专题08 分式方程的解法与应用【期末复习重难点培优专题九大题型+真题演练】-2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦分式方程解法与应用，9个高频易错题型系统分类，47题分层训练，覆盖解法、解的讨论及实际应用，强化模型意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|9题型（含精讲+精练）|涵盖解法（化为一元一次）、解的情况（增根/无解）、应用（行程/工程/经济等）|从解法基础到解的讨论，再到实际问题建模，形成“概念-运算-应用”完整链条| |优选真题实战演练|基础夯实+拓展拔尖|分层设计，对接期末考情|强化知识迁移与问题解决能力，培养抽象思维与理性精神|

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题08 分式方程的解法与应用『期末复习重难点专题培优』 【9个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共47题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 解分式方程(化为一元一次) 1 题型二 根据分式方程解的情况求值 2 题型三 分式方程无解问题 2 题型四 列分式方程 3 题型五 分式方程的行程问题 3 题型六 分式方程的工程问题 4 题型七 分式方程的经济问题 5 题型八 分式方程和差倍分问题 6 题型九 分式方程的其它实际问题 7 优选真题 实战演练 8 【基础夯实 能力提升】 8 【拓展拔尖 冲刺满分】 10 题型一 解分式方程(化为一元一次) 【精讲】（2023·江苏苏州·模拟预测）在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）解方程及求值 (1)解方程： ； (2)计算：已知，求的值． 【精练2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2) 题型二 根据分式方程解的情况求值 【精讲】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【精练1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 【精练2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若关于的分式方程有增根，则________． 题型三 分式方程无解问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【精练1】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）已知关于的方程无解，则的值为________． 【精练2】（2025八年级下·江苏苏州·专题练习）若分式方程无解，则k的值是 _______． 题型四 列分式方程 【精讲】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花小时，甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【精练1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它使得建筑物连接牢固且难以松动．已知在一组榫卯中，一个榫需要的木材是一个卯需要的木材的倍．若用木材制作榫的数量比用木材制作卯的数量少个．设制作个卯需要木材，符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为______． 题型五 分式方程的行程问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【精练1】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）中国国家铁路集团有限公司宣布，2024年12月27日，盐城至宜兴高铁（以下简称盐宜高铁）开工建设，这将大大加快盐城城市群建设与发展．铁路建成后，盐城与泰州铁路运行里程由现在的缩短至，预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的． (1)设该铁路建成前在盐城与泰州两地运行的现行时间是x小时，则该城际铁路建成后在盐城与泰州两地的运行时间是_____小时（用含x的式子表示）： (2)根据（1）中的设未知数x，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行时间． 【精练2】（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 题型六 分式方程的工程问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【精练1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 【精练2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 题型七 分式方程的经济问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）江苏城市足球联赛（苏超）中，淮安队需要采购两种训练用球：A型训练球和B型训练球．已知买一个A型训练球比买一个B型训练球便宜20元．用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同． (1)求A型、B型训练球每个各多少元？ (2)淮安队计划购买A、B两种训练球共20个，其中A型球不多于11个，且总费用不超过1430元．问共有几种购买方案？哪种方案总费用最低？并求出最低费用． 【精练1】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【精练2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本． (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值． 题型八 分式方程和差倍分问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）随着新能源汽车使用的日益普及，某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，本次购买单枪充电桩花费万元，双枪充电桩花费万元，已知双枪充电桩单价是单枪充电桩单价的倍，若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 【精练1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度． 题型九 分式方程的其它实际问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）中考体育项目中，若要取得男生1000米项目的满分成绩，需在3分50秒内跑完全程．男生甲同学第一次模拟测试未拿满分，经过训练，第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍，结果比第一次提前了15秒到达终点，那么甲同学第二次模拟测试取得满分成绩了吗？请说明理由． 【精练1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 【精练2】（24-25八年级下·四川成都·期末）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，______，求提速前列车的平均速度．设列车提速前的平均速度是，则可得方程为，根据此情境，题中“____”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（    ） A．提速后比提速前多行驶 B．提速后比提速前少行驶 C．提速后比提速前多行驶 D．提速后比提速前少行驶 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．4 B．3 C． D．2 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若关于的方程有增根，则________________． 6．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知a是实数，若分式方程无解，则a的值为_________． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_______． 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解方程及化简 (1)解方程： (2)化简： 9．（24-25八年级下·江苏·期末）解方程： (1)； (2)． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，且关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（    ） A．19 B．22 C．30 D．33 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知分式（a，b为常数）满足下表中的信息，则下列结论中错误的是（　　） x的取值 2 0 q 分式的值 分式无意义 0 p 1 A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程无解，则实数m的值为___________． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若关于x的方程的解是正数，则k要满足的条件是______． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是__________． 8．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解下列分式方程： (1) (2) 9．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）据统计，到扬州的游客非常喜欢刺绣工艺包，为了满足场需求，某刺绣工厂改进了生产工艺，现在平均每天比原计划多生产个工艺包，现在生产个工艺包所得时间与原计划生产个工艺包的时间相同，原计划每天生产多少个工艺包？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题08 分式方程的解法与应用『期末复习重难点专题培优』 【9个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共47题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 解分式方程(化为一元一次) 1 题型二 根据分式方程解的情况求值 4 题型三 分式方程无解问题 5 题型四 列分式方程 6 题型五 分式方程的行程问题 8 题型六 分式方程的工程问题 10 题型七 分式方程的经济问题 11 题型八 分式方程和差倍分问题 14 题型九 分式方程的其它实际问题 16 优选真题 实战演练 18 【基础夯实 能力提升】 18 【拓展拔尖 冲刺满分】 24 题型一 解分式方程(化为一元一次) 【精讲】（2023·江苏苏州·模拟预测）在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲乙的出发时间和同时到达的条件，找时间等量关系列方程即可，总路程为100米，利用时间=路程÷速度表示两人走完全程的时间，再根据时间关系列方程． 【详解】解：∵百米赛跑总路程为，甲的速度为， ∴甲走完全程的总时间为 ∵乙比甲晚出发，且两人同时到达终点，乙的速度为， ∴乙走完全程的时间为，乙的运动时间加上晚出发的等于甲的总运动时间， 因此列方程得． 【精练1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）解方程及求值 (1)解方程： ； (2)计算：已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程两边同时乘，把分式方程化成整式方程，然后解方程求出x，最后检验即可． （2）先根据已知条件和完全平方公式求出，然后再根据平方根的定义求出答案即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）∵， ∴ ， ∴． 【精练2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程． （1）找到两个分母的最简公分母后，统一分母，去分母化为整式方程，解整式方程，最后检验：将解得的根代入原分式方程的最简公分母验证，确保分母不为． （2）首先因式分解，找到最简公分母，统一分母，去分母化为整式方程，解整式方程，最后检验，此时分母为，所以原分式方程无解． 【详解】（1）解：， 等式两边同时乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为：； （2）解：， ， 等式两边同时乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 题型二 根据分式方程解的情况求值 【精讲】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【答案】 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的定义即可求解． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， 分式方程的增根使最简公分母为， 则， 解得． 【精练1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 【答案】1或2 【分析】将原方程去分母并整理，然后根据题意分两种情况求得m的值即可． 【详解】解： 原方程去分母得：， 整理得：， 当时，该方程无解，符合题意， 解得：， 当时，原分式方程无解， 那么， 即， 则， 解得：， 综上，m的值为1或2． 【精练2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】先根据增根的定义确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程求解，排除不成立的结果即可得到的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 分式方程有增根， ， 解得或， ， 方程两边同乘最简公分母，得， 将代入上式，得， 整理得，解得； 将代入上式，得， 整理得，等式不成立，故无解； 综上所述，． 题型三 分式方程无解问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】 【分析】先将给定分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到使最简公分母为的的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴ 解得， 把代入得， 解得． 【精练1】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）已知关于的方程无解，则的值为________． 【答案】1或/或1 【分析】先将分式方程去分母，化为整式方程，再进行分类讨论：①当整式方程无解时，②当分式方程有增根时，即可求解． 【详解】解： 当整式方程无解时：即，解得：； 当分式方程有增根时：增根为，即，解得． 【精练2】（2025八年级下·江苏苏州·专题练习）若分式方程无解，则k的值是 _______． 【答案】1或2 【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解与其增根的关系是解题的关键．先把k看作已知，解分式方程得出x与k的关系，再根据分式方程无解，进一步即可求出k的值． 【详解】解：原方程两边同乘（需），得， 化简得，即， 当即时，方程变为，无解； 当时，解为， 若此解为增根，则， 解得， 故或时方程无解， 故答案为：1或2． 题型四 列分式方程 【精讲】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花小时，甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由甲的单件制作时间表示出乙的单件制作时间，再根据甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相等，进而列出方程． 【详解】解：若甲制作一件手工艺品需要小时，则乙制作一件手工艺品需要小时，则． 【精练1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它使得建筑物连接牢固且难以松动．已知在一组榫卯中，一个榫需要的木材是一个卯需要的木材的倍．若用木材制作榫的数量比用木材制作卯的数量少个．设制作个卯需要木材，符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设制作个卯需要木材，则制作一个榫需要木材， 根据题意可得， 故选：A． 【精练2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找到等量关系是解题的关键．设原计划每天铺设管道x米，根据工作效率比原计划提高，结果提前了8天完成任务，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道为米，原计划完成任务所需时间为天，实际所需时间为天，根据题意，得 ， 故答案为：． 题型五 分式方程的行程问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【答案】小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟 【分析】设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟，利用“时间路程速度”的关系，根据两人的时间差为4分钟列方程求解即可． 【详解】解：设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟,根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 此时， 答：小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟． 【精练1】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）中国国家铁路集团有限公司宣布，2024年12月27日，盐城至宜兴高铁（以下简称盐宜高铁）开工建设，这将大大加快盐城城市群建设与发展．铁路建成后，盐城与泰州铁路运行里程由现在的缩短至，预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的． (1)设该铁路建成前在盐城与泰州两地运行的现行时间是x小时，则该城际铁路建成后在盐城与泰州两地的运行时间是_____小时（用含x的式子表示）： (2)根据（1）中的设未知数x，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行时间． 【答案】(1) (2)小时 【分析】本题考查了用含未知数的式子表示数量关系，行程问题中的数量关系及分式方程的求解． （1）根据现行时间与建成后时间的关系，直接用含x的式子表示建成后的运行时间； （2）先根据“建成后的速度−现行速度”列出方程，求解x后，再计算建成后的运行时间． 【详解】（1）解：∵该铁路建成后，运行时间是现行时间的，且该铁路建成前在盐城和泰州两地运行的现行时间是x小时， ∴该铁路建成后在盐城和泰州两地的运行时间是小时． （2）解：根据题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（小时）， 答：该铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行时间为小时． 【精练2】（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 题型六 分式方程的工程问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【详解】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴乙生产线单独完成需要40天， ∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， ∴丙生产线单独完成需要45天； 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）解：； 故这样安排能在12天内完成任务． 【精练1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 【答案】原计划每天整理60份文件 【分析】设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件，根据实际比原计划提前6天完成任务建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件， 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天整理60份文件． 【精练2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 【答案】原计划每天种棵树 【分析】设原计划每天种棵树，根据提前天完成任务，列分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天种棵树， 根据题意得：， 解这个方程得：， 经检验，是方程的解， 答：原计划每天种棵树． 题型七 分式方程的经济问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）江苏城市足球联赛（苏超）中，淮安队需要采购两种训练用球：A型训练球和B型训练球．已知买一个A型训练球比买一个B型训练球便宜20元．用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同． (1)求A型、B型训练球每个各多少元？ (2)淮安队计划购买A、B两种训练球共20个，其中A型球不多于11个，且总费用不超过1430元．问共有几种购买方案？哪种方案总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)60元，80元 (2)三种方案，购买A型训练球11个，购买B型训练球9个总费用最低；最低为1380元 【分析】（1）设A型训练球每个x元，则B型训练球每个元，根据题意中的等量关系“用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同”建立分式方程即可解决问题； （2）设购买A型训练球m个，则购买B型训练球共个，根据题意中的不等关系：“A型训练球不多于11个，且总费用不超过1430元”建立一元一次不等式组解决问题． 【详解】（1）解：设A型训练球每个x元，则B型训练球每个元，根据题意，得： ， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴元， 答：A型训练球每个60元，B型训练球每个80元； （2）解：设购买A型训练球m个，则购买B型训练球共个，根据题意得： ， 解得：， ∵m为正整数， ∴m可取：9，10，11， ∴共有三种方案： ①A型训练球9个，则购买B型训练球11个，费用：， ②A型训练球10个，则购买B型训练球10个，费用：， ③A型训练球11个，则购买B型训练球9个，费用：， ∴购买A型训练球11个，购买B型训练球9个总费用最低，最低为1380元． 【精练1】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【答案】(1)一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元 (2)该商品获得的最小利润为5500元 【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元，根据题意，得，解方程即可． （2）设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元，根据题意，得，解答即可． 【详解】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根．且符合题意， 此时， 答：一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元． （2）解：设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元， 根据题意，得， 由，得w随a的增大而减小， 由得， 故当时，w取得最小值，且最小值为， 故该商品获得的最小利润为5500元． 【精练2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本． (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值． 【答案】(1)第一次购书的进价是元一本 (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）设第一次购书的单价为元，根据第一次用12000元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用15000元所购该书的数量比第一次多100本，列出方程，求出的值即可得出答案； （2）根据（1）先求出第二次购书数目，再根据卖书数目（实际售价当次进价）等于二次赚的钱数列出方程探讨得出答案． 【详解】（1）解：设第一次购书的单价为元一本，根据题意得： ． 解得：． 经检验，是原方程的解， 答：第一次购书的进价是5元一本； （2）解：第二次购书进价为（元）， 数量为（本）， 根据题意，得 整理得， 、为正整数，且， 当，； 当时，； 当时，． 题型八 分式方程和差倍分问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）随着新能源汽车使用的日益普及，某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，本次购买单枪充电桩花费万元，双枪充电桩花费万元，已知双枪充电桩单价是单枪充电桩单价的倍，若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 【答案】单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元 【分析】根据题意，假设单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元，列出分式方程求解即可． 【详解】解：假设单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元， 根据题意，得方程， 化简得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元． 【精练1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，关键抓住亩数减少的等量关系列方程． 根据题意，改良后总产量为万千克，原计划种植亩数为，改良后种植亩数为，亩数减少10亩，故得方程． 【详解】解：设原来平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为万千克． ∵原计划总产量30万千克， ∴原计划种植亩数为亩； ∵改良后总产量增加6万千克， ∴改良后总产量为36万千克， ∴改良后种植亩数为亩； ∵种植亩数减少了10亩， ∴． 故选：B． 【精练2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度． 【答案】第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为 【分析】本题考查分式方程的应用，设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用可列方程求解． 【详解】解：设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，根据题意得 ， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为． 题型九 分式方程的其它实际问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）中考体育项目中，若要取得男生1000米项目的满分成绩，需在3分50秒内跑完全程．男生甲同学第一次模拟测试未拿满分，经过训练，第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍，结果比第一次提前了15秒到达终点，那么甲同学第二次模拟测试取得满分成绩了吗？请说明理由． 【答案】取得满分，见解析 【分析】设甲同学第一次模拟测试用时秒，则第二次模拟测试用时秒，根据“第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍”建立分式方程求解，再求出甲同学第二次模拟测试的时间即可． 【详解】解：能取得满分，理由如下： 设甲同学第一次模拟测试用时秒，则第二次模拟测试用时秒 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 那么第二次模拟测试用时秒，而3分50秒秒， 由于， 故甲同学第二次模拟测试取得满分成绩， 答：甲同学第二次模拟测试取得满分成绩． 【精练1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 【答案】“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元 【分析】根据每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，设出未知数，由购买两种物品数量相等建立方程求解即可． 【详解】解：设“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元，则 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ， 答：“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元． 【精练2】（24-25八年级下·四川成都·期末）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，结合千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 【详解】解：设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克， 由题意可得，， 故选：． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，______，求提速前列车的平均速度．设列车提速前的平均速度是，则可得方程为，根据此情境，题中“____”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（    ） A．提速后比提速前多行驶 B．提速后比提速前少行驶 C．提速后比提速前多行驶 D．提速后比提速前少行驶 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设提速前平均速度为，则提速后速度为，根据时间等于路程除以速度，结合方程两边的式子可得答案． 【详解】解：设提速前平均速度为，则提速后速度为， 方程左边表示提速前行驶所用的时间，方程右边表示提速后行驶所用的时间， ∵方程表示两者时间相同 ∴说明相同时间内，提速后比提速前多行驶 ∴补充条件为选项A， 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程可得，再根据分式方程有增根可得，从而得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的非负性、解分式方程等知识点，掌握常见方程的解法是解题的关键． 分别求解各选项的方程进行判断即可． 【详解】解：A．方程变形为，由于平方数非负，故无实数解； B．方程变形为，解得，存在实数解，符合题意； C．方程中，，故，无实数解； D．方程两边乘以（），得，但使分母为0，无实数解． 故选B． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 检验，将代入，解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为且， 故答案为：且． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若关于的方程有增根，则________________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程有增根的概念，解题的关键在于理解增根的概念． 根据增根的概念，即增根是使分式方程的分母为0的根，然后通过将分式方程化为整式方程，再结合增根即可求解． 【详解】解：对于分式方程，其分母为， ∵关于的方程有增根， ∴，解得， ∴该分式方程的增根为， 对于分式方程， 化简可得， 将代入上式，可得， 解得． 故答案为：1 ． 6．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知a是实数，若分式方程无解，则a的值为_________． 【答案】6 【分析】本题考查分式方程无解问题，首先解分式方程得到，然后由分式方程无解得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 移项并合并同类项，得， ∵关于x的分式方程无解， ∴， 解得， ∴将代入，得， 解得． 故答案为：6． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程及不等式的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，根据题意列出关于k的一元一次不等式，解不等式并结合方程有意义的条件即可求得k的取值范围． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵该分式方程的解是非负数，且， ∴，且， 解得且． 故答案为：且． 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解方程及化简 (1)解方程： (2)化简： 【答案】(1)无解 (2) 【分析】（1）方程去分母，移项合并，把x系数化为1，即可求解； （2）先按分式加减法法则计算括号内的，再根据分式除法法则计算即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得， 当时，， ∴不是方程的解 ∴原分式方程无解． （2）解：原式 ． 9．（24-25八年级下·江苏·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解过程，一定要注意检验． （1）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验即可； （2）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验即可． 【详解】（1）解：由可得， 即，解得， 经检验，是分式方程的根； （2）解：由可得， 化简可得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根，原分式方程无解． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减，因式分解，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． （1）根据题意，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 【详解】（1）解：∵分式与为“5阶分式”， ∴， ∴， ∴， 即当满足，时，分式与为“5阶分式”； （2）解：∵正数互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2 阶分式”； （3）解：∵分式与互为“1 阶分式”， ， 去分母，得， 则， ， ， ∴， ∵为正数， ， 解得：． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）若关于x的分式方程的解为非负数，且关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（    ） A．19 B．22 C．30 D．33 【答案】B 【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的整数解． 【详解】解：解分式方程可得：，且 ∵解为非负数， ∴得：，即且， 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵有3个整数解， ∴，3，4，即 利用不等式性质，将其两边先同时减1，再乘以3，可得， 综上所述：a的整数值可以取10、12， ∴其和为22， 故选：B 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知分式（a，b为常数）满足下表中的信息，则下列结论中错误的是（　　） x的取值 2 0 q 分式的值 分式无意义 0 p 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为0的条件，分式的性质，一元一次方程，分式方程，掌握知识点是解题的关键．根据表格，逐一计算分析，即可解答． 【详解】解：当时，分式无意义，得 ， 解得． 故A正确． 原分式为， 当时，分式的值为0，则 ， 解得． 故B正确． 原分式为． 当时，， 故C错误． 当时，， 解得， 经检验，是原方程的解． 故D正确． 故选：C ． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个得出等式即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，根据题意可列方程为： ， 故选：A． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程无解，则实数m的值为___________． 【答案】或2 【分析】本题考查的是分式方程无解的情况，关键是化为一元一次方程，把增根（让分母等于 0 的数）代入整式方程．分式方程无解，就是考虑两个方面，一是增根，二是化成的一元一次方程的系数为 0 ． 【详解】解：， 方程两边都乘以， 得：， 整理，得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴①整式方程无解，即，解得：； 当时，此时方程为，方程不成立，故不是增根； ②当产生增根，当时，此时，解得：； ∴或 2 ． 故答案为：或 2 ． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若关于x的方程的解是正数，则k要满足的条件是______． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 根据题意，解分式方程，得到，结合已知条件，得到k所满足的条件． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得：， 关于x的方程的解是正数， ∴且，， 且 故答案为：且 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义． 先确定最简公分母，令最简公分母为0，求出增根x的值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于m的方程即可． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得，即增根为2， 方程两边同乘，得， 化简，得， 将代入，得． 故答案为． 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，首先根据解分式方程的步骤，求出关于的分式方程解是多少，然后根据分式方程的解为负数，求出的取值范围即可，掌握相应的运算法则是关键． 【详解】解：化简分式方程可得，， 解得：， 且， 且 故答案为：且． 8．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可． (2)按照解分式方程的基本步骤求解即可． 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵, 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得， 经检验，是原方程的根， 故是原方程的根． （2）解：∵， 即， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 系数化为1，得 经检验，时，， 是原方程的增根， 故原方程无解． 9．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 【答案】(1)A (2) (3)1． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程，有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当时，分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； （2）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得， ， 解得． （3）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 当时，解得， 将化简得， ， 解得， 关于x的方程，x有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）， ， ． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）据统计，到扬州的游客非常喜欢刺绣工艺包，为了满足场需求，某刺绣工厂改进了生产工艺，现在平均每天比原计划多生产个工艺包，现在生产个工艺包所得时间与原计划生产个工艺包的时间相同，原计划每天生产多少个工艺包？ 【答案】原计划每天生产个工艺包． 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． 根据题意找出等量关系，列方程，求解即可． 【详解】解：设原计划每天生产个工艺包，则现在平均每天生产个工艺包， 根据题意可得， 解得，， 经检验：是原分式方程的解， 答：原计划每天生产个工艺包． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $