精品解析：2025年山东省潍坊中考数学三模试题

2025年初中学业水平调研自测 数 学 试 题 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第I卷（选择题 共44分） 一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，每题只有一个选项符合题意，共计24分． 1. 2025年世界运动会将于8月7日至8月17日在四川省成都市举行，是中国第二次举办世界运动会．下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解. 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，A是轴对称图形， 故选：A ． 2. 紫砂壶，被誉为中国非物质文化遗产的瑰宝，以其独特的成型工艺和多样的造型式样著称，陶器所散发的古朴典雅之色更是引人入胜．如图所展示的是一把精湛工艺紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是此紫砂壶的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图． 【详解】解：根据俯视图的定义，选项D中的图形符合题意， 故选：D． 3. 如图，实数，，在数轴上的对应点分别是，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴，相反数，掌握数轴，相反数的性质是解题的关键．根据数轴先得出，根据有理数加法的法则和数轴，可对选项分析作出判断． 【详解】解：，互为相反数， ， 由数轴可得：， ，，，，故A、C、D错误，B正确， 故选：B． 4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 则直线，随着的增大而减小，且直线与轴交于正半轴， 所以，直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限， 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，如果将线段绕点逆时针旋转至，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，含度角的直角三角形的性质以及解直角三角形．正确的作出辅助线是解题的关键．根据已知得出，，根据旋转的性质得出是等边三角形，进而可得，则，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴即， ∴ 故选：B． 6. 新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”．如：的“图象数”为．若点，在“图象数”为的二次函数的图象上，且，，则当时，的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得“图象数”为的二次函数的解析式为，根据，得到对称轴为直线，当时，得到，根据，得到求得或，根据，得到抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大，当时，结合，得，解得或；当时，结合，得，解得或；解答即可． 【详解】解：根据题意，得“图象数”为的二次函数的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线， 当时，得到， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大， 当时， ∵，得， 解得或； 当时， ∵，得， 解得或； 综上所述，或， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的新定义，抛物线的增减性，对称轴，绝对值的化简，解不等式，熟练掌握定义，增减性是解题的关键． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，每题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选得0分，共计20分． 7. 下列运算中，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：AC 8. 下列命题错误的是（ ） A. 任意三点确定一个圆 B. 三角形的外心都在三角形的外部 C. 同弧或等弧所对的圆周角相等 D. 相等的圆周角所对的弧相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识点，包括圆的确定条件、外心、弧弦角等的关系，熟记相关结论即可． 【详解】解：A、经过不在同一条直线上的三点可确定一个圆，故A错误，符合题意； B、三角形的外心可能在三角形的外部，也可能在内部，还可能在边上，故B错误，符合题意； C、同弧或等弧所对的圆周角相等，故C正确，不符合题意； D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D错误，符合题意． 故选：ABD． 9. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限．该函数图象经过，两点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键． 根据二次函数的图象及性质可得，，，由处的函数值可判断B选项；由处函数值可判断A选项；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断C选项，运用数形结合思想，则，且，则或，即可作答． 【详解】解：二次函数开口向下，则， 二次函数对称轴为，则， ∴，， ∴， ∵过点， ∴由对称可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时， ∴，故A选项符合题意； ∵时， ∴， 把代入得：，故B选项不符合题意； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，， 当时， ∵二次函数图象开口向下， ∴，故C选项符合题意． ∵，且， ∴， 如图： 画出两条直线， 观察图象得或，故D选项不符合题意； 故选：AC． 10. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．则下列结论中正确的是（　　） A. ∠BAD＝∠ABC B. GP＝GD C. 点P是△ACQ的外心 D. AP•AD＝CQ•CB 【答案】BCD 【解析】 【分析】A错误，假设成立，推出矛盾即可； B正确．想办法证明即可； C正确．想办法证明即可； D正确．证明，可得，证明，可得，证明，可得，由此即可解决问题； 【详解】解：A错误，假设，则， ， ，显然不可能，故A错误． B正确．连接． 是切线， ， ， ， ， ，， ， ，故B正确． C正确．， ， ， ， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， 点是的外心．故C正确． D正确．连接． ，， ， ， ， ，， ， 可得， ，， ，可得， ．故D正确， 故选：BCD． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确现在在相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 第II卷（非选择题 共106分） 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，直接写出最终结果，共计16分． 11. 智能光计算芯片据报道，清华大学研究团队首创了一种干涉——衍射分布式广度光计算架构，并研制出高算力、高能效的智能光计算芯片，可实现每秒每焦耳160万亿次运算的通用智能计算，为大模型通用智能计算探索了新路径．数据160万亿用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：160万亿即16000000000000元 ， 故答案为： 12. 为了解区内赋能教学实践的情况，从名九年级学生中，随机抽取名学生进行了关于辅助教学工具使用满意度的调查，调查结果如下： 满意度 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意 频数 频率 根据统计表中的信息，估计区内九年级学生中，选择“满意”的人数是______． 【答案】人 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，先求得样本中选择“满意”的人数的频率，然后用样本估计总体即可．解题的关键是掌握：频率等于频数除以数据总数，各组的频率之和等于． 【详解】解：选择“不满意”的人数的频率为：， 选择“比较满意”的人数的频率为：， 选择“满意”的人数的频率为：， ∴（人）， ∴选择“满意”人数是人． 故答案为：人． 13. 已知方程的两根为，求的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系可得，则，根据一元二次方程的解的定义可得，则可把所求式子变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵方程两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案：． 14. 如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先判断出点E在以为直径的上，作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，此时，最短，因为，所以最小值为，利用勾股定理求出长即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴点E在以为直径的上， ∵点E在边长为2的正方形内， ∴点E在以直径上方的半圆弧上， 作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，如图， 此时，最短， ∵边长为2的正方形， ∴，， ∴， 由对称的性质知：，， ∴， ∴最小，最小值为， ∵点F是边的中点，点F关于直线的对称点， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考了查正方形的性质，圆周角定理的推论，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理．正确作出辅助线，得出最小值为是解题的关键． 四、解答题：本题共8小题，每小题分值标注在题号后，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共计90分． 15. （1）解不等式组． （2）先化简，再求值．，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组以及分式化简求值，正切值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别解出每个不等式，再取公共解集，即可作答． （2）先通分括号内，再化简，得，再化简，代入即可作答． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， （2）解： ∵ ∴ ∴原式 16. 如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形矩形； 【小问2详解】 解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 17. 某市中考改革后，将地理、生物两个科目纳入等级考试，等级分为，，，四个等级．规定：这两科考试成绩均达到等级及以上可以报考省级示范性高中：两科考试成绩均达到等级及以上可以报考一般普通高中．某校为了解本届八年级学生地理、生物的成绩情况，组织了这两科目的模拟考试，并从八年级学生中随机抽取了名学生的两科考试成绩制作了如下的统计图．根据这些信息，解答下列问题： （1）被抽取的名学生中，某学生的生物模拟考试成绩为分，则该生的地理模拟考试成绩为________分； （2）根据历届成绩分析，地理成绩达分及以上能评定为等级及以上，生物成绩达分及以上能评定为等级及以上．该校本届八年级共有学生人，请估计该校能报考省级示范性高中的学生人数； （3）小沐同学在本次模拟考试中两科成绩均高于分，爸爸想奖励带她去看两场电影，但是目前只有四部电影上映（依次记为，，，），于是爸爸将四张完全相同的卡片分别写上，，，，背面朝上洗匀放好，要求小沐从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求小沐抽到的两张卡片恰好是和的概率． 【答案】（1） （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据折线统计图可得答案； （2）根据折线统计图可得地理成绩达分及以上同时生物成绩达分及以上有人，用乘以，可得答案； （3）通过列表可得：一共有种等可能的结果，其中抽到两张卡片恰好是和的可能有种，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，第4名同学的生物模拟考试成绩为分，则该生的地理模拟考试成绩为分， 故答案为：； 【小问2详解】 从八年级学生中随机抽取的名学生的两科考试成绩中，地理成绩达分及以上同时生物成绩达分及以上有人， ∴（人）， 答：该校能报考省级示范性高中的学生人数约为人； 【小问3详解】 列表如下： 第二张 第一张 一共有种等可能的结果，其中抽到两张卡片恰好是和的可能有种， ∴（两张卡片恰好是和）． 答：小沐抽到的两张卡片恰好是和的概率为． 【点睛】本题考查折线统计图，样本估计总体，列表法计算概率等知识点．解题的关键是掌握概率的计算公式：满足要求的结果数与一次试验的所有可能结果数之比． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴交于点． （1）求k，m，n的值； （2）点P在x轴上，，轴，交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过作轴于点，首先得到，求出，利用三线合一得到，然后求出，然后理由三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，将代入得， 解得 ∴一次函数 将代入得，； ∴ ∴将代入得， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过作轴于点， ∵ ∴ ∵， ∴ 将代入 ∴ ∴ ． 19. 在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． （1）求斜坡的坡比； （2）如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 【答案】（1）斜坡的坡比为； （2）的长米． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解； （2）过点作交于点，作交延长线于点，根据题意可知，解直角三角形得到米，进而得到米，根据坡比得到，在中，示得米，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作，交于点，如图： ， ∴， ∴四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ∴斜坡的坡比为； 【小问2详解】 解：过点作交于点，作交延长线于点，如图： 根据题意可知： ， 在中，， 米， 米， 由， ， ， 在中，米， 米， ∴的长米． 20. 如图，是的直径，C，G是上的点，过点的直线于点，交的延长线于点与交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的度数； （3）连接，在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确的作出辅助线、构造相似三角形和直角三角形是解答本题的关键． （1）连接，由，得到，则可证明，可得结合即可证明； （2）由可得，即，，进一步得到，最后解直角三角形即可得到答案； （3）如图2，过A作于H，解直角三角形得到，，，最后在中应用勾股定理即可求得． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，过A作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 21. 【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m． 如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中． 【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系? 【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题． 【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）． （1）请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度； （2）某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟； （3）如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上? 【答案】（1）①；②；③63m （2）不超过6分钟 （3）光源应放在和之间 【解析】 【分析】（1）①作轴于D点，由题意得，根据求出S的值，即可得的长，由此可得B点的坐标； ②设，将B点坐标代入，求出a的值，即可得抛物线的表达式； ③设最长的吊杆为，由题意得，代入表达式中求出y的值，即可得的长，即吊杆的长． （2）作轴，交抛物线于M、N两点，则，求出M、N两点的横坐标，进而可得的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果． （3）设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点，先求出直线的表达式为，由可知直线与直线的k相同，设直线的表达式为，联立抛物线和直线的表达式可得，由，求出m的值为，由此可得直线的表达式为，求出G点的坐标即可得到答案． 【小问1详解】 ①如图，作轴于D点， 由题意得， ， ， ， ， ∴点B的坐标为； ②设， 把代入得， 解得， ∴y与x的函数解析式为：； ③如图，设最长的吊杆为EF， ∵吊杆间距10m， ∴， ， 由得，时，， ， ∴最长的吊杆的长度约为63m． 【小问2详解】 如图，作轴，交抛物线于M、N两点， 由题意知，代入抛物线解析式得， 解得，， ，， ， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间为：， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟． 【小问3详解】 设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点， 设直线的表达式为，则 ， 解得， ∴直线的表达式为：． ， ∴直线与直线的k相同， 设直线的表达式为， 联立， 得， 整理得， ∵直线与抛物线只有一个交点， ， 解得， ∴直线的表达式为． 当时，， 解得， ∴， ∴光源应放在和之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，熟练掌握求二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 22. 【问题提出】用n个圆最多能把平面分成几个区域？ 【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论． 探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域． 探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域． 探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域． （1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？ 仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图． （2）【一般结论】用n个圆最多能把平面分成几个区域？ 为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成______________部分，从而增加___________________个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成__________________个区域．（将结果进行化简） （3）【结论应用】 ①用10个圆最多能把平面分成_________个区域； ②用___________个圆最多能把平面分成422个区域． 【答案】（1）在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成14个区域；（2）；；；（3）①92；②21 【解析】 【分析】（1）在探究三基础上，新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成部分，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3个区域； （2）为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（2n-2）部分，从而增加（2n-2）个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2(n-1)区域求和即可; （3）①用n=10，代入规律，求代数式的值即可； ②设n个圆最多能把平面分成422个区域，利用规律构造方程，可得方程解方程即可． 【详解】解：（1）在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3=14个区域； （2）为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（2n-2）部分，从而增加（2n-2）个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成区域数为 2+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2(n-1)， =2+2(1+2+3+…+n-1)， =2+2， ， =; 故答案为：（2n-2）；（2n-2）；； （3）①用10个圆，即n=10，； ②设n个圆最多能把平面分成422个区域， 可得方程， 整理得， 因式分解得， 解得或（舍去）， ∴用21个圆最多能把平面分成422个区域． 故答案为：21． 【点睛】本题考查图形分割规律探究问题，圆与圆的位置关系，利用新增圆被原来每个圆都分成两个交点，其交点数就是新增区域数，发现规律后列式求和，利用规律解决问题，涉及数列n项和公式，代数式求值，解一元二次方程，仔细观察图形，掌握所学知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中学业水平调研自测 数 学 试 题 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第I卷（选择题 共44分） 一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，每题只有一个选项符合题意，共计24分． 1. 2025年世界运动会将于8月7日至8月17日在四川省成都市举行，是中国第二次举办世界运动会．下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 紫砂壶，被誉为中国非物质文化遗产的瑰宝，以其独特的成型工艺和多样的造型式样著称，陶器所散发的古朴典雅之色更是引人入胜．如图所展示的是一把精湛工艺紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是此紫砂壶的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，实数，，在数轴上的对应点分别是，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，如果将线段绕点逆时针旋转至，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”．如：的“图象数”为．若点，在“图象数”为的二次函数的图象上，且，，则当时，的取值范围为（ ） A B. C. 或 D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，每题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选得0分，共计20分． 7. 下列运算中，正确有（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题错误的是（ ） A. 任意三点确定一个圆 B. 三角形的外心都在三角形的外部 C. 同弧或等弧所对的圆周角相等 D. 相等的圆周角所对的弧相等 9. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限．该函数图象经过，两点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若，且，则 10. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．则下列结论中正确的是（　　） A. ∠BAD＝∠ABC B. GP＝GD C. 点P是△ACQ的外心 D. AP•AD＝CQ•CB 第II卷（非选择题 共106分） 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，直接写出最终结果，共计16分． 11. 智能光计算芯片据报道，清华大学研究团队首创了一种干涉——衍射分布式广度光计算架构，并研制出高算力、高能效的智能光计算芯片，可实现每秒每焦耳160万亿次运算的通用智能计算，为大模型通用智能计算探索了新路径．数据160万亿用科学记数法可表示为________． 12. 为了解区内赋能教学实践的情况，从名九年级学生中，随机抽取名学生进行了关于辅助教学工具使用满意度的调查，调查结果如下： 满意度 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意 频数 频率 根据统计表中的信息，估计区内九年级学生中，选择“满意”的人数是______． 13. 已知方程的两根为，求的值为________． 14. 如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共8小题，每小题分值标注在题号后，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共计90分． 15 （1）解不等式组． （2）先化简，再求值．，其中． 16. 如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的度数． 17. 某市中考改革后，将地理、生物两个科目纳入等级考试，等级分为，，，四个等级．规定：这两科考试成绩均达到等级及以上可以报考省级示范性高中：两科考试成绩均达到等级及以上可以报考一般普通高中．某校为了解本届八年级学生地理、生物的成绩情况，组织了这两科目的模拟考试，并从八年级学生中随机抽取了名学生的两科考试成绩制作了如下的统计图．根据这些信息，解答下列问题： （1）被抽取的名学生中，某学生的生物模拟考试成绩为分，则该生的地理模拟考试成绩为________分； （2）根据历届成绩分析，地理成绩达分及以上能评定为等级及以上，生物成绩达分及以上能评定为等级及以上．该校本届八年级共有学生人，请估计该校能报考省级示范性高中学生人数； （3）小沐同学在本次模拟考试中两科成绩均高于分，爸爸想奖励带她去看两场电影，但是目前只有四部电影上映（依次记为，，，），于是爸爸将四张完全相同的卡片分别写上，，，，背面朝上洗匀放好，要求小沐从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求小沐抽到的两张卡片恰好是和的概率． 18. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴交于点． （1）求k，m，n的值； （2）点P在x轴上，，轴，交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积． 19. 在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． （1）求斜坡的坡比； （2）如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 20. 如图，是的直径，C，G是上的点，过点的直线于点，交的延长线于点与交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的度数； （3）连接，在（2）的条件下，若，求的长． 21. 【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m． 如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中． 【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系? 【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题． 【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）． （1）请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度； （2）某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟； （3）如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上? 22. 【问题提出】用n个圆最多能把平面分成几个区域？ 【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论． 探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域． 探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域． 探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域． （1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？ 仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图． （2）【一般结论】用n个圆最多能把平面分成几个区域？ 为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成______________部分，从而增加___________________个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成__________________个区域．（将结果进行化简） （3）【结论应用】 ①用10个圆最多能把平面分成_________个区域； ②用___________个圆最多能把平面分成422个区域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$