠EAD=2∠B, 所以∠B=∠EAD, 所以AD∥BC. 9分 19.证明：假设m不是偶数，即m是奇数. 设m=2n+1(n 为整数),则 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 因为 是偶数， 所以 是奇数，与 是偶数矛盾，⋯8分所以假设不成立，故m 是偶数.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 解题大招 反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过若干推理，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论成立. 20.解:(1)如图1,过点M 作. 因为AB∥CD, 所以AB∥MN∥CD, 所以∠AMN=∠A,∠NMC=∠C, 所以∠AMC=∠AMN+∠NMC=∠A+∠C=29°+31°=60°. 故答案为60. 2分 (2)如图2,记 AB 与CM 的交点为E. 因为AB∥CD,所以∠C=∠MEB. 因为∠MEB=∠AMC+∠A, 所以∠C=∠AMC+∠A, 所以∠C-∠A=∠AMC=60°. 故答案为60. 5分 (3)∠BAM+∠MCD=α+30°.理由如下:如图3,过点 A 作AP∥CD,交 BD 于点P. 因为AP∥CD,所以∠APB=∠D. 因为∠BAP+∠APB+∠B=180°,∠B+∠D=150°, 所以∠BAP+∠D+∠B=180°, 所以∠BAP=180°-150°=30°. 由(1),得∠AMC=∠PAM+∠MCD. 因为∠AMC=α, 所以∠PAM+∠MCD=α, 所以∠BAM+∠MCD=α+30°. 8分 (4)①如图4,当点 D,C分别位于AM 的两侧时. 因为∠ABD+∠BDC=150°,∠CDM+∠BDC=180°,所以∠CDM-∠ABD=30°. 因为∠AMO =∠B +∠BAM,∠CMO =∠MCD +∠CDM,∠AMC=α, 所以α=∠AMO-∠CMO=∠B+∠BAM-(∠MCD+ ∠CDM)=∠BAM-∠MCD-30°, 即∠BAM-∠MCD=α+30°. ②当A,C,M三点共线时,∠AMC=α=0°,所以∠BAM-∠MCD=30°。 ③如图5,当点 D,C 位于AM 的同侧时。 因为∠ABD+∠BDC=150°,∠CDM+∠BDC=180°,所以∠CDM-∠ABD=30°. 因为∠AMO =∠B +∠BAM,∠CMO =∠MCD +∠CDM,∠AMC=α, 所以α=∠CMO-∠AMO=∠MCD+∠CDM-(∠B+∠BAM)=∠MCD-∠BAM+30°, 即∠MCD-∠BAM=α-30°. 综上,∠BAM-∠MCD=α+30°或∠BAM-∠MCD=30°或∠MCD-∠BAM=α-30°. ⋯⋯⋯⋯⋯ 12分 学科网（北京）股份有限公司 $