精品解析：广东省江门市新会区正雅学校2025-2026学年九年级下学期期中考试数学试题

启用前★保密 江门市广雅中学2025—2026学年第二学期期中考试 九年级数学试卷 试卷类型：AB （时间120分钟，满分120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线与分别交于点，过点作于点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 已知一次函数（），函数值随自变量的增大而增大，且，则函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 7. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 8. 今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何?（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱?设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰三角形中，，以为直径作，与、分别相交于点、．已知是上一点，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，为内一点，过点的直线分别交、于点、．若点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_________． 12. 已知反比例函数的图像有一支在第二象限，那么常数的取值范围是_____． 13. “七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是__________． 14. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，，以点B为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接并延长交于点D．若，求的周长． 18. 如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 为落实“五育并举”的育人理念，某校聚焦德育、智育、体育三项核心素养，对七、八年级学生从以上三方面进行测评，规定综合成绩（满分100分）按德育占、智育占、体育占计算，现从七、八年级各随机抽取10名学生的三项成绩进行测评，对他们的综合成绩（整数）进行整理、描述和分析． 相关信息： ．七、八年级10名学生综合成绩折线统计图如图所示． ．七、八年级学生综合成绩的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 c 88 八年级 88 d 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中 ， ； （2）已知七年级一名学生的德育得分为80分，智育得分为90分，体育得分为85分．按学校设定的权重计算其综合成绩； （3）规定综合成绩不小于90分为优秀．若该校七年级有400人，八年级有350人，根据样本数据估计七、八年级共有优秀学生多少人． 20. 【问题情境】中国鼓是中华民族的传统乐器，承载着千年的文化底蕴与精神力量，图1是使用打印完成的中国鼓模型． 【问题提出】小明根据图1画出了该模型的主视图，如图2所示，由于鼓的厚度不可测量，需要设计一个可以得到值的方案，以检测该鼓的质量是否达标． 【方案设计】小明所在的数学兴趣小组经过合作研究，提出了等腰三角形测量法．如图3，在主视图内部取一点，连接，使，用带有刻度的直尺量出或的长度，用量角器量出任一内角的度数． 【问题解决】若． （1）求的度数； （2）求该鼓的厚度．（精确到1，参考数据：） 21. 实践探究：如图是嘉嘉在“超市”买了一些文具的发票，后来不小心发票被弄烂了，有几个数据看不清． （1）根据发票中的信息，请求出嘉嘉这次采购中“文具笔袋”的个数与“速干中性笔”的支数； 拓展应用： （2）“五一”期间，嘉嘉发现、两超市以同样的价格出售同样的产品，并且又各自推出不同的优惠方案：在超市累计购物超过50元后，超过50元的部分打九折；在超市累计购物超过100元后，超过100元的部分打八折．若嘉嘉花费的金额在100元以上，请问：“五一”期间，嘉嘉去哪家超市购物更划算？ 五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）已知，是该抛物线上的两个点，且，求的值： （3）当时，函数的最大值为32． ①求的值； ②若，是该抛物线上两点且位于其对称轴的两侧，在点和点之间的抛物线部分，最高点与最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 23. 【定义】若一个四边形对角线的交点是一条对角线的三等分点，那么我们称这个四边形是“卓越四边形”．如图1，在四边形中，与交于点，，则称四边形是“卓越四边形”． 【性质】（1）如图2，在正方形中，，是边上一点，当四边形为“卓越四边形”时，请你求出的长度； 【判定】（2）如图3，在矩形中，点是线段上靠近点的四等分点，点是边上一点，与交于点，若满足，，请你判断四边形是否为“卓越四边形”并说明理由； 【应用】（3）如图4，将边长为6的正方形绕点逆时针旋转至正方形，若以，，，四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”，四边形的对角线交于点，请你求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启用前★保密 江门市广雅中学2025—2026学年第二学期期中考试 九年级数学试卷 试卷类型：AB （时间120分钟，满分120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应运算法则逐一判断选项即可得到正确结果. 【详解】解：A. 与 不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意； B．，故原计算正确，符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D．，故原计算错误，不符合题意． 4. 如图，直线，直线与分别交于点，过点作于点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由对顶角可得，再由平行线的性质可得，从而可求的度数． 【详解】解：如图， ∵直线l与a，b分别交于点A，B，， ∴， ∵于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 6. 已知一次函数（），函数值随自变量的增大而增大，且，则函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一次函数的增减性判断的符号，再结合判断的符号，最后根据一次函数图象与系数的关系确定函数图象经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的函数值随自变量的增大而增大 ∴ ∵ ∴ ∴函数的图象经过第一、三、四象限． 7. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 8. 今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何?（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱?设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：罗布一尺的价值绫布一尺的价值文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设绫布有x尺， 则根据题意可列方程为：， 故选：C． 9. 如图，在等腰三角形中，，以为直径作，与、分别相交于点、．已知是上一点，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，根据圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质求出的度数，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵为的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 如图，中，为内一点，过点的直线分别交、于点、．若点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键；由线段垂直平分线的性质可知，再根据平角和三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 直接按同分母分式加减运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为2． 12. 已知反比例函数的图像有一支在第二象限，那么常数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象有一支在第二象限，可得<0，解上步得到的不等式即可得到m的取值范围. 【详解】由反比例函数的图象有一支在第二象限，可得<0，解得. 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质. 13. “七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．根据七巧板对应图形的面积，计算出和平鸽头部（阴影部分）与正方形面积比，结合简单概率公式求解即可得到结论．熟练掌握几何概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 设阴影部分的等腰直角三角形的直角边为，则由七巧板的特征可知，， 在等腰中，， ，，则阴影部分的面积是七巧板面积的，故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是， 故答案为：． 14. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值，根据负整数指数幂，零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，，，以点B为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接并延长交于点D．若，求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由作图可得，平分； ， ， ， ， ， 的周长． 18. 如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，，进而得，得，结合得，进而证明是的切线； （2）连接，根据圆周角定理得，得，在中，计算，在中，根据计算的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ，即， ． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 为落实“五育并举”的育人理念，某校聚焦德育、智育、体育三项核心素养，对七、八年级学生从以上三方面进行测评，规定综合成绩（满分100分）按德育占、智育占、体育占计算，现从七、八年级各随机抽取10名学生的三项成绩进行测评，对他们的综合成绩（整数）进行整理、描述和分析． 相关信息： ．七、八年级10名学生综合成绩折线统计图如图所示． ．七、八年级学生综合成绩的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 c 88 八年级 88 d 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中 ， ； （2）已知七年级一名学生的德育得分为80分，智育得分为90分，体育得分为85分．按学校设定的权重计算其综合成绩； （3）规定综合成绩不小于90分为优秀．若该校七年级有400人，八年级有350人，根据样本数据估计七、八年级共有优秀学生多少人． 【答案】（1）88；88 （2）86 （3）185 【解析】 【分析】（1）观察成绩折线统计图，根据中位数和众数的定义进行解答即可； （2）利用加权平均数进行计算即可； （3）利用“样本估计总体”进行计算即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，七年级成绩从低到高排列为： 82，83，85，86，88，88，88，89，90，92， 则中位数； 观察八年级成绩折线图，成绩为88分的有4人，则众数； 【小问2详解】 解： （分）， 答：其综合成绩为86分； 【小问3详解】 解： （人）， 答：该校七、八年级共有优秀学生185人． 20. 【问题情境】中国鼓是中华民族的传统乐器，承载着千年的文化底蕴与精神力量，图1是使用打印完成的中国鼓模型． 【问题提出】小明根据图1画出了该模型的主视图，如图2所示，由于鼓的厚度不可测量，需要设计一个可以得到值的方案，以检测该鼓的质量是否达标． 【方案设计】小明所在的数学兴趣小组经过合作研究，提出了等腰三角形测量法．如图3，在主视图内部取一点，连接，使，用带有刻度的直尺量出或的长度，用量角器量出任一内角的度数． 【问题解决】若． （1）求的度数； （2）求该鼓的厚度．（精确到1，参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用等腰三角形性质和三角形内角和，算出的度数； （）通过三角函数和勾股定理，构造直角三角形求出线段的长度． 【小问1详解】 解：∵，为等腰三角形， ∴， 根据三角形内角和为， ， 答：的度数为； 【小问2详解】 解：如图 ，过点作于点， 在中，∵，， ∴，  ， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理：， 答：鼓的厚度约为． 21. 实践探究：如图是嘉嘉在“超市”买了一些文具的发票，后来不小心发票被弄烂了，有几个数据看不清． （1）根据发票中的信息，请求出嘉嘉这次采购中“文具笔袋”的个数与“速干中性笔”的支数； 拓展应用： （2）“五一”期间，嘉嘉发现、两超市以同样的价格出售同样的产品，并且又各自推出不同的优惠方案：在超市累计购物超过50元后，超过50元的部分打九折；在超市累计购物超过100元后，超过100元的部分打八折．若嘉嘉花费的金额在100元以上，请问：“五一”期间，嘉嘉去哪家超市购物更划算？ 【答案】（1）文具笔袋买了1个，速干中性笔买了4支；（2）当购物在100元至150元之间时，则去A超市更划算；当购物等于150元时，去两家超市都一样；当购物超过150元时，则去B超市更划算 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设文具笔袋买了个，速干中性笔买了支，列出方程组进行求解即可； （2）分别表示出在两个超市需花费的费用，进而列出不等式进行求解即可． 【详解】解：（1）①设文具笔袋买了个，速干中性笔买了支，则据发票信息可得 ， 解得． 答：文具笔袋买了1个，速干中性笔买了4支； （2）设嘉嘉的购物金额为元， 则在A超市购物需付款（元）， 在B超市购物需付款（元）． 当时，； 当时，； 当时，． 当购物在100元至150元之间时，则去A超市更划算； 当购物等于150元时，去两家超市都一样； 当购物超过150元时，则去B超市更划算． 五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）已知，是该抛物线上的两个点，且，求的值： （3）当时，函数的最大值为32． ①求的值； ②若，是该抛物线上两点且位于其对称轴的两侧，在点和点之间的抛物线部分，最高点与最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解即可； （2）求出抛物线的对称轴，根据抛物线对称性列方程计算即可； （3）①分情况讨论：若时，则当时，的最大值为0，不符合题意；当时，由二次函数的性质可求出的值； ②求出点和点之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2，求出，，由或可求出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标是； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为，，是该抛物线上的两个点，且， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：①∵由（1）知该抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∵， ∴当时，的最大值为32，则，解得； 当时，抛物线开口向下，，则当时，的最大值为0，这与的最大值为32相矛盾，故不符合题意． 综上，的值为2； ②由①知该抛物线的表达式为， ∵抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴的最小值为0． ∵，两点在对称轴两侧， ∴， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为2， ∴点M和点N之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2， 当时，得，解得，， 即抛物线上纵坐标为2的点为和， 当时，则，解得， 当时，则，得，解得， 综上，t的取值范围是． 23. 【定义】若一个四边形对角线的交点是一条对角线的三等分点，那么我们称这个四边形是“卓越四边形”．如图1，在四边形中，与交于点，，则称四边形是“卓越四边形”． 【性质】（1）如图2，在正方形中，，是边上一点，当四边形为“卓越四边形”时，请你求出的长度； 【判定】（2）如图3，在矩形中，点是线段上靠近点的四等分点，点是边上一点，与交于点，若满足，，请你判断四边形是否为“卓越四边形”并说明理由； 【应用】（3）如图4，将边长为6的正方形绕点逆时针旋转至正方形，若以，，，四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”，四边形的对角线交于点，请你求出的长． 【答案】（1） （2）四边形是“卓越四边形”，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴设， ∵点是线段上靠近点的四等分点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不妨设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是“卓越四边形”； （3）的长度为或或4或 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，结合四边形为“卓越四边形”时，，或者，即可得出答案； （2）结合矩形的性质，，，，设，结合点是线段上靠近点的四等分点，，，，接着通过，得到，接着证明，，推出，不妨设，那么，，推出，，从而推出四边形是“卓越四边形”； （3）当时，分成或，过作交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点，分别讨论即可得出答案；当时，作于点，或，分别讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵当四边形为“卓越四边形”时， ∴，或者 当时，即， ∴， ∴； 同理，当时，； 综上，； （2）略 （3）∵四边形是正方形，边长为6， ∴， ∴， 当时， ∵以，，，四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”， ∴或， 当时，，此时； 当时，过作交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 不妨设，那么， ∵将边长为6的正方形绕点逆时针旋转至正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 当时，作于点，如图所示： ∵以，，，四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”， ∴或， 当时，，此时； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长度为或或4或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $