专题05菱形的性质与判定期末复习讲义(19大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题05菱形的性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形，理清与平行四边形从属关系。 2.熟练掌握菱形性质：四边相等、对角线互相垂直平分且平分一组对角，兼具平行四边形所有性质；掌握对称性3.牢记三种菱形判定方法：①一组邻边相等的平行四边形；②四条边相等的四边形；③对角线互相垂直的平行四边形。 4.掌握菱形面积两种算法：底 × 高、对角线乘积。 1.会利用菱形边角、对角线性质进行边长、角度、面积基础计算。 2.能根据已知条件合理选取判定定理，规范书写几何证明步骤。 3.能区分平行四边形、矩形、菱形性质与判定，提升识图对比能力。 4.会结合直角三角形，解决菱形对角线拆分三角形相关计算、简单折叠题型。 1.选择填空：规避判定易错表述，基础计算不失分。 2.中档证明：熟练完成平行四边形证菱形常规大题，步骤规范。 3.综合大题：灵活运用对角线求面积，搞定菱形与直角三角形、折叠结合期末高频考题。 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07菱形性质与判定求角度 题型08.菱形性质与判定求线段长 题型09.菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与坐标系综合 题型11.菱形中的折叠问题 题型12.菱形中的动点问题 题型13.菱形中的最值问题 题型14菱形与中位线综合 题型15.菱形的实际应用问题 题型16.菱形中旋转问题 题型17.多结论判断题 题型18.菱形中的存在性问题 题型19.菱形的规律探究问题 知识点01:菱形定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 关键解读： 菱形是特殊平行四边形，定义既是性质来源，也是第一种判定； 两层条件：①是平行四边形 ②一组邻边相等，缺一不可。 知识点02:菱形的性质（必考重点：通用性质 + 独有性质） 1. 继承平行四边形共有性质 对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称图形。 2. 菱形独有性质 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 知识点03:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 S=BCDE 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点04:菱形三种判定定理（重难点、证明题核心） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点05易错知识点（老师课堂必强调、学生易错汇总） 错误表述 正确结论 错误原因 一组邻边相等的四边形是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 缺少平行四边形前提 对角线互相垂直的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 普通四边形对角线垂直不能判定菱形 菱形对角线相等 菱形对角线互相垂直，不一定相等 混淆菱形与矩形对角线特点 菱形 4 条对称轴 菱形只有 2 条对称轴 和正方形对称轴混淆 知识点06:菱形、矩形、平行四边形核心简易区分（便于学生对比记忆） 1.平行四边形→加直角 = 矩形；平行四边形→加邻边相等 = 菱形； 2.矩形特征：角直角、对角线相等；菱形特征：四边等、对角线垂直。 题型01.菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是菱形的对角线，，，则的周长为_______． 3．如图，点是菱形的边上一点，且，求的度数． 4．定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”． 如图1，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫做四边形的“等分线”，四边形就称为“等分对角四边形”． 问题： (1)下列四边形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，其中是“等分对角四边形”的有________；（填序号） (2)四边形是“等分对角四边形”，，求四边形的“等分线”的长； 解：①当为“等分线”时，如图2所示： …… ②当为“等分线”时…… 请画出相应的图形并写出此题完整的解答过程． (3)如图，在菱形中，，点分别在边和上，与交于点，点是线段上任意一点，连接，若四边形是“等分对角四边形”，“等分线”是，求线段的最小值． 题型01.菱形的性质求角度 5．如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 6．如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接，若，求的长． 7．如图，在中，，为的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 题型03.菱形的性质求面积 8．如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 9．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 10．如图，已知，，，分别是矩形的边，，，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 题型04.菱形的性质证明 11．如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为___________． 12．如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：． 13．如图，在中，点，分别在，上，且． (1)若是菱形，求证：； (2)若，求证：是菱形． 题型05.添条件使四边形是菱形 14．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB．AC边的中点，请你在△ABC中添加一个条件：_______________使得四边形AEDF是菱形． 15．如图，在矩形中，点是对角线的中点，直线经过点，并且与交于点，与交于点，连接，，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 16．如图，平行四边形的对角线相交于点O，过O的直线分别交、于点M、N． . (1)求证： (2)连接，．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 题型06.证明四边形是菱形 17．如图，以的顶点为圆心、边的长为半径画圆弧交边于点，过点作交边于点，则四边形是_____________． 18．如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点，某同学以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则四边形是（      ） A．任意四边形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 19．如图，在中，，点分别是的中点．连接并延长至点，使得．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若与的周长差为7，，求菱形的面积． 题型07菱形性质与判定求角度 20．如图，同一平面内三条不同的直线，，，，直线与另外两条直线分别交于点，，点，分别为，上两点，且满足平分，平分． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若四边形为菱形，求出的大小． 21．在矩形中，将点A翻折到对角线上的点M处，折痕交于点E．将点C翻折到对角线上的点N处，折痕交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，若，且，求的长． 22．（1）如图1， 在中，与相交于点， 过点的直线交于点， 交于点， 则与的数量关系是 ； （2）在中，，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下的作图(保留作图痕迹)． ①如图2， 点在边上， 且， 作的平分线； ②如图3， 点，分别在边，上，且，连接，过点作的垂线． 题型08.菱形性质与判定求线段长 23．如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为_______． 24．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，，之间的距离为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 25．如图，在矩形中，，，垂直平分，交于点，点，在对角线上．当时，四边形的周长为____． 26．如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接．若，，求的长． 题型09.菱形的性质与判定求面积 27．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 28．如图，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积S． 29．在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的面积． 题型10.菱形与坐标系综合 30．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．如图，已知菱形的顶点，，点在轴的正半轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 32．如图，已知菱形的顶点，，点在轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，交于点，连接，若恰好经过点，则点的坐标为________． 33．在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点、、，矩形的顶点、、． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； (2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为．如图②，当边与相交于点、边与相交于点，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； 题型11.菱形中的折叠问题 34．如图，在菱形纸片中，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点E处，折痕为，点分别在边上，则的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 35．如图，菱形中，，点是对角线的中点，点，分别在，上，将沿翻折，得到，当点与点重合时，的长是（   ） A． B．2 C．4 D．6 36．如图，在菱形中，，，点、分别在线段、上，将四边形沿着翻折到菱形所在平面得到四边形，刚好过点，交于点，连接．若，则______，点到的距离为______． 37．如图，在平行四边形纸片上，为边上一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形是______； (2)如图②，当为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当时，连接并延长，交边于点．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 题型12.菱形中的动点问题 38．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（） A． B． C． D． 39．如图，在菱形中，，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于（   ） A．9.6 B．12 C．7.8 D．15.6 40．如图，在菱形中，，． （1）菱形的面积为______． （2）线段（点在点的左侧）在直线上移动，且，当时，的长为______． 41．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接，． (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 题型13.菱形中的最值问题 42．如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 43．如图，在菱形中，，．若M、N分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为E、F，则的值为（     ） A．3 B． C．9 D． 44．如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 45．如图，点M是菱形内部的动点，，点N是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的最大值为______． 题型14菱形与中位线综合 46．如图，O为菱形的对角线，的交点，M，N 分别为边，的中点，连接，若，，则菱形的周长为______． 47．如图，点、、、分别是菱形各边的中点，若四边形的周长为14，菱形的面积为24，则的长为________． 48．如图，四边形是菱形，对角线交于点，于点，是线段的中点，连接．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 49．如图，在四边形中，，，平分，，分别是边，的中点，连接并延长，与的延长线相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型15.菱形的实际应用问题 50．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，其示意图如图所示，菱形的对角线，，则菱形边长为______． 51．某校举办的科技节活动中，“纸牌承重”项目受到同学们的广泛关注．琪琪所在小组用若干张图1中的纸牌无缝隙、无叠合搭建成可承重的两条桌腿，制成如图2所示的“纸牌承重桌”（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计），“纸牌承重桌”的高度为______． 52．如图，在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①～③），其中①号螺母的两条边恰好在边，上，③号螺母的两条边恰好在边，上．嘉嘉和淇淇仔细观察后，得出如下结论． 结论I：菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 针对结论I和Ⅱ，判断正确的是（   ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对 53．如图所示，李老师用一段绸缎制作了一条宽为的矩形丝带，重叠部分图形为四边形． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，求重叠部分图形的面积． 题型16.菱形中旋转问题 54．如图，在平面直角坐标系中，点是原点，菱形的顶点的坐标为．若菱形绕点逆时针方向旋转，每秒旋转，则第2026秒时，菱形的对角线交点的坐标为（   ） A． B． C．（） D． 55．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的平行线，过点C作的平行线，相交于点E．下列三角形中，可以看成由绕点O旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 56．如图，在中，，，，把绕点旋转后得到，连接．求证：四边形是菱形． 题型17.多结论判断题 57．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 58．如图，在菱形中，，，点E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；② ；③；④．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 59．如图，在中，，，为的中点，在外构造等边，连接、．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③四边形是菱形；④．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 60．知图，在菱形中，对角线、交于点，点E、F分别在边、上（点E不与A、B重合）．且，、分别交于点P、Q，连结、．给出下面四个结论：①平分四边形的周长；②四边形是矩形；③平分；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是___________．    题型18.菱形中的存在性问题 61．在矩形 中，，，， 是对角线 上不重合的两点，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，．若由点 ，，， 构成的四边形恰好为菱形，则 的长为____． 62．如图，在矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，． （1）若，则______； （2）当______时，四边形是菱形． 63．如图1，已知矩形的顶点，．且a，c满足．连接对角线． (1)直接写出A，B，C三点的坐标：A ，B ，C ； (2)如图2，将矩形沿对角线折叠，使点B落在点D处，、相交于点E．求折叠前后重合部分的面积； (3)如图3，点P是线段上的动点，点Q是射线上的动点，，分别以和为边作．在点P，Q运动的过程中，是否存在点P，使得为菱形？若存在，请求出所有满足条件的P的坐标和菱形的周长；若不存在，请说明理由． 题型19.菱形的规律探究问题 64．如图，在坐标系中放置一菱形，已知，先将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则B2025的坐标为________． 65．在平面直角坐标系中一组菱形，，，，…按如图方式放置，已知点，，，…，，点，，，…，，则菱形的面积为______．    66．如图，边长为的菱形中，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使；连接，再以为边作第三个菱形，使；，按此规律所作的第个菱形的边长为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05菱形的性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形，理清与平行四边形从属关系。 2.熟练掌握菱形性质：四边相等、对角线互相垂直平分且平分一组对角，兼具平行四边形所有性质；掌握对称性3.牢记三种菱形判定方法：①一组邻边相等的平行四边形；②四条边相等的四边形；③对角线互相垂直的平行四边形。 4.掌握菱形面积两种算法：底 × 高、对角线乘积。 1.会利用菱形边角、对角线性质进行边长、角度、面积基础计算。 2.能根据已知条件合理选取判定定理，规范书写几何证明步骤。 3.能区分平行四边形、矩形、菱形性质与判定，提升识图对比能力。 4.会结合直角三角形，解决菱形对角线拆分三角形相关计算、简单折叠题型。 1.选择填空：规避判定易错表述，基础计算不失分。 2.中档证明：熟练完成平行四边形证菱形常规大题，步骤规范。 3.综合大题：灵活运用对角线求面积，搞定菱形与直角三角形、折叠结合期末高频考题。 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07菱形性质与判定求角度 题型08.菱形性质与判定求线段长 题型09.菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与坐标系综合 题型11.菱形中的折叠问题 题型12.菱形中的动点问题 题型13.菱形中的最值问题 题型14菱形与中位线综合 题型15.菱形的实际应用问题 题型16.菱形中旋转问题 题型17.多结论判断题 题型18.菱形中的存在性问题 题型19.菱形的规律探究问题 知识点01:菱形定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 关键解读： 菱形是特殊平行四边形，定义既是性质来源，也是第一种判定； 两层条件：①是平行四边形 ②一组邻边相等，缺一不可。 知识点02:菱形的性质（必考重点：通用性质 + 独有性质） 1. 继承平行四边形共有性质 对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称图形。 2. 菱形独有性质 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 知识点03:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 S=BCDE 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点04:菱形三种判定定理（重难点、证明题核心） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点05易错知识点（老师课堂必强调、学生易错汇总） 错误表述 正确结论 错误原因 一组邻边相等的四边形是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 缺少平行四边形前提 对角线互相垂直的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 普通四边形对角线垂直不能判定菱形 菱形对角线相等 菱形对角线互相垂直，不一定相等 混淆菱形与矩形对角线特点 菱形 4 条对称轴 菱形只有 2 条对称轴 和正方形对称轴混淆 知识点06:菱形、矩形、平行四边形核心简易区分（便于学生对比记忆） 1.平行四边形→加直角 = 矩形；平行四边形→加邻边相等 = 菱形； 2.矩形特征：角直角、对角线相等；菱形特征：四边等、对角线垂直。 题型01.菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，是菱形的对角线，，，则的周长为_______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出为等边三角形，然后进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴，且， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长为． 3．如图，点是菱形的边上一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，结合已知得出，则，进而得出，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”． 如图1，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫做四边形的“等分线”，四边形就称为“等分对角四边形”． 问题： (1)下列四边形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，其中是“等分对角四边形”的有________；（填序号） (2)四边形是“等分对角四边形”，，求四边形的“等分线”的长； 解：①当为“等分线”时，如图2所示： …… ②当为“等分线”时…… 请画出相应的图形并写出此题完整的解答过程． (3)如图，在菱形中，，点分别在边和上，与交于点，点是线段上任意一点，连接，若四边形是“等分对角四边形”，“等分线”是，求线段的最小值． 【答案】(1)③④ (2)四边形的“等分线”的长为或，图见解析 (3) 【分析】（1）根据“等分对角四边形”的定义，结合菱形和正方形的性质直接判断即可； （2）分两种情况：①当为“等分线”时，根据“等分对角四边形”的定义，易证，得到，然后根据30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，即可求得；当为“等分线”时，作于点E，根据30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得，再根据“等分对角四边形”的定义可知，，最后由等角对等边和勾股定理，即可求得； （3）过点A作于点M，根据30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得，同（2）①理，可证得，从而得到，垂直平分，，进而可知，结合当时，此时取得最小值，此时有，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵菱形和正方形的对角线平分对角， ∴菱形和正方形为“等分对角四边形”， 故答案为：③④． （2）解：①当为“等分线”时，如图2所示： 则，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，，，， ∴； ②当为“等分线”时，如图3所示： 作于点E，则， ∵四边形是“等分对角四边形”， 为“等分线”， ，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上，四边形的“等分线”的长为或． （3）解：如图，过点A作于点M， 则， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是“等分对角四边形”，“等分线”是， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵点是线段上任意一点，连接， ∴当时，此时取得最小值， 此时， ∵， ∴ ∴， 即， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了“等分对角四边形”和“等分线”的定义，菱形的性质，正方形的性质，30度直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定与性质，三角形面积问题，垂线段最短等，理解新定义，证明被等分线所分成的两个三角形全等是解题的关键． 题型01.菱形的性质求角度 5．如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再结合菱形的性质即可证明； （2）先证明是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴， ∴， 又∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ 四边形是菱形，， ∴， ∴在中， ． 6．如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接，若，求的长． 【答案】 【分析】由菱形的对角线互相垂直且平分，可得，再用勾股定理计算出，最后根据直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】解：在菱形中，， ， 由勾股定理得，， 为边的中点， ． 7．如图，在中，，为的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用“一组对边平行且相等”证明四边形是平行四边形，再通过“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”分别证明和都等于的一半，从而得到，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明即可； （2）先在中利用勾股定理求出斜边的长度，再根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”求出菱形的边长，最后利用“菱形周长边长”即可计算出四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， 在中，，是中点， ∴， 在中，是中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的周长． 题型03.菱形的性质求面积 8．如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据菱形性质得出，，，根据，得出四边形为平行四边形，根据，得出四边形是菱形； （2）根据菱形和菱形的面积分别为14，6，得出，设，则，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵菱形和菱形的面积分别为14，6， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴． 9．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)24 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积即可解答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ∴在菱形中，，， ． 10．如图，已知，，，分别是矩形的边，，，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质以及菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分． （1）利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形； （2）利用菱形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：连接，，如下图所示： 在中，∵，， ∴点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 同理，, , 又∵在矩形中，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，，如下图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵为矩形对边中点的连线， ∴， 又∵，且， ∴四边形为矩形， ∴， 同理可得， ∴菱形的面积为． 题型04.菱形的性质证明 11．如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为___________． 【答案】26 【分析】本题考查了菱形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作图方法；根据题意可知：是的垂直平分线，，进而可证四边形是菱形，再根据勾股定理求出，再根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知：是的垂直平分线，， ， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：26． 12．如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】由菱形的性质可得，，结合可得，从而证明，则，因此． 【详解】略 13．如图，在中，点，分别在，上，且． (1)若是菱形，求证：； (2)若，求证：是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，解题的关键是利用全等三角形的性质和平行四边形的性质，通过证明角相等推导出邻边相等，进而完成证明． （1）利用菱形四边相等，通过证明，得； （2）连接，用证明，得，从而得,从而判定平行四边形为菱形． 【详解】（1）证明 四边形是菱形， ． ， ．在和中， ， ． （2）证明：连接， 在和中， ， ， ． 四边形是平行四边形， 是菱形． 题型05.添条件使四边形是菱形 14．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB．AC边的中点，请你在△ABC中添加一个条件：_______________使得四边形AEDF是菱形． 【答案】AB=AC（或∠B=∠C，或BD=DC） 【分析】可根据三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当△ABC满足条件AB=AC或∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形． 【详解】解：要使四边形AEDF是菱形，则应有DE=DF=AE=AF， ∵E，F分别为AC，BC的中点 ∴AE=BE，AF=FC， 应有DE=BE，DF=CF，则应有△BDE≌△CDF，应有BD=CD， ∴当点D应是BC的中点，而AD⊥BC， ∴△ABC应是等腰三角形， ∴应添加条件：AB=AC或∠B=∠C． 则当△ABC满足条件AB=AC或∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形． 故答案为：AB=AC（或∠B=∠C，或BD=DC）． 【点睛】本题考查了菱形的判定，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论． 15．如图，在矩形中，点是对角线的中点，直线经过点，并且与交于点，与交于点，连接，，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件证明四边形是平行四边形，再结合所给条件逐一分析即可． 【详解】解：∵矩形，O是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， A、添加，由上面的推导可知，是平行四边形本身就具备的性质，仅这个条件无法证明平行四边形是菱形； B、添加，根据平行四边形中，一组邻边相等，则这个平行四边形是菱形，所以可以判定； C、添加 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 根据邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定； D、添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定． 综上，不能判定四边形为菱形的是A． 16．如图，平行四边形的对角线相交于点O，过O的直线分别交、于点M、N． . (1)求证： (2)连接，．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得，再运用证明，即可作答． （2）先由平行四边形的性质得，由，证明四边形是平行四边形，最后因为，即可证明四边形是菱形进行作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：添加：，理由如下： 如图，连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 题型06.证明四边形是菱形 17．如图，以的顶点为圆心、边的长为半径画圆弧交边于点，过点作交边于点，则四边形是_____________． 【答案】菱形 【分析】由平行四边形的性质，结合已知条件，可得平行四边形，根据作图过程可知一组邻边相等，即可判定四边形的形状． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由作法得：， ∴四边形是菱形． 18．如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点，某同学以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则四边形是（      ） A．任意四边形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，结合尺规作图可知，从而得出，再根据可证四边形为平行四边形，最后由邻边相等判定为菱形． 【详解】解：在中，是斜边上的中线 以为圆心，长为半径作弧交于点 ，即 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形． 19．如图，在中，，点分别是的中点．连接并延长至点，使得．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若与的周长差为7，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可得到结论； （2）根据与的周长差为7结合勾股定理可得，证明四边形是平行四边形，得到，再根据菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形．            ∵在中，，点D是的中点， ∴．                             ∴四边形是菱形． （2）解：∵与的周长差为7， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴菱形的面积． 题型07菱形性质与判定求角度 20．如图，同一平面内三条不同的直线，，，，直线与另外两条直线分别交于点，，点，分别为，上两点，且满足平分，平分． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若四边形为菱形，求出的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）由角平线的性质及平行线的性质证出，由平行四边形的判定可得出结论； （2）由菱形的性质证明为等边三角形，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）知， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 21．在矩形中，将点A翻折到对角线上的点M处，折痕交于点E．将点C翻折到对角线上的点N处，折痕交于点F． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． （1）证，根据折叠性质推出，求出，根据平行四边形判定推出即可． （2）求出，根据直角三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵由折叠：， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）∵是平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴， 又∵由折叠：， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴． 22．（1）如图1， 在中，与相交于点， 过点的直线交于点， 交于点， 则与的数量关系是 ； （2）在中，，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下的作图(保留作图痕迹)． ①如图2， 点在边上， 且， 作的平分线； ②如图3， 点，分别在边，上，且，连接，过点作的垂线． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，从而推出，即可得到答案； （2）连接，根据和可推出，故平分； （3）连接、、、，、交于点， 连接延长交与点，连接，可推出四边形是菱形，得到，同（1）可得，从而推出四边形为平行四边形，得到，即可得到，故为所求． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是平行四边形 ， 在和中 故答案为： （2）连接， 又 平分 故如图所示，即为所求： （3）连接、、、，、交于点， 连接延长交与点，连接， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是平行四边形 又 平行四边形是菱形 在和中 四边形为平行四边形 故如图所示，即为所求， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键． 题型08.菱形性质与判定求线段长 23．如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，由作图可得平分，，则，证明四边形为菱形，得出，再由四边形的周长为，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 24．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，，之间的距离为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，连接相交于点，过点作于，于，由题意可得，，，可得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即得到四边形是菱形，再利用菱形的性质即可求解，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接相交于点，过点作于，于， ∵四边形由两张等宽的纸条重叠在一起形成的， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 25．如图，在矩形中，，，垂直平分，交于点，点，在对角线上．当时，四边形的周长为____． 【答案】/ 【分析】连接，根据矩形的性质结合勾股定理可求得AC的长，由矩形的性质结合垂直平分线的性质证明，从而可得，进而证明四边形是菱形，设，则，依据勾股定理依次求得，，的长，最后根据菱形的性质求解周长即可． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，，， ， 垂直平分，交于点， ，， ， ，即， 四边形是矩形， ， ， ，，， ， ， ，，， 四边形是菱形， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ，解得， 即， ， ． 四边形的周长为． 26．如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质及判定，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明四边形是菱形； （2）过点作交的延长线于点，先求出，，再根据勾股定理求出、、，进而求出，在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，是边的中点． ， 四边形是菱形； （2）解：过点作交的延长线于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ，是边的中点， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 在，， ． 题型09.菱形的性质与判定求面积 27．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵矩形中，，， ∴， 由菱形和矩形的中心对称性可知：， 又∵， ∴， ∴菱形的面积是． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的判定和性质，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． 28．如图，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积S． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （2）证明为的中位线，求出，由（1）知，四边形是菱形，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形．     是直角三角形，，点是的中点， 是斜边上的中线， ． 四边形是菱形． （2）解：∵点D，O分别是，的中点， ∴为的中位线，     ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∴四边形的面积． 29．在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得到，可以得出四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）设，，在中，根据勾股定理建立方程求解，即可求解的面积． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ 设， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴的面积． 题型10.菱形与坐标系综合 30．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质得出，的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 31．如图，已知菱形的顶点，，点在轴的正半轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点距离计算公式得到，由菱形的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵顶点O，A的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 32．如图，已知菱形的顶点，，点在轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，交于点，连接，若恰好经过点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】连接，作轴于点，作轴于点，勾股定理求出的长，证明为等边三角形，推出为含30度角的直角三角形，进行求解即可. 【详解】解：连接，作轴于点，作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，， 由作图可知，垂直平分， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为. 33．在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点、、，矩形的顶点、、． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； (2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为．如图②，当边与相交于点、边与相交于点，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； 【答案】(1)， (2)，的取值范围是． 【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解； （2）由题意易得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解面积S． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且， ∴， ∴； 连接，交于一点M，如图所示： ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵点，点，点， ∴矩形中，轴，轴，． ∴矩形中，轴，轴，． 由点，点，得． 在中，，故，． 在中，，故，，． ∴．同理，得． ∵，得． 又， ∴， 当时，则矩形和菱形重叠部分为， ∴的取值范围是． 题型11.菱形中的折叠问题 34．如图，在菱形纸片中，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点E处，折痕为，点分别在边上，则的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接、，根据菱形的性质可知是等边三角形，由是中点，可求得，，又因为，可得，利用勾股定理可求出，过点G作于点N，交的延长线于点M，则，，设，则，，可得，在中，利用勾股定理，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：连接， 四边形为菱形，， ，， 是等边三角形， 是中点， ，，， ， ∵， ， 由折叠可得，，， ， ， ，即， 过点G作于点N，交的延长线于点M，则，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 35．如图，菱形中，，点是对角线的中点，点，分别在，上，将沿翻折，得到，当点与点重合时，的长是（   ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】利用菱形的性质，结合翻折的特点，找出线段之间的关系来求解的长度． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，． ∵点是对角线的中点， ∴是对角线，的交点． 由于沿翻折得到，点与点重合， ∴， ． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 36．如图，在菱形中，，，点、分别在线段、上，将四边形沿着翻折到菱形所在平面得到四边形，刚好过点，交于点，连接．若，则______，点到的距离为______． 【答案】 【分析】过点N作的垂线，利用菱形性质、含直角三角形性质求出长；根据翻折性质得对应边、对应角相等，作辅助线构造直角三角形求出线段长，借助勾股定理列方程求出线段长度，最后利用等面积法求出点到的距离． 【详解】解：过点作于点H． 四边形是菱形，，， ，． ， ，． ， ． ． 在中，由勾股定理得，． 在中，由勾股定理得，． 由翻折性质可知，四边形四边形， ，， ，． 点在上， ． 过点作，交的延长线于点K， ． ． 在中，由勾股定理得，． 在中，由勾股定理得，， ，． 设，则，． 过点作交于点P， ，， ． 在中，由勾股定理得，， ． 在中，由勾股定理得，， 即． 解得． ． 过点作于点， ，， ， ． 由勾股定理得，． ， 点到的距离等于菱形的高． 设点M到的距离为， ， ， 解得． 37．如图，在平行四边形纸片上，为边上一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形是______； (2)如图②，当为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当时，连接并延长，交边于点．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 【答案】(1)平行四边形 (2)解：，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， 又为边的三等分点， ， 由折叠可知，，则， ， 由三角形外角性质可知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ，则， ； (3)的长为 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，，则， 由折叠可知：，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形； （2）略 （3）解：由折叠可知，， ， 为等腰直角三角形， ， 如图，延长交于， 则， 四边形是平行四边形， ，，， ∴， ， 平行四边形的面积为24，，即， ，则， ． 题型12.菱形中的动点问题 38．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得，，，所以，由勾股定理求出，连接，可证四边形是矩形，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小，如图， ∴， ∴， ∴的最小值为． 39．如图，在菱形中，，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于（   ） A．9.6 B．12 C．7.8 D．15.6 【答案】D 【分析】连接，与交于点，先得出，，再根据可得为定值，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值等于的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵在菱形中，，， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∵，且， ∴，即， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值等于， ∴的最小值为． 40．如图，在菱形中，，． （1）菱形的面积为______． （2）线段（点在点的左侧）在直线上移动，且，当时，的长为______． 【答案】 【分析】（1）结合菱形的性质和，，计算出两条对角线的长，由即可得出结果； （2）是直角三角形，设，当点在点的两侧或同侧时，由勾股定理分别列出方程，即可求解的值，． 【详解】（1）解：如图，连接，与交于点， ∵是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∵菱形的对角线相互垂直平分， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，与交于点， 由（1）可知，， ∵，， ∴是直角三角形， 设， 当点在点的左侧，点在点的右侧，则， ∵是直角三角形， ∴， 即， ， 解得， ∴， 当点、点同在点的左侧，则， 可得方程 解得（舍去）， ∴， 当点、点同在点的右侧，则， 可得方程 解得， （舍去）． 综上所述，． 41．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接，． (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形能够成为菱形， (3)或，理由见解析 【分析】（1）利用t表示出和的长，然后在直角中，利用直角三角形的性质求得的长，即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此列出方程求得t值． （3）分别从和两种情况分类讨论即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，， 中，，， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：四边形能够成为菱形． ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 即， 解得：， 即当时，平行四边形是菱形； （3）解：当时，是直角三角形；或当时，是直角三角形． 理由如下：当时，如图， ∵， ∴， ∴，， 即， 解得：； 当时，如图， 四边形是平行四边形， ， ∴． ， ， ， ∵， ， 解得． 综上所述，当时或当时，也是直角三角形． 题型13.菱形中的最值问题 42．如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】由题意可知，当垂直于菱形的一边时，有最小值，过点作于点，当点为的中点时，为的中位线，得，，证明平行四边形是矩形，得，求出，即可得出结论． 【详解】解：由题意知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； ∵点是的中点，点是四边形边上的动点， ∴当垂直于菱形的一边时，有最小值， 过点作于点， 当点为的中点时，连接， 则为的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴， 解得：， ∴， 即的最小值是． 43．如图，在菱形中，，．若M、N分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为E、F，则的值为（     ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】连接交于点O，过点M作交于点G，则可得四边形是矩形，以及，从而得，，即，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接交于点O，过点M作交于点G， . ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质，解题的关键是根据相等线段构造全等三角形将问题线段和转换为单一线段． 44．如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 【答案】 【分析】在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接，容易判断是等边三角形，则，，．容易证明，则，结合平行四边形的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，，从而计算出，，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，，， 由勾股定理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，， ∴的最小值为． 45．如图，点M是菱形内部的动点，，点N是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质、三角形中位线、勾股定理和三角形三边关系等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图：连接，取的中点E，连接，取的中点F，连接，则是的中位线，是的中位线，有．进一步证明是等边三角形，则，，再结合三角形三边关系有即可． 【详解】解：如图：连接，取的中点E，连接，取的中点F，连接，是的中位线，是的中位线， ∴． ∵，四边形是菱形， ∴是等边三角形， ∴ ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 题型14菱形与中位线综合 46．如图，O为菱形的对角线，的交点，M，N 分别为边，的中点，连接，若，，则菱形的周长为______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到，根据菱形的性质得到，，，再根据勾股定理求出的长，最后利用菱形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵M，N 分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，． 在中，根据勾股定理，得 ， ∴菱形的周长为． 47．如图，点、、、分别是菱形各边的中点，若四边形的周长为14，菱形的面积为24，则的长为________． 【答案】5 【分析】连接交于点O，由菱形的性质得到，由三角形中位线定理得到，则可推出，即，根据菱形的面积公式可推出，则由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴； ∵点、、、分别是菱形各边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵四边形的周长为14， ∴， ∴， ∴，即 ∵菱形的面积为24， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 48．如图，四边形是菱形，对角线交于点，于点，是线段的中点，连接．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相平分可得为中点，结合为中点，利用三角形中位线定理求出菱形的边长；在中利用勾股定理求出的长，进而得到对角线的长；最后利用菱形面积的两种计算方法建立等式求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，对角线交于点， ， ， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得：． 49．如图，在四边形中，，，平分，，分别是边，的中点，连接并延长，与的延长线相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为10 【分析】（1）根据，平分，可得，从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证； （2）根据菱形的性质，得到，．利用勾股定理即可得到的长，再结合三角形中位线性质，可得四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点，如图， 由题意得，菱形的边长为13，对角线， ， 点、分别是边、的中点， ， 、是菱形的对角线， ， ， ， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ． 题型15.菱形的实际应用问题 50．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，其示意图如图所示，菱形的对角线，，则菱形边长为______． 【答案】10 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，求出两条对角线的一半长度，再在直角三角形中利用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：四边形是菱形 ，， ， ， 在中，由勾股定理得． 51．某校举办的科技节活动中，“纸牌承重”项目受到同学们的广泛关注．琪琪所在小组用若干张图1中的纸牌无缝隙、无叠合搭建成可承重的两条桌腿，制成如图2所示的“纸牌承重桌”（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计），“纸牌承重桌”的高度为______． 【答案】 【分析】如图，连接，根据题意，得到是等边三角形，边长都为，进而得到四边形是菱形，推出，即“纸牌承重桌”的高度为的长度，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意，是等边三角形，边长都为， 四边形是菱形， ， ， ，即“纸牌承重桌”的高度为的长度， ． 52．如图，在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①～③），其中①号螺母的两条边恰好在边，上，③号螺母的两条边恰好在边，上．嘉嘉和淇淇仔细观察后，得出如下结论． 结论I：菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 针对结论I和Ⅱ，判断正确的是（   ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对 【答案】A 【分析】先求出是等边三角形， 得，再分别证四边形、是平行四边形，得，即可得Ⅰ正确；通过作图可得Ⅱ正确． 【详解】解：如下图， 根据题意，得正六边形的每一个外角是，每一个内角是， ， ， ， 是等边三角形， ， 在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母， ， ， 在菱形中， ， ， 延长交于点J， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 可以排列如图所示， 故该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母， 故选：A． 53．如图所示，李老师用一段绸缎制作了一条宽为的矩形丝带，重叠部分图形为四边形． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，求重叠部分图形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形．证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）过点B作于点E，过点D作于点F，可证四边形是平行四边形，则，根据平行四边形的面积公式得到，即可证明平行四边形是菱形； （2）根据等腰三角形的判定和性质得到，根据勾股定理求出，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形．证明如下： 如图所示，过点B作于点E，过点D作于点F， 依题意得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形带宽为， ， ∵， ， ∴平行四边形是菱形； （2）解：， 是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 重叠部分图形的面积是：． 题型16.菱形中旋转问题 54．如图，在平面直角坐标系中，点是原点，菱形的顶点的坐标为．若菱形绕点逆时针方向旋转，每秒旋转，则第2026秒时，菱形的对角线交点的坐标为（   ） A． B． C．（） D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得第2026秒时，菱形的对角线交点的坐标． 【详解】解：菱形的顶点，， 由中点坐标公式得D点坐标为． 每秒旋转，则点D旋转一周所需时间为：（秒）， ，即点D旋转253周，再额外旋转2秒， 初始D点坐标为，逆时针旋转后点D坐标为． 所以，第2026秒时，菱形的对角线交点的坐标为． 55．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的平行线，过点C作的平行线，相交于点E．下列三角形中，可以看成由绕点O旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，旋转的性质，先根据菱形的性质推出、、、全等，再根据旋转的性质得绕点O旋转得到的是． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点O， ∴，，，， ∴、、、全等， ∴由绕点O旋转得到的是． 故选：B． 56．如图，在中，，，，把绕点旋转后得到，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵把绕点旋转后得到， ∴，，即A、O、C共线，B、O、D共线， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】根据勾股定理逆定理得到，根据旋转的性质得到，，可知，即可证明四边形是菱形． 【详解】略 题型17.多结论判断题 57．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】证明，得出，故①正确；证明，得出，故③正确；证四边形是平行四边形，得出，故②正确；证四边形是平行四边形，证出，则，得出四边形是菱形；故④正确；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故②正确； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；故④正确； 正确结论的个数是4个． 58．如图，在菱形中，，，点E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；② ；③；④．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ， ∵E，F分别是，的中点， ∴平分，平分，， ∴ ， ， ∴ ，故①符合题意； ②∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理： ， ， ∴ ， ∴ ，故②符合题意； ③∵， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴和不全等，故③不符合题意； ④如图，设与交于点M， 同①得：是等边三角形， ∴ ，， 由②可知，， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故④不符合题意； 综上所述，其中正确的结论有①②. 59．如图，在中，，，为的中点，在外构造等边，连接、．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③四边形是菱形；④．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据直角三角形性质及等边三角形的判定，证明为等边三角形，进而得出四边形为菱形，即可判定①③；利用一组对边平行且相等判定四边形为平行四边形，即可判定②；通过平行四边形和菱形的性质可得，即可判定④，综上即可求解． 【详解】解：，， ，， 为的中点， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ∴四边形是菱形，故③正确； ，故①正确； ，， ， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∵四边形是平行四边形， ， 为中点， ， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 60．知图，在菱形中，对角线、交于点，点E、F分别在边、上（点E不与A、B重合）．且，、分别交于点P、Q，连结、．给出下面四个结论：①平分四边形的周长；②四边形是矩形；③平分；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是___________．    【答案】①③④ 【分析】根据菱形性质可以判定出四边形为平行四边形，结合等腰三角形的判定与性质可以判定出为菱形，即可判断出①②③，利用勾股定理可以求出的长从而得出结论④． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， 四边形为平行四边形，故②四边形是矩形无法判定，不符合题意； ， 垂直平分，， ， ， 为菱形， ，即 ①平分四边形的周长，正确，符合题意； ③平分，正确，符合题意； 为菱形， ，， ， 当时，， ， ，， ，故④正确，符合题意， 综上所述，正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 题型18.菱形中的存在性问题 61．在矩形 中，，，， 是对角线 上不重合的两点，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，．若由点 ，，， 构成的四边形恰好为菱形，则 的长为____． 【答案】 【分析】先证明矩形的四个顶点均在菱形的四条边上，且分别为各自边的中点，然后证明菱形的边长等于矩形的对角线长，再证，根据等腰三角形的三线合一性质与勾股定理，求出的长，同理得的长，即可得解． 【详解】解：矩形 中，，， ， 轴对称性质， ， 点A在菱形的边上， 同理可知：点均在菱形的边上， ， 点为的中点， 同理，点为的中点， 连接，交于点，如图所示， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ， 过点作于点， ， ， ， 在中，， ； 同理可求得：， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形与菱形的性质、平行四边形与等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关的性质与判定是解答此题的关键． 62．如图，在矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，． （1）若，则______； （2）当______时，四边形是菱形． 【答案】 5 30°/30度 【分析】根据条件可得以及可证明，即可求解.根据菱形性质和角关系可得,利用，即可求解. 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，，，，， ∴． ∵，， ∴，∴． 在和中， ， ∴，∴． ∵，∴． 故答案为：5 （2）若四边形是菱形， 则，∴． ∵，∴， ∴．∵， ∴．∵， ∴，即， ∴，∴，即 故答案为： 【点睛】本题考查矩形和菱形的性质以及三角形全等的判定等，关键在于结合性质和图形，找到条件，特别锻炼学生的逻辑推理能力. 63．如图1，已知矩形的顶点，．且a，c满足．连接对角线． (1)直接写出A，B，C三点的坐标：A ，B ，C ； (2)如图2，将矩形沿对角线折叠，使点B落在点D处，、相交于点E．求折叠前后重合部分的面积； (3)如图3，点P是线段上的动点，点Q是射线上的动点，，分别以和为边作．在点P，Q运动的过程中，是否存在点P，使得为菱形？若存在，请求出所有满足条件的P的坐标和菱形的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在点和使为菱形，菱形的周长分别为16和8 【分析】（1）根据非负数的性质求得a，c，的值，进而根据矩形的性质结合坐标系，即可求解． （2）根据折叠的性质以及矩形的性质得出，设，勾股定理建立方程，求得，进而根据三角形的面积公式求出结果． （3）设，且，根据菱形的性质可得，进而得出P的坐标，求出菱形的边长进而求出周长． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵矩形的顶点为，， ∴，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． （2）解：由（1）得：，， 由折叠得：， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵中，， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：在中，， 设则，则，， ①当Q在线段上时，则， ∵为菱形 ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴； ②当Q在的延长线上时，则， ∵为菱形 ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴； 综上，存在点和使为菱形，菱形的周长分别为16和8． 题型19.菱形的规律探究问题 64．如图，在坐标系中放置一菱形，已知，先将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则B2025的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的几何规律问题、菱形的性质等知识点，依据题意，正确归纳出规律是解题关键． 先利用菱形的性质、翻转的性质分别求出点坐标，再归纳总结出规律，由此即可得出答案． 【详解】如图，连接，交y轴于点D 四边形是菱形， ， 在中， 由翻转的性质得：旋转后的四边形仍是菱形，且边长为1 则点的横坐标为，纵坐标为，即 重合，它们的横坐标为，纵坐标为0，即 点的横坐标为，纵坐标为，即 点的横坐标为，纵坐标为，即 由翻转过程可知，每翻转6次，点B向右平移4个单位长度 的纵坐标为0，横坐标在横坐标的基础上加上，即为 则 故答案为：． 65．在平面直角坐标系中一组菱形，，，，…按如图方式放置，已知点，，，…，，点，，，…，，则菱形的面积为______．    【答案】9 【分析】先求出以及的长度，根据菱形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，点，， ∴， ∵菱形，， ∴的中点坐标为， 由菱形的对角线互相平分可得：， ∴， ， 同理可得：，， 根据此规律可得， 又∵，， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查菱形的面积公式，关键是要找出的长度的规律，牢记菱形的面积公式． 66．如图，边长为的菱形中，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使；连接，再以为边作第三个菱形，使；，按此规律所作的第个菱形的边长为______． 【答案】 【分析】连接，交于，由菱形的性质可知，，且，利用“直角三角形中所对的边是斜边的一半”求得，再由勾股定理求出，从而得到的长，同理可求得，，的长，由此观察并总结规律，得到答案． 【详解】如图，连接，交于点． ∵四边形是菱形，∠BAD=60°，AB=2， ∴，，， ∴在中，， ， ∴． 同理可得，，，． 按此规律所作的第个菱形的边长为． 即第8个菱形的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形规律的探索，勾股定理，菱形的性质等知识，解决本题的关键在于熟练运用菱形相关性质，并通过观察找出规律． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $