精品解析：山东潍坊市2026年初中学业水平考试复习自测数学试题

九年级数学 2026.06 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 下列各数是负无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 四棱锥 D. 三棱柱 4. 《教育部政府门户网站工作年度报表》中显示，2025年“微言教育”视频号、抖音、快手、B站四平台全年发布视频2355条，总播放量13.4亿．数据13.4亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个大小相同质地均匀的小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额之和小于50元的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 在平面直角坐标系中，直角三角板摆放如图所示，，直角顶点与原点重合，点在反比例函数的图象上．若点坐标为，则的值是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，是半圆的一条弦，以弦为折线将弧折叠后过圆心，的半径为，则圆中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形 中，，下列结论：①若，则；②；③若 的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；④将绕点A逆时针旋转得到，则．以上正确的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解： _______． 12. 在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标是，则点B的对应点D的坐标是_______． 13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高h为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，用12个以点为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，则点的坐标为_____________． 15. 如图，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到两点的距离之和的最小值为_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简求值 （1）计算： （2）先化简： ，再从，0，1中选择一个合适的数作为a的值代入求值 17. 某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项，为了解学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下不完整的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操 人数 6 12 10 a 8 5 （1）表格中a的值为； （2）若该校有1200名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数； （3）学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试都进行10次投篮并以命中次数作为测试成绩）如图所示，你建议选拔哪名同学？为什么？ 18. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示，小球滚动过程中的速度y(m/s)与时间x(s)之间的关系的图象如图②所示． （1）求所在直线的函数表达式； （2）该小球滚动多长时间，速度为？ （3）求小球在整个运动过程中所滚动的路程．（在速度和时间坐标系中，图象与横轴所围成的面积表示路程）． 19. 如图，在中，，现进行如下操作： ①以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径画弧交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点； ④作射线； ⑤以点为圆心，长为半径画弧交射线于点，连接，得四边形． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）顺次连接，，，，得四边形，若，；求四边形的面积． 20. 如图，与相切于点，连接，与相交于点，过点作弦交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 如图1，某超市在天花板上的点处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），为测试监控盲区做了如下实验：小亮站立在摄像头正前方的位置（将小亮视为线段），摄像头的视角上限恰好经过小亮的头顶点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点，若摄像头离地面距离米（垂直于地面所在直线），其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小亮身高米． （1）小亮向摄像头的方向走_______米后，将完全进入摄像头的视野盲区（参考数据：） （2）如图2，为解决摄像头盲区问题，超市打算在平行于直线的天花板上的点处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖（1）中的视野盲区，则点到点的距离至少多少米？（图中所有的点均在同一平面内，参考数据：） 22. 已知y与x满足二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图象上，则 ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； （3）若该函数图象上有两个点，当时，请直接写出p的取值范围． 23. 如图1，在中，，，将三角形绕点顺时针旋转一定角度得到三角形，连接，，两线段所在直线相交于点D，设，请探究的度数及与的数量关系，具体过程如下： （1）【特例感知】如图2，当A，C，三点共线时： ① ； ②若，则 ． （2）【猜想证明】猜想的度数及与的数量关系，并结合图1进行证明． （3）【拓展应用】如图3，已知，在旋转的过程中，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 2026.06 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 下列各数是负无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，，，既不是正数也不是负数， ∴负数有和， ∵是整数，整数属于有理数；是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， ∴是负无理数． 2. 下列图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 3. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 四棱锥 D. 三棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】根据图中几何体的三视图的特征即可作出判断． 【详解】解：由题可知，这个几何体是三棱锥． 4. 《教育部政府门户网站工作年度报表》中显示，2025年“微言教育”视频号、抖音、快手、B站四平台全年发布视频2355条，总播放量13.4亿．数据13.4亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：13.4亿． 5. 某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个大小相同质地均匀的小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额之和小于50元的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵一次性随机摸出两个小球，所有等可能的结果共3种： ①10元和20元，和为元； ②10元和30元，和为元； ③20元和30元，和为元； ∴其中两球金额之和小于元的结果共有种， 因此所求概率为． 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 7. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先用表示出分式方程的解，再根据解是非负数，结合分式有意义时，分母不为的条件，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得：， 移项合并同类项，得：， ∵分式方程的解是非负数，且分式有意义时，分母不为， ∴，且， ∴， 解得且． 8. 在平面直角坐标系中，直角三角板摆放如图所示，，直角顶点与原点重合，点在反比例函数的图象上．若点坐标为，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作轴于，过作轴于，先证，利用得到相似比结合坐标求出点横纵坐标乘积，即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ∴， 已知，则，， ， 解得：，， ． 在上， ． 9. 如图，是半圆的一条弦，以弦为折线将弧折叠后过圆心，的半径为，则圆中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把不规则图形面积转化为规则图形面积，连接，图中阴影部分的面积的面积． 【详解】解：过点作，交于，连接，， ， ， 是的直径， ， ， ， 是等边三角形， ， 弓形面积弓形面积， 阴影部分面积． 故选C． 【点睛】本题考查了折叠问题、扇形的面积．解决本题的关键是把阴影部分的面积转化为的面积． 10. 如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形 中，，下列结论：①若，则；②；③若 的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；④将绕点A逆时针旋转得到，则．以上正确的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据，设，得到，进而得到，求出的值，判定①； 假设成立，结合勾股定理可得出，求出，则当时，成立，结合题干条件即可判断②； 根据的面积是正方形面积的3倍，求出，进而得到，判断③； 旋转得到，进而得到点在以为直径的半圆上，取的中点，连接，得到，判断④． 【详解】解：在中，， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； ∵四个直角三角形全等， ∴， 若成立，则， ∴， 根据勾股定理有， ∴， 解得（负值舍去）， ∴当时，成立， 而题干没有给出这一条件，故②错误； 若的面积是正方形面积的3倍，则：， ∴，即：， ∴或（舍去）， ∴， ∴点F是的三等分点；故③正确； ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， 取的中点，连接，则：，， ∴， ∴， 即：的最大值为；故④错误； 综上，正确的是①③. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解： _______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 12. 在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标是，则点B的对应点D的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标平移中点的变化规律，先由点A及其对应点C的坐标确定平移的方向和距离，再计算点B对应点D的坐标． 【详解】解：点平移后的对应点的坐标为，且， 点向左平移个单位，向上平移个单位得到点， 点的坐标为， 点平移后的对应点的坐标为，即． 13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高h为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥侧面展开图扇形的半径为，圆锥底面圆的半径为，根据弧长公式求出扇形半径，再利用圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长求出，最后根据勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥侧面展开图扇形的半径为，圆锥底面圆的半径为， 由题意得， 解得， ∵圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，用12个以点为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质与相似三角形的性质等知识，解题的关键是利用含角的直角三角形的性质推导，从而求出． 根据相似三角形的性质推导，，从而可知这12个以点为公共顶点的相似三角形都是含角的直角三角形，在中，，，则，同理可得，则，再结合，，即可得解． 【详解】解：由题意可知：， ∴，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点G在x轴的负半轴上， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到两点的距离之和的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先由面积条件确定动点的运动轨迹是一条定直线，再用将军饮马轴对称求最短路径，作对称点后利用勾股定理求最小值． 【详解】解：在矩形中，，， ， ， 又， ， ， 即点到直线的距离恒为， ， 在矩形内平行于、距高为的定直线上， 作点关于直线的对称点，连接， 由轴对称：， ， 两点之间线段最短：、、共线时，最小值， ，到直线距离，则到直线距离也为， 到的垂直距离， 在中：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简求值 （1）计算： （2）先化简： ，再从，0，1中选择一个合适的数作为a的值代入求值 【答案】（1） （2），当时，原式 【解析】 【分析】（1）利用负整数指数幂，立方根，立方运算即可； （2）先进行分式的化简，再根据原式可排除，则代入求值即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 （2）解： ∵， ∴ 把代入原式． 17. 某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项，为了解学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下不完整的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操 人数 6 12 10 a 8 5 （1）表格中a的值为； （2）若该校有1200名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数； （3）学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试都进行10次投篮并以命中次数作为测试成绩）如图所示，你建议选拔哪名同学？为什么？ 【答案】（1）9 （2）144人 （3）选择乙，理由如下： 由图知，，， ， 乙的六周成绩呈上升趋势，一直在进步，说明乙的潜力大， 选拔乙同学（甲的成绩更稳定，选甲．言之有理即可）（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）利用样本总数50减去其余项目人数； （2）用样本中足球占比全校总人数做样本估计总体； （3）分别计算甲、乙平均分，根据其他统计数据择优推荐． 【小问1详解】 解：抽样一共50名学生：． 【小问2详解】 解：样本里足球6人，占比：， 全校1200人： （人）， 估计参加足球活动有144人． 【小问3详解】 略 18. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示，小球滚动过程中的速度y(m/s)与时间x(s)之间的关系的图象如图②所示． （1）求所在直线的函数表达式； （2）该小球滚动多长时间，速度为？ （3）求小球在整个运动过程中所滚动的路程．（在速度和时间坐标系中，图象与横轴所围成的面积表示路程）． 【答案】（1） （2）1.5s或3.25s （3）14m 【解析】 【分析】（1）先求出解析式得到点坐标，再用待定系数法求解析式； （2）分斜面加速（段）、水平面减速（段）两段分别列方程求时间； （3）根据题意：速度和时间图像与横轴围成三角形面积总路程，用三角形面积公式计算． 【小问1详解】 解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为， 把，代入得， 解得， 所在直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：所在直线的函数表达式为， 当时，， 解得， 所在直线的函数表达式为； 依题意，当时，， 解得， 小球在滚动过程中速度为时所经历的时间为 或 ． 【小问3详解】 解：点坐标为， 两条函数表达式图象与横轴围成的三角形面积为， 小球在整个运动过程中所滚动的路程为． 19. 如图，在中，，现进行如下操作： ①以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径画弧交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点； ④作射线； ⑤以点为圆心，长为半径画弧交射线于点，连接，得四边形． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）顺次连接，，，，得四边形，若，；求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，理由如下： 由作图得，，， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图得到角相等、边长相等，先证得出平行四边形，再结合邻边相等判定菱形； （2）结合菱形性质、线段长度证四边形是平行四边形，再推出为菱形，最后用面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， ， 由作图得，， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 平行四边形为菱形． ， ， 为等边三角形， ， 又， ， 在中，， 即：． ， ． 20. 如图，与相切于点，连接，与相交于点，过点作弦交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ，且为半径， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）要证为切线，只需证，通过全等证； （2）设，用相似三角形列方程求解，半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， 解得， ， ． 21. 如图1，某超市在天花板上的点处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），为测试监控盲区做了如下实验：小亮站立在摄像头正前方的位置（将小亮视为线段），摄像头的视角上限恰好经过小亮的头顶点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点，若摄像头离地面距离米（垂直于地面所在直线），其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小亮身高米． （1）小亮向摄像头的方向走_______米后，将完全进入摄像头的视野盲区（参考数据：） （2）如图2，为解决摄像头盲区问题，超市打算在平行于直线的天花板上的点处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖（1）中的视野盲区，则点到点的距离至少多少米？（图中所有的点均在同一平面内，参考数据：） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）先利用直角三角形边角关系算出，长度，两者作差得到小亮需要向前走的距离； （2）由得内错角，在用内角和求角，再结合解最小值． 【小问1详解】 解：已知：，，， ， ， ， ， 在Rt中：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：过作于， ， ， ， ， 又, 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 至少米． 22. 已知y与x满足二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图象上，则 ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； （3）若该函数图象上有两个点，当时，请直接写出p的取值范围． 【答案】（1） （2）证明： ∵， ∴， ∴， ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的交点 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求解； （2）通过判别式判断二次函数图像与轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入， 得：； 解得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴二次函数图象开口向上， ∵， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴， 即， ∴或． 23. 如图1，在中，，，将三角形绕点顺时针旋转一定角度得到三角形，连接，，两线段所在直线相交于点D，设，请探究的度数及与的数量关系，具体过程如下： （1）【特例感知】如图2，当A，C，三点共线时： ① ； ②若，则 ． （2）【猜想证明】猜想的度数及与的数量关系，并结合图1进行证明． （3）【拓展应用】如图3，已知，在旋转的过程中，若，求线段的长． 【答案】（1）①；② （2）解：猜想：，．理由如下： 如图，分别过点，作的垂线，垂足为和， ， 根据旋转可得，，， ，， ， ， ， 又， ． ． 又， ． ． 设， 由旋转可知，，． ． ，． 是的一个外角， ， 故的度数为． （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）①在中，，，得出是等腰直角三角形，则 ， 由旋转性质得 ，，，，求出，在等腰中，求出，在等腰中，求出，则，设与交于点，，求出 ，即可得； ②由①可得，，得出，，从而求出，即可得出，则，结合，即可求出； （2）如图，分别过点A，作的垂线，垂足为Q和P，证明，得出，再证明，得出．设，由旋转可知，，，则．即可得，．根据三角形外角的性质得出即可解答； （3）连接，过作于点，根据，，得出，，则，根据勾股定理求出，则，勾股定理得出，证明，求出，得出，即可得．再分为①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时两种情况，分别画图求解即可． 【小问1详解】 解：①在中，，， 是等腰直角三角形， ， 绕点旋转得到， ，，，， 三点共线， ， ， 在等腰中，， ， 在等腰中，， ， ， 设与交于点，（对顶角相等）， ， 是相交形成的锐角， ． ②由①可得，， ，， ， ， ， ， 即， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过作于点， ，， ，， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． ①当点在线段上时，如下图． 则． ②当点在线段的延长线上时，如下图． 则． 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $