7.1.2 命题（2）课件 2025-2026学年冀教版七年级数学下册

该初中数学课件围绕“命题、公理、定理及证明”展开，通过图形观察（如判断AB和CD是否为直线、六边形大小比较）和反例验证（如a=-b时a³是否等于b³）导入，引导学生从直观感知过渡到理性说理，搭建从已有经验到新知的学习支架。 其亮点在于以“观察-验证-说理”为主线，结合几何直观和推理能力，通过反例（如a=1,b=-1时a³≠b³）判断假命题，用演绎推理证明定理（如对顶角相等），培养数学思维。资料含探究、典例和小结，助学生养成严谨习惯，也为教师提供系统教学资源。

7.1.2 命 题 学习目标 1.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理．（重点） 2.体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性．（难点） 新知导入 【问题1】如图，AB和CD是直线吗？请你先观察，后判断，然后利用直尺验证你的结论是否正确. A B C D AB是直线； CD是直线. 3 1、“眼见为实”在数学中可靠吗？ （1）在图7.1-1中，AB和CD是直线吗? 请你先观察，后判断，然后利用直尺验证你的结论是否正确. （2）在图7.1-2中，(1)和(2)两图中间的两个六边形大小一样吗?请你先观察，后判断，然后通过测量验证你的判断是否正确. 新知探究 1 知识点1 说理 数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质,以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据. 例如，如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，b>c，那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据. 探究新知 【问题1】如图所示，(1)和(2)两图中间的两个正六边形大小一样吗？ 请你先观察，后判断，然后利用叠合法证明你的判断是否正确. (1) (2) (1)和(2)两图中间的两个正六边形大小一样. 6 探究新知 解：后一个命题不正确. 说明：设 a = 1，b = -1，则 a = -b.(符合命题的条件） 因为a3 = 13 = 1，b3 = (-1)3 = -1，则a3≠b3.(不符合命题的结论） 所以命题“当a = -b时，a3 = b3”是个假命题. 【问题2】如果 a = -b，那么 a2 = b2.由此得出：当 a = -b 时，a3 = b3.你认为后一个命题正确吗？为什么？ （3）如果a=-b，那么a2=b2. 由此得出:当a=-b时，a3=b3. 你认为后一个命题正确吗?为什么? 由观察、实验、归纳和类比等方法得出的命题，可能是真命题，也可能是假命题. 用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法. 如何证实一个命题是真命题呢？ 能不能根据已经知道的真命题证实呢? 哦……那可 怎么办? 这些方法往往并不可靠. 那已经知道的真命题又是如何证实的? 命题 真命题 假命题 基本事实(公理) 一般举一个反例即可 定理 公理是定理推导的起点，无需证明但被广泛接受为真. 定理是命题和公理的逻辑延伸，通过证明得到的真命题. 定义,命题,基本事实(公理),定理之间的区别与联系: 定义是命题、公理和定理的基础，明确了它们的讨论范围. 定义 新课讲授 从以上基本事实出发，我们可以证明下面的定理 1.定理 同角（等角）的补角相等 2.定理 同角（等角）的余角相等 3.三角形的任意两边之和大于第三边 归纳总结 由观察、实验、归纳和类比等方法得出的命题，可能是真命题，也可能是假命题.判断命题的真假需要说明理由，这个过程就是说理. 有些命题经过实践经验被公认为真命题，我们把这样的命题叫做基本事实. 探究新知 我们学习过的基本事实有哪些呢？ 1.过平面上两点，有且只有一条直线，简记为“两点确定一条直线”. 2.两点之间的连线中，线段最短，简记为“两点之间线段最短”. 3.等式的性质 要判断一个命题是真命题需要说明理由，这个过程就是说理. 判断一个命题是假命题，只要举出一个符合命题条件但不符合命题结论的反例； 判断一个命题是真命题还是假命题的方法： 典例分析 例1.已知：如图,直线AB与直线CD相交于点O, ∠AOC与∠BOD是对顶角. 求证：∠AOC=∠BOD. 证明：∵直线AB与直线CD相交于点O, ∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义). ∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义). ∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等). 由上面的例题，我们可以得到定理： 定理 对顶角相等. A D B C O 典例分析 (1) 已知：∠B 和∠C 是∠A的补角， 求证：∠B =∠C. 证明：∵∠B和∠C是∠A的补角， ∴∠B=180°-∠A， ∠C=180°-∠A， ∴∠B=∠C(等量代换)， ∴同角的补角相等. (2)已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B 的补角，求证：∠C=∠D. 证明：∵∠C和∠D分别是∠A、 ∠B的补角， ∴∠C = 180°-∠A， ∠D = 180°-∠B， ∵∠A=∠B (已知)， ∴∠C=∠D (等量代换)， ∴等角的补角相等. 试证明定理：同角 (等角) 的补角相等. 例2. 如图7.1-3，说明“如果C，D是线段AB上的两点，且AC=DB，那么AD=CB”是真命题. 理由: 因为 AC=DB (已知)， 所以 AC十CD=DB十CD (等式的基本性质). 所以 AD=CB (线段和的定义). 探究新知 “正整数、0和负整数统称为整数”是整数的定义. “两点之间线段的长度叫作两点之间的距离”是两点之间的距离的定义. 你能说出两条我们学习过的定义吗？ 一般地，能清楚地规定某一名称或术语的概念叫作该名称或术语的定义 探究新知 观察相邻两个奇数的和： 1 3 5 7 9 ··· 4 8 12 16 ··· 【问题1】相邻两个奇数的和与4之间有什么关系？请提出你的猜想. 相邻两个奇数的和都能被4的整除. 说理 典例分析 (3)已知：∠B和∠C是∠A的余角，求证：∠B=∠C. 证明： ∵∠B和∠C是∠A的余角， ∴∠B = 90°-∠A， ∠C = 90°-∠A， ∴∠B=∠C (等量代换)， ∴同角的余角相等. (4) 已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角，求证：∠C=∠D. 证明：∵∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角， ∴∠C = 90°-∠A， ∠D = 90°-∠B， ∵∠A=∠B(已知)， ∴∠C=∠D(等量代换)， ∴等角的余角相等. 定理：同角 (等角) 的余角相等. 新课讲授 证明一个命题的一般步骤： ①分清命题的条件和结论，如果与图形有关，首先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； ②根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程． 依据已有的事实(包括定义、基本事实、真命题)，按照确定的规则，得到某个具体结论的推理就是演绎推理. 有些真命题，它们的正确性已经过演绎推理得到证实，并被作为判定其他命真假的依据，这些命题称为定理. 知识点2 定理和演绎推理 例3. 试说明“若∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,∠A=∠C,则∠B=∠D”是真命题. 以下是排乱的推理过程: ①因为∠A=∠C(已知); ②因为∠A+∠B=180°, ∠C+∠D=180°(已知); ③所以∠B=180°-∠A，∠D=180°-∠C(等式的基本性质); ④所以∠B=∠D(等量代换); ⑤所以∠B=180°-∠C(等量代换). 正确的顺序是（ ） A. ①→③→②→⑤→④ B. ②→③→⑤→①→④ C. ②→③→①→⑤→④ D. ②→⑤→①→③→④ C 小结 已知条件 结论 依据定义、基本事实，已证定理 1.判断命题的真假需要说明理由，这个过程就是说理. 3.依据已有的事实（包括定义、基本事实、已被确认的真命题），按照确定的规则，得到某个具体的结论的推理就是演绎推理. 2.有些真命题，它们的正确性已经过演绎推理得到证实，并被作为判定其他命题真假的依据，这些命题叫做定理. 课堂小结 定理与证明 定义 定理 公理 证明 作出明确规定的名词术语的含义 公认的真命题 演绎推理的过程 经过证明的真命题 $