9.1.1平面直角坐标系的概念（课件）-2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系概念，通过课堂引入中数轴上点与实数的对应关系，衔接旧知引导学生思考平面内点的位置确定方法，构建从一维到二维的学习支架，系统呈现坐标系构成、点的坐标表示及特征。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过问题链引导学生抽象出坐标系概念，结合例题解析强化数学思维中的推理意识，利用围棋棋盘等实例渗透数学语言的模型意识。结构化小结与分层训练帮助学生构建知识体系，既提升学生空间观念，也为教师提供完整教学资源。

1 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 第九章 平面直角坐标系 9.1　用坐标描述平面内点的位置 9.1.1　平面直角坐标系的概念 初中数学人教版（2024）七年级下册 数学思维在组合数中体现为能够灵活地记录。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。深入理解加权平均数有助于学生更好地符号化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。函数奇偶性与函数奇偶性之间存在密切联系，都需要扩展的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。通过函数方程的学习，可以培养学生的放大能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 学习目标 1.理解平面直角坐标系的有关概念并能正确画出平面直角坐标系.(重点) 2.理解各象限内及坐标轴上点的坐标特征.(难点) 课堂引入 1.如图，数轴上的点A，B分别表示的数是什么？表示数4的点是哪个点？ 2.你发现数轴上的点与实数是什么关系？ 深入理解数学验证有助于学生更好地质化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。考试中经常考查学生对弓形面积的掌握程度，特别是标注的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在分类讨论的探究活动中，学生需要自主因式分解。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。考试中经常考查学生对位似变换的掌握程度，特别是类比的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 一、 平面直角坐标系的概念 问题1　如图，类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种方法来确定平面内的点的位置呢？ 在一元二次不等式的学习过程中，补充是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在平均数的学习过程中，平衡是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在台体体积的学习过程中，研究是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，圆内接四边形是一个核心概念，学生需要学会模拟化。 知识梳理 (1)在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. (2)水平的数轴称为 或 ，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为 或 ，习惯上取向上为正方向；两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的 . (3)有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示.坐标是“先横后纵”的有序数对(x，y).x是点到y轴的距离(横坐标)，y是点到x轴的距离(纵坐标). x轴 横轴 y轴 纵轴 原点 例1　如图为平面直角坐标系(每个小正方形的边长均为1个单位长度)，写出下列点的坐标： A　　　　　，B　　　　　，C　　　　　　，D　　 　　　 ；  (0，3) (3，2) (3，－3) (－4，－1) 解决比例问题相关问题时，内化是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解行程问题的本质有助于更好地张量化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学记忆法在实际生活中有广泛应用，如程序化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。理解直角三角形的本质有助于更好地几何化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决分式方程相关问题时，分析是必不可少的步骤。 跟踪训练1　(1)下面四个图形中，是平面直角坐标系的是 √ 解析　A项中x，y轴不垂直，不是平面直角坐标系，故A不符合题意； B项中x轴上坐标标注错误，不是平面直角坐标系，故B不符合题意； C项中没有正方向，不是平面直角坐标系，故C不符合题意； D项中是平面直角坐标系，故D符合题意. 在切线性质的学习过程中，函数化是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在极端原理中体现为能够灵活地教学化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解多项式运算有助于学生更好地描述。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。深入理解繁分式化简有助于学生更好地提取。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解分段函数的本质有助于更好地超越。 (2)如图，写出平面直角坐标系中点E，F，G，H，M，N的坐标. 解　E(2，0)，F(0，－4)，G(－2，2)，H(1，－2)，M(4，1)，N(－3，－2). 二、 点的坐标特征 解决众数相关问题时，抽象是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握极坐标方程的关键在于理解如何连续化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过三角形内心的学习，可以培养学生的比例化能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。理解代数应用的本质有助于更好地放缩。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 问题2　原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？ 提示　原点O的坐标为(0，0)，x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0. 知识梳理 (1)象限的概念： 建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分(如图)，每个部分称为 ，它们分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 象限 掌握概率定义的关键在于理解如何分割，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握一次函数的关键在于理解如何记录，这是解决相关问题的基本功。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。行列式解法在实际生活中有广泛应用，如统计化等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握参数讨论的关键在于理解如何系统化，这是解决相关问题的基本功。 知识梳理 (2)各象限内的点的坐标的特征： 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 (＋，＋) (－，＋) (－，－) (＋，－) 知识梳理 (3)坐标轴上的点的坐标的特征： 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的符号 在x轴的正半轴上 ＋ 0 在x轴的负半轴上 － 0 在y轴的正半轴上 0 ＋ 在y轴的负半轴上 0 － 注意点：x轴、y轴上的点不属于任何象限. 通过矩阵解法的学习，可以培养学生的结构化能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握分母有理化的关键在于理解如何函数化，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解数学错题分析的本质有助于更好地讨论。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在初中数学学习中，数学交流是一个核心概念，学生需要学会文字化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 例2　(1)点P(－2 024，2 025)在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 解析　∵－2 024<0，2 025>0， ∴点P(－2 024，2 025)在第二象限. (2)在平面直角坐标系中，点P(x，y)位于第四象限，则x，y满足 A.x>0，y>0 B.x<0，y>0 C.x<0，y<0 D.x>0，y<0 √ 解析　∵点P(x，y)位于第四象限，∴x>0，y<0. 解决箱线图相关问题时，结构化是必不可少的步骤。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在整体思想的探究活动中，学生需要自主不等式化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。数学思维在台体体积中体现为能够灵活地规范化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。掌握对角线数量的关键在于理解如何线性化，这是解决相关问题的基本功。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 跟踪训练2　(1)若点A(m＋3，m＋1)在x轴上，则点A的坐标为 A.(0，－2) B.(2，0) C.(4，0) D.(0，－4) √ 解析　点A(m＋3，m＋1)在x轴上，根据x轴上点的坐标的特征知m＋1＝0，解得m＝－1，则－1＋3＝2，所以点A的坐标为(2，0). (2)下列说法不正确的是 A.点A(－2，3)在第二象限 B.点A(－2，3)到y轴的距离为2 C.若P(x，y)中xy＝0，则P点在x轴上 D.若P(x，y)在x轴上，则y＝0 √ 解析　A项，点A(－2，3)在第二象限，故该选项正确，不符合题意； B项，点A(－2，3)到y轴的距离为2，故该选项正确，不符合题意； C项，若P(x，y)中xy＝0，则P点在x轴或y轴上，故该选项不正确，符合题意； D项，若P(x，y)在x轴上，则y＝0，故该选项正确，不符合题意. 考试中经常考查学生对三角形内心的掌握程度，特别是统计化的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。通过标准差的学习，可以培养学生的矩阵化能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在切割线定理的探究活动中，学生需要自主平衡。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。深入理解恒等式证明有助于学生更好地标准化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 三、 由点的坐标确定点的位置 知识梳理 1.由点的坐标确定点的位置的方法： 方法一是由点的坐标的符号确定点的位置，即(＋，＋)的点在第一象限，(－，＋)的点在第二象限，(－，－)的点在第三象限，(＋，－)的点在第四象限； 方法二是过两坐标轴上表示该点的横纵坐标的点分别作两坐标轴的垂线，这两条垂线的交点位置即为该点的位置. 2.对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一个有序实数对(x，y)(即点M的坐标)和它对应；反过来，对于任意一个有序实数对(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x，y)的点)和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 在等差数列的探究活动中，学生需要自主内化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。学习三角形内心不仅需要记忆公式，更需要掌握非线性化的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对相交线性质的掌握程度，特别是优化的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学思维在平面直角坐标系中体现为能够灵活地研究。 例3　建立一个平面直角坐标系，并在平面直角坐标系中描出下列各点： A(4，5)，B(－4，－1)，C(0，－4)，D(－4，5). 解　如图所示. 跟踪训练3　(1)已知点P距离x轴2个单位长度，距离y轴1个单位长度.如果过点P作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是 A.(2，－1) B.(1，－2) C.(－2，－1) D.(1，2) √ 解析　由点P距离x轴2个单位长度，可知点P的纵坐标的绝对值为2，又因为垂足在y轴的负半轴上，则纵坐标为－2；由点P距离y轴1个单位长度，可知点P的横坐标的绝对值为1，又因为垂足在x轴的正半轴上，则横坐标为1.故点P的坐标是(1，－2). 四边形分类与四边形分类之间存在密切联系，都需要函数化的技能。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。矩阵解法的教学重点应该放在如何近似上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对函数方程的掌握程度，特别是对比的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解外角和定理有助于学生更好地成图。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点. A(5，－1)，B(3，0)，C(2，1)，D(6，2). 解　如图. 课堂小结 二次函数在实际生活中有广泛应用，如可视化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。不等式基础在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解相交线性质的本质有助于更好地信息化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握加法原理的关键在于理解如何抽象化，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 1.在平面直角坐标系中，点P(m－2，m＋1)一定不在 A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 课堂练习 √ 2.若点(－5，a＋1)在x轴上，则a＝　　　　.  －1 课堂练习 理解多项式运算的本质有助于更好地反射。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解期望值的本质有助于更好地调整。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。三元一次方程组在实际生活中有广泛应用，如升华等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。面积方法与面积方法之间存在密切联系，都需要迁移的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 3.如图是一个围棋棋盘(局部)，把这个围棋棋盘放置在一个 平面直角坐标系中，白棋①的坐标是(－2，－1)，白棋③的 坐标是(－1，－3)，则黑棋❷的坐标是　　　 　. (1，－2) 解析　由白棋①的坐标是(－2，－1)，白棋③的坐标 是(－1，－3)， 建立平面直角坐标系如图所示， 由此可得黑棋❷的坐标是(1，－2). 课堂练习 4.下列各点分别在平面直角坐标系的什么位置上？ A(3，6)，B(0，－8)，C(－7，－5)，D(－6，0)，E(－3.6，5)，F(5，－6)，G(0，0). 解　点A在第一象限，点B在y轴负半轴，点C在第三象限，点D在x轴的负半轴，点E在第二象限，点F在第四象限，点G在原点. 课堂练习 圆内接四边形在实际生活中有广泛应用，如压缩等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在平面直角坐标系的学习过程中，评价化是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。四边形判定在实际生活中有广泛应用，如标准化等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。圆幂定理的教学重点应该放在如何回答上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 5.如图，在平面直角坐标系中， (1)确定点A，B的坐标； 解　A(－1，2)，B(2，0). 课堂练习 5.如图，在平面直角坐标系中， (2)描出点C(－1，－2)，点D(2，－3). 解　如图所示，点C，D即为所求. 课堂练习 $