12.1～12.3 定义、命题 、证明 分层作业 2025--2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 以分层训练构建定义、命题、证明的逻辑链条，通过基础辨析、推理应用及跨情境拓展，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|A组1-6题|选择填空结合，辨析定义与命题|从“命题的判断”到“真/假命题识别”，构建概念认知基础| |命题结构|A组8题、B组13题|命题改写与逆命题分析|拆解“条件-结论”结构，强化数学语言表达| |推理证明|A组9题、B组19题|推理排序与命题证明|从“已知-推导-结论”逻辑链，培养推理能力| |拓展应用|C组20题|新定义与代数证明|结合符号表示（如<ab>），体现模型意识与创新思维|

2026年苏科版数学七年级下册定义&命题&证明分层作业 （满分：100分 时间：60分钟） A组练习： 一、选择题(每题3分，共15分) 1.下列句子中，属于命题的是 ( ) A.画一条线段等于已知线段 B.垂线段最短 C.利用三角板画出60°的角 D.正多边形的每个内角都相等吗 2.下列命题中，属于真命题的是 ( ) A.若a>b,则 B.两直线平行，内错角相等 C.同位角相等 D.有两个角是锐角的三角形是锐角三角形 3.下列各组命题中，不是互逆命题的是 ( ) A.“长方形的4个角都是直角”与“4个角都是直角的四边形是长方形” B.“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等” C.“两个正数的和为正数”与“和为正数的两个数都是正数” D.“同位角相等，两直线平行”与“两直线平行，同位角相等” 4.数学许多概念之间是有关系的，能正确表示整式、单项式、多项式、代数式之间关系的是 ( ) 5.对于“对顶角相等”，下列说法错误的是 ( ) A.“对顶角相等”是命题 B.两个角是对顶角是命题的条件 C.相等是命题的结论 D.这两个角相等是命题的结论 二、填空题(每题3分，共12分) 6.有下列语句： ①同旁内角互补； ②作已知角的平分线； ③两点之间线段的长度叫作这两点之间的距离； ④两点之间，线段最短. 其中属于定义的有 ；属于命题的有 .(填序号) 7.命题“若a>b,则a-1>b-3”是 命题(填“真”或“假”)。 8.把命题“等边三角形三个内角都相等”改写成“如果……那么……”的形式为 9.试说明“若∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,∠A=∠C,则∠B=∠D”是真命题.以下是排乱的推理过程： ①因为∠A=∠C(已知); ②因为∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°(已知); ③所以∠B=180°-∠A,∠D=180°-∠C(等式的性质); ④所以∠B=∠D(等量代换); ⑤所以∠B=180°-∠C(等量代换). 正确的顺序是 .(填序号) 三、解答题(共25分) 10.(8分)在下列各题的横线上，填上适当的符号、式子、名词或结论，使它成为真命题. (1)点 M 在线段AB上,若AM=BM,则 ; (2)若OC平分∠AOB,则∠AOC= = ; (3)直线AB,CD 被直线EF 所截,∠1,∠2是内错角,若∠1=∠2,则 ; (4)若∠1与∠2 ,则∠1+∠2=180°. 11.（8分）若a 是一个整数，且a 除以3余1.判断 是否一定能被9整除，并说明理由. 12.(9分)命题：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行. (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式： (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程. 已知:如图,a⊥l, . 求证: . B组练习： 一、选择题(每题3分，共9分) 13.命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的条件、结论分别是 ( ) A.两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B.两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C.两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D.两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 14.有下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|=|b|，则a=b；③直角都相等；④相等的角是对顶角.其中它们的逆命题是真命题的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 15.在判断“对于任意实数a，一定有 这一命题的真假时，同学们给出如下分析，其中说法正确的是 ( ) A.因为当a=-2时, 所以该命题是真命题 B.因为当a=2,3,…,10时, 所以该命题是真命题 C.如果a 取某一实数时， 或 那么该命题是假命题 D.如果a 取某一实数时， 那么该命题是真命题 二、填空题(每题3分，共6分) 16.自然数15的所有因数为1，3，5，15，这些因数具有关系1+3+5=9<15;自然数8的所有因数为1,2,4,8,这些因数具有关系1+2+4=7<8.像15,8这样的数叫作亏数.若亏数n的所有因数为1，a，5，n(按从小到大的顺序排列)，则n的值为 . 17. “回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，例如，“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流.流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋.”其意境与韵味读起来都是一种美的享受.在数学中也有一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，如11，343等.有下列几个命题： ①6666 是“回文数”; ②所有两位数中，有9个“回文数”； ③所有三位数中，有90个“回文数”； ④任意六位数的“回文数”是11 的倍数. 其中，是真命题的是 (填序号). 三、解答题(共33分) 18.(9分)请从下列三个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题.如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请举出反例. (1)若 则a=b; (2)对于任意实数x，y，一定有 (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数. 19.(12分)如图,有下列三个条件:①DE∥BC;②∠1=∠2;③∠B=∠C. (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题?请你都写出来. (2)选择你写的一个真命题写出证明过程. C组练习： 20.(12分)我们用符号(ab)表示一个两位数(其中a，b分别表示十位、个位上的数字)，即<ab>=10a+b.类似地，我们用符号<abc>表示一个三位数. 请根据以上材料，解答下列问题： (1)命题：若计算(ab)²的结果的个位数字为4，则b=2.请举反例说明它是个假命题. (2)若a,b,c(a<b<c)为三个连续的整数,试证明:< abc>+7< ab>-6b能被13整除. 答案 1. B 2. B A.若a>b,则 当c=0时不成立，是假命题，不符合题意； B.两直线平行，内错角相等，正确，是真命题，符合题意； C.两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D.三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故原命题错误，是假命题，不符合题意. 3. B 4. D 代数式包括整式和分式，整式包括多项式和单项式，故选项 D符合题意. 5. C 6.③①④ ①是命题；②是指令性语言，不是定义，也不是命题；③是两点之间的距离的定义；④是线段的公理，是命题. 7.真 因为a>b, 所以a-1>b-1>b-3,即a-1>b-3,所以这是一个真命题. 8.如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个内角都相等 9.②③①⑤④ 正确的推理过程:因为∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°(已知), 所以∠B=180°-∠A,∠D=180°-∠C(等式的性质). 因为∠A=∠C(已知), 所以∠B=180°-∠C(等量代换), 所以∠B=∠D(等量代换). 故正确的顺序是②③①⑤④. 10.解:(1)M 为线段AB 的中点(答案不唯一) 2分 4分 (3)AB∥CD 6分 (4)互补 8分 11.解：一定能被9整除.理由如下： 设a 除以3余1的商为b， 则a=3b+1, 所以 6分 因为b为整数， 所以 是整数， 所以 一定能被9整除. 8分 12.解：(1)如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 (2)b⊥l a∥b 证明：如图. 因为a⊥l,b⊥l, 所以∠1=∠2=90°, 所以a∥b. 9分 13. A 14. B ①同旁内角互补，两直线平行的逆命题：两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②若|a|=|b|,则a=b的逆命题:若a=b,则|a|=|b|,是真命题； ③直角都相等的逆命题：相等的角是直角，是假命题； ④相等的角是对顶角的逆命题：对顶角是相等的角，是真命题. 因此，逆命题是真命题的个数是3. 15. C A.仅举a=-2的例子成立，但未覆盖所有实数，无法证明命题为真，故原说法错误；B.列举a=2,3,…,10时成立,但未考虑a≤1的情况,无法证明命题为真，故原说法错误； C.若存在a使 或 则原命题不成立，故原说法正确，符合题意； D.存在a使 不能说明命题对所有a 成立，无法证明命题为真，故原说法错误. 16.10或15 由题意,知1<a<5<n,1+a+5<n,5a=n. 当a=2时,n=10; 当a=3时,n=15; 当a=4时,n=20,但20不止4个因数,故舍去. 故 n 的值为10或15. 17.①②③④ 6666 正读倒读都一样,所以6666 是“回文数”，故①是真命题. 所有两位数的“回文数”为 11,22,33,44,55,66,77,88,99,共 9个,故②是真命题. 所有三位数的“回文数”中，百位数字和个位数字是1的为 101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,共10个.同理，百位数字和个位数字是2的有 10个……以此类推，则三位数的“回文数”共有10×9=90(个)，故③是真命题. ④设任意六位数的“回文数”p中，十万位、万位、千位、百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,d,e,f,则 p=100 000a+10 000b+1 000c+100d+10e+f. 根据定义,知a=f,b=e,c=d, 所以 p=100 001a+10 010b+1 100c=11×9 091a+11×910b+11×100c=11×(9 091a+910b+100c), 所以 p 是11的倍数，故④是真命题. 综上，是真命题的是①②③④. 18.解：(任选两个命题判断并解答即可)(1)(2)都是假命题，(3)是真命题. (1)是假命题,反例:当a=2,b=-2时,结论不成立. (2)是假命题，反例：当x=y=1时，结论不成立. (3)是真命题，证明如下： 设两个连续的正奇数为2k-1，2k+1(k为正整数)，则 =8k. 因为 k 为正整数， 所以8k 是8的倍数， 所以两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数. 9分 19.解：(1)一共能组成三个命题. ①如果DE∥BC,∠1=∠2,那么∠B=∠C; ②如果DE∥BC,∠B=∠C,那么∠1=∠2; ③如果∠1=∠2,∠B=∠C,那么DE∥BC. 4分 (2)(任选一个证明即可)如果 DE∥BC,∠1=∠2,那么∠B=∠C,是真命题. 证明:因为 DE∥BC, 所以∠1=∠B,∠2=∠C. 因为∠1=∠2, 所以∠B=∠C. 12分 (或如果DE∥BC,∠B=∠C,那么∠1=∠2,是真命题. 证明:因为 DE∥BC, 所以∠1=∠B,∠2=∠C. 因为∠B=∠C, 所以∠1=∠2. 12分 或如果∠1=∠2,∠B=∠C,那么DE∥BC,是真命题. 证明:因为∠B+∠C+∠BAC=180°, 所以∠B+∠C=180°-∠BAC. 因为∠1+∠2+∠BAC=180°, 所以∠1+∠2=180°-∠BAC, 所以∠B+∠C=∠1+∠2. 因为∠1=∠2,∠B=∠C, 所以∠B=∠1, 所以DE∥BC. 12分) 20.解:(1)反例:当a=1,b=8时, 说明命题“若计算(ab)² 的结果的个位数字为4，则b=2”是个假命题. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 (2)证明：因为a，b，c为三个连续的整数， 所以b=a+1,c=a+2, 所以(abc)+7(ab)-6b =100a+10b+c+7×(10a+b)-6b =100a+10(a+1)+a+2+7×(10a+a+1)-6(a+1) =100a+10a+10+a+2+70a+7a+7-6a-6 =182a+13 =13(14a+1). 8分 因为a 是整数， 所以13(14a+1)能被13整除, 所以若a,b,c(a<b<c)为三个连续的整数,则(abc)+7(ab)-6b 能被13整除. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分 学科网（北京）股份有限公司 $