7.2.1+相交线（教学课件）2025--2026学年冀教版七年级数学下册

该初中数学课件围绕相交线展开，核心知识点包括对顶角的概念与性质、垂直的定义及性质、垂线段最短等。课堂导入从同一平面内两条直线的位置关系入手，通过剪刀实例抽象出对顶角，再由直线转动引入垂直，形成从一般到特殊的知识脉络，搭建概念理解的学习支架。 其亮点在于以生活实例和动手操作为载体，发展数学眼光（如剪刀抽象对顶角）和推理意识（对顶角相等的证明），用符号语言规范表达（如AB⊥CD）。采用探究式教学（观察猜想证明）和归纳小结，帮助学生建立知识体系，提升抽象能力与应用意识，也为教师提供清晰的教学流程和重难点突破方法。

7.2.1 相交线 第7章 相交线与平行线 1.理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念； 2.掌握对顶角的性质，并能运用它的性质进行角的运算及一些实际问题.（重点、难点） 学习目标 新知导入 【一起探究】同一平面内，两条直线有哪些位置关系有哪些情况？ 相交 平行 活动：握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题. 对顶角的概念 一 讲授新课 1 2 3 4 A B C D O 对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.图中∠1的对顶角是______. 反向延长线 ∠3 概念学习 探究新知 l1 l2 1 2 O 3 4 像∠2和∠4这样，有公共顶点，并且两边互为反向延长线，我们把具有这种位置关系的角叫做对顶角。 1.上图中还有哪些对顶角？ ∠1和∠3 （注意：对顶角是成对出现的） 2. ∠1和∠2是对顶角的是： √ 探究新知 【一起探究】对顶角有什么大小关系？ 观察猜想 两条直线相交于点O，当其中一条直线绕点O转动时，∠1和∠3同时增大或减小，猜想∠1和∠3的大小关系。 l1 l2 O 1 2 3 4 说理证明 ∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（已知） ∴∠1=∠3（同角的补角相等） 定理：对顶角相等。 新课讲授 问题：∠1 与∠3在数量上有什么关系呢？ 猜想：对顶角相等 C O A B D 4 3 2 1 思考：怎样说明∠1=∠3？ 新课讲授 如图，已知：直线AB与CD相交于点O,试说明: ∠1=∠3， ∠2=∠4. O A B C D 4 3 2 1 对顶角的性质： 对顶角相等. 例1 如图，∠1与∠2是对顶角的是(　 　) 判断两个角是不是对顶角，要紧扣对顶角的定义， A图中∠1和∠2的顶点不同；B图中∠1和∠2的两 边都不是互为反向延长线；C图中的∠1和∠2符合 定义；D图中∠1和∠2有一条公共边． 导引： C 典例精析 猜想：对顶角相等 C O A B D 4 3 2 1 问题：∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？ 对顶角的性质 二 思考：你能利用有关知识来验证∠1 与∠3的数量关系吗？ 在上学期我们已经知道互为补角的两个角和为180°，因而互为邻补角的两个角和为180°. C D 探究新知 【一起探究】直线AB和CD相交于点O，将直线CD绕点O逆时针方向转动，当CD转动到使∠BOD=90°的特殊位置时，我们称两直线互相垂直. A O B 记作： AB⊥CD 读作： AB垂直于CD AB是CD的 垂线 想一想：垂直时，其他三个角都是什么角？ 都是直角。 交点O叫做 垂足 当两条直线所成的四个角有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 A B C D 探究新知 新课讲授 数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质,以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据. 例如，如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，b>c，那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据. 新课讲授 问题：如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数是多少？为什么？ A B C D O 由对顶角和邻补角的性质知，当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°. O A B C D 4 3 2 1 已知：直线AB与CD相交于O点(如图),试说明:∠1=∠3， ∠2=∠4. 解：∵直线AB与CD相交于O点, ∴∠1+∠2=180° ∠2+∠3=180°， ∴∠1=∠3. 同理可得∠2=∠4. 应用格式：∵直线AB与CD相交于O点 ∴∠1=∠3. 想一想：图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？ 对顶角相等 探究新知 (1) 如图，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗? 为什么? (2) 以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗? 你知道她每一步的依据吗? 与同伴进行交流。 A B C O 我的思考过程如下： 由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180°， 可得∠AOC = ∠BOC = 90°， 所以 OC⊥AB. → 平角的性质 → 等角替换 → 垂直的定义 新课讲授 垂直定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直。 记作：AB⊥CD（或 CD⊥AB ） 或可记作：l⊥m（或 m⊥l ）. 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直. 新课讲授 (1) 如图，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗? 为什么? (2) 以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗? 你知道她每一步的依据吗? 与同伴进行交流。 A B C O 我的思考过程如下： 由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC= 180°， 可得∠AOC = ∠BOC = 90°， 所以 OC⊥AB. → 平角的性质 → 等角替换 → 垂直的定义 新课讲授 (3) 如果 OC⊥AB，那么∠AOC =∠BOC 吗? 为什么? 与同伴进行交流. 如果 OC⊥AB， 那么∠AOC = ∠BOC. 理由如下： 因为 OC⊥AB，根据垂直的定义可知∠AOC 和∠BOC 都是直角， 即∠AOC = 90°，∠BOC = 90°， 所以∠AOC = ∠BOC. A B C O ∴∠2=180°－∠1=140°, a b ） （ 1 3 4 2 ） （ 例2 如图,直线a,b相交,∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度数. ∵∠3=∠1, ∠1=40°, ∴∠3=40°, 解: ∴∠4=∠2=140°. 掌握对顶角的性质是解题的关键! 方法 例3 如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数. 解：因为∠1＝40°， ∠BOC＝110°(已知)， 所以∠BOF＝∠BOC－∠1 ＝110°－40°＝70°. 因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)， 所以∠2＝70°(等量代换)． 注意：隐含条件“对顶角相等”. 探究新知 【动手操作】如何过直线上一点或直线外一点，作已知直线的垂线？ A B C A B C D D 1 放 2 靠 3 移 4 画 5 标 思考 经过直线上或直线外一点画该直线的垂线，可以画几条？ 1条 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 探究新知 A B C 过直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂直之间的线段叫做垂线段。 D E F 【观察】CE,CD,CF三条线段，哪一条最短？ 直线外一点于直线上各点的所有连线中，垂线段最短。 我们把垂线段CD的长度叫做点C到直线AB的距离。 CD最短 新课讲授 l A 1 放 2 靠 3 移 4 画 如图，已知直线l和l上的一点A ,作l的垂线. 问题 这样画l的垂线可以画几条？ 一条 新课讲授 l A B 1 放 2 靠 3 移 4 画 如图，已知直线l和l外的一点A ,作l的垂线. 根据以上操作,你能得出什么结论 问题 这样画l的垂线可以画几条？ 一条 新课讲授 线段PO的长度叫做点P到直线l的距离. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. l O C B A P 线段AD的长度叫做点A到直线l的距离. 特别规定： 归纳总结 1.图中的对顶角有哪些？ 2.对顶角有什么性质？ ∠1=∠3 ∠2=∠4 对顶角相等。 3.AB和CD的位置关系？ 垂直，AB⊥CD。 4.AB叫做CD的什么？ 垂线。 5.垂直时，点O叫做什么？ 垂足。 6.线段OE叫做什么？ 垂线段。 7.直线外一点与直线上各点的所有连线中，哪条线段最短？ 垂线段最短。 E 8.线段OE的长度叫做点E和AB的什么？ 距离。 5.同一平面内，过直线外一点有几条直线与已知直线垂直？ 有且只有1条。 课堂小结 1.垂线的定义及垂直的符号表示; 2.垂线的有关性质; 3.过一点作已知直线的垂线的方法. 4.垂线段定义； 5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 相交线所成的角 对顶角 对顶角相等 三线八角 同位角、内错角、同旁内角 课堂小结 $