专题06 定义 命题 证明（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材苏科版

专题06 定义 命题 证明（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 定义 题型02 判断是否是命题 题型03 写出命题的题设与结论 题型04 判断命题真假 题型05 举例说明假命题 题型06 写出命题的逆命题 题型07 写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型08 已知证明过程填写理论依据 题型09 以代数为背景的推理与论证 题型10 定理与证明 题型11 互逆定理 题型12 证明大题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 定义 熟记概念定义，分清判定与性质，依托定义辨析题型，夯实解题根基。 基础考点，2分左右 写出命题的题设与结论 分清命题题设和结论，熟练改写句式，依托定义判断命题真假。 常考点，一般在填空题考查，2分左右 真假命题 掌握真假命题判定方法，能举反例辨伪，结合定义验证命题正误。 常考点，一般在小题考查，2分左右 互逆命题 掌握互逆命题变换规则，熟练互换题设结论，区分原命题与逆命题真假关系。 常考点，一般在小题考查，2分左右 证明 掌握证明书写格式，依据定理定义推理，规范步骤严谨推导几何结论。 核心考查点，一般解答题考查，5分左右 定理 熟记常用定理内容，活用定理进行判定推理，规范用于几何证明解题。 基础考点，小题考查，2分左右 知识点01 定义 1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义 如“两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；“在一个方 程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是“一元一次方程”的定义 2. 常见的定义： （1） 正整数、负整数、零统称为整数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．乘积是1的两数互为倒数． （2） 数或字母的积组成的式子叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式，单项式和多项式统称为整式． （3）含有未知数的等式叫作方程；只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （5）用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （6）如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （7）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （8）两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线；在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线： （9）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （10）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．三条边都相等的三角形叫做等边三角形.有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． 知识点02 命题 判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 注意： 1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项. 2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论， 知识点03 真假命题 1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 2.说明假命题的方法： 要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例. 知识点04 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题. 注意： (1)互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。 (2)逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。 知识点05 证明与定理 1.证明 根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明 2.定理 经过证明的真命题称为定理，定理一见是真命题，真命题不一是是足理 3.证明与图形有关的命题的一般步骤 (1)根据题意，画出图形： (2)根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)写出证明过程. 4.证明命题的方法 证明一个命题时，可从结论出发，先探求出使结论成立时所需的条件，然后结合图形及巳知 条件，根据基本事实和常用的定理及推论逐步得出所需的条件，从而完成证明过程， 题型一 定义 1．下列关于定义、命题、定理表述错误的个数是（　　） ①“你饿了吗?”不是命题； ②“过一点作已知直线的垂线”，是真命题， ③“对顶角相等”，是定理； ④“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴”，是定义； ⑤“两点确定一条直线”，是基本事实． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：∵①“你饿了吗?”是疑问句，没有对事情做出判断，不是命题，因此①的表述正确； ∵②“过一点作已知直线的垂线”是作图语句，没有对事情做出判断，不是命题，因此“它是真命题”的表述错误； ∵③“对顶角相等”是经过推理证明的真命题，属于定理，因此③的表述正确； ∵④“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴”是数轴的定义，因此④的表述正确； ∵⑤“两点确定一条直线”是经过实践验证的基本事实，因此⑤的表述正确； ∴综上，表述错误的个数为个． 2．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【详解】解：选项A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； 选项B、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 选项C、垂线段最短吗，不是定义，不符合题意； 选项D、含有未知数的等式叫做方程，是定义，符合题意． 3．下列语句中，属于定义的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 【答案】D 【分析】定义是对某一名称或术语的含义作出明确规定的语句，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：、两直线平行，同位角相等是平行线的性质定理，不是定义； 、同角的余角相等是经过证明的定理，不是定义； 、垂线段最短是基本事实，不是定义； 、有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，对直角三角形的含义作出了明确规定，属于定义． 4．下列语句中不是定义的是（    ） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 【答案】C 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：“只有符号不同的两个数互为相反数”，描述了相反数的定义，不符合题意； 对于选项B：“大于0的数叫作正数”，描述了正数的定义，不符合题意； 对于选项C：“对顶角相等”是命题，不是定义，符合题意； 对于选项D：“几个单项式的和叫作多项式”，描述了多项式的定义，不符合题意． 题型二 判断是否是命题 5．下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 【答案】D 【分析】命题是对某一事件作出判断的语句，据此对各选项逐一判断即可. 【详解】解：A、赶紧写作业！是祈使句，未对事件作出判断，不是命题； B、你喜欢陇南吗？是疑问句，未对事件作出判断，不是命题； C、画一条端点为A的射线，是操作指令，未对事件作出判断，不是命题； D、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对该事件作出了明确判断，是命题. 6．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 【答案】C 【分析】根据命题、定理的定义、基本事实的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．命题包含真命题和假命题，因此命题不一定是定理，定理是经过证明的真命题，因此定理一定是命题，故A选项说法正确； B．定理是被证明为正确的命题，即定理不可能是假命题，故B选项说法正确； C．只有经过推理证明、可作为推理依据的真命题才是定理，并不是所有真命题都是定理，故C选项说法错误； D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是初中几何公认的基本事实，故D选项说法正确． 7．下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简，其中不是命题的是____________． 【答案】④ 【详解】解：根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题， ①对墙的颜色作出判断，是命题； ②对的运算结果作出判断，是命题； ③对的取值性质作出判断，是命题； ④仅为化简操作的指令，未对任何事情作出判断，不是命题． 8．“垂线段最短”有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理，其中正确的说法是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了命题与定理，正确把握命题与定理的定义是解题关键．直接利用命题以及定理的定义分析得出即可． 【详解】解：由命题的定义可知：“垂线段最短”是命题，所以①正确， 由“垂线段最短”是定理，再结合所有的定理都是真命题可得②错误，③④正确． 故答案为：①③④． 题型三 写出命题的题设与结论 9．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【答案】D 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 【详解】解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 10．命题分为题设和结论两部分，把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为__________． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论． 【详解】解：题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， 故写成“如果...那么...”的形式是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 11．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成：如果______，那么______，这个命题的条件是______，结论______； (2)这个命题是______（填真命题或假命题），请说明理由． 【答案】(1)两个数的绝对值相等；这两个数也相等；两个数的绝对值相等；这两个数也相等 (2)假命题，见解析 【分析】（1）根据命题改写的规则，将原命题拆分为“如果+条件，那么+结论”的形式，明确条件和结论． （2）通过举反例的方法，判断命题的真假． 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等． 条件是：两个数的绝对值相等． 结论是：这两个数相等． （2）解：该命题是假命题． 反例：虽然，但是， 故原命题为假命题． 12．如图，给出如下三个关系：①；②；③．选择其中两个作为条件，剩余一个作为结论，组成一个真命题． (1)你组合的命题条件为_____，结论为__________；（填字号即可） (2)请你证明这个命题． 【答案】(1)①②，③或①③，②或②③，① (2)见解析 【分析】（1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的判定和性质，即可证得． 【详解】（1）解：组合的命题为条件①②；结论③或条件①③；结论②或条件②③；结论① （2）解：条件①②；结论③，证明如下： ， ， ， ， ； 条件①③；结论②，证明如下： ， ， ， ， ； 条件②③；结论①，证明如下： ， ， ； ， ． 题型四 判断命题真假 13．下列命题中，是真命题的是(     ) A．内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】分别根据平行线的性质，对顶角的含义，补角的定义，垂线的定义对选项依次判断即可． 【详解】解： A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； C、互补的两个角可以都是直角，原命题是假命题，不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意， 14．下列命题是真命题的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】利用平行线的性质和平行公理以及垂线的性质和定义等，逐项进行判断． 【详解】解：选项A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂直的基本性质，是真命题； 选项B：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补，原命题错误，是假命题； 选项C：只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，原命题未说明两条直线平行，错误，是假命题； 选项D：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，则不存在符合要求的直线，原命题错误，是假命题． 15．命题“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是_________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【详解】解：根据平行公理可知，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，因此该命题是真命题. 16．①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤同位角相等；其中假命题有______个． 【答案】 【分析】判定一个命题是真命题通常需要严格的证明，但判定一个命题是假命题，通常只需要举出一个反例． 【详解】解：①平行于同一直线的两条直线平行，是真命题． ②缺少“在同一平面内”的前提，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，是假命题． ③缺少“过直线外一点”的前提，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，是假命题． ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题． ⑤“同位角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，不一定成立，是假命题． 因此假命题共有个． 题型五 举例说明假命题 17．请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，只需举出一个负数即可说明命题为假命题. 【详解】解：当时，，，此时； 因此命题“”是假命题， 故（答案不唯一）. 18．对于命题“任何一个角的补角都大于这个角”，请你举出一个反例说明这个命题是假命题，这个角的度数可以是________． 【答案】 (答案不唯一，大于等于即可) 【分析】要说明原命题为假命题，只需找到一个角，使得它的补角不大于这个角即可，根据补角的定义可知，只要选取的角大于等于，即可满足反例的要求． 【详解】解：根据补角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为补角， 当这个角的度数为时， 它的补角为：， ，即该角的补角小于这个角， “任何一个角的补角都大于这个角”是假命题． 19．用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝____，b＝____，c＝____． 【答案】 2 1 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了假命题，举反例，弄清题意是解题的关键； 假设a，b为正数，c为负数，可知该命题是假命题． 【详解】解：当时，，则， 所以“如果，那么”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 20．定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． (1)验证：判断数对是否为异差数对； (2)推理证明：当时，数对一定是异差数对； (3)判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 【答案】(1)数对是异差数对． (2)见解析． (3)该命题是假命题．反例不唯一，例如异差数对满足条件，但，不满足． 【分析】（1）代入数值计算，根据异差数对的定义验证判断即可． （2）由得出，进而得出，即可证明． （3）由（2）可知原命题不成立，然后举反例即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴数对是异差数对． （2）证明：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 即数对一定是异差数对． （3）解：该命题是假命题． 由（2）的结论可知，当时，数对也可以是异差数对，因此原命题不成立． 举反例：数对是异差数对，其中，，满足是异差数对，但，不满足，原命题是假命题． 题型六 写出命题的逆命题 21．如果，那么 的逆命题为_____________________ 【答案】 如果，那么 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“如果，那么”中，条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：如果，那么． 22．命题“若，那么”的逆命题是______． 【答案】若，那么 【分析】交换原命题的条件与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“若，则”的条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：若，则. 23．如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：∵，， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴ （ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 写出本题所用到的互逆命题： ． 【答案】见详解 【分析】利用平行线的性质和等量代换可得出结论． 【详解】证明：∵，， 又∵（已知）， ∴（等角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 写出本题所用到的互逆命题： 内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 ． 24．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 【答案】(1)如果，那么 (2)相等的两个角是同一个角的余角 (3)如果，那么 (4)有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题的概念是解决本题的关键． （1）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （2）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （3）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （4）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解． 【详解】（1）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角； （3）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 题型七 写出一个命题的已知、求证及证明过程 25．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 26．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 27．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 28．如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一） 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得 【详解】解：已知①②，求证∶③， 证明∶∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为∶①②；③． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、证明以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 题型八 已知证明过程填写理论依据 29．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 30．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 31．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 32．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 题型九 以代数为背景的推理与论证 33．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 34．为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．先根据甲乙的总得分与判断的对错数相等推断出第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，进而根据丙的判断可得这6道题目的正确答案是：，进而得出丁的分数． 【详解】解：知识测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案，不难发现，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”， 所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确， 所以这6道题目的正确答案是：， 所以丁做对了3道，得了3分， 故选：D． 35．张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案． 【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张蓝牌， 则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束． 故张浩手中最后有银牌：（张）． 故选：D． 36．长沙市某中学啦啦操队，其参赛道具于花分别装在、、三个纸箱里，不知其数，现对三个纸箱的手花进行3次调整：第一次，箱不动，在、两箱中的一箱中取出5束手花放在另一箱；第二次，箱不动，在、两箱中的一箱取出7束放在另一箱；第三次，箱不动，在、两箱中的一箱取出9束放在另一箱．经过三次调整后，、、三个纸箱各有手花10束、10束、10束，则原来箱最多有（    ）束手花． A．5 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】由最后的结果向前推理，可得答案． 【详解】解：要使原来C箱最多，根据题意得： ∵第三次调整后，A箱有10束，B箱有10束，C箱有10束， ∴第二次调整后，A箱有10束，B箱有（束），C箱有（束）， ∴第一次调整后，A箱有（束），B箱有1束，C箱有（束）， ∴原来C箱有12束； 故选：C． 【点睛】此题考查了逆向思维解应用题，解题的关键是从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解即可． 题型十 定理与证明 37．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 【答案】D 【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题． 【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确； 选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确； 选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确； 选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误． 故选：D． 38．下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与逆命题的基本概念．命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此所有命题都有逆命题．但定理的逆命题不一定成立，真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题不一定为假． 【详解】解：A、任何命题都可以通过交换条件和结论得到逆命题，即所有的命题都有逆命题，选项正确； B、定理的逆命题不一定为真，如“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立，即不是所有定理都有逆定理，选项错误； C、真命题的逆命题可能为假，如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假，选项错误； D、假命题的逆命题可能为真，如“若两个角相等，则它们是对顶角”的逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真，选项错误； 故选：A． 39．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导． 【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明； 选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理； 选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理； 选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理； 选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理． 故选：D． 40．下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 题型十一 互逆定理 41．定理“如果，那么”的逆定理是：_________． 【答案】 如果 ，那么 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换得到逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”， ∵“如果，那么”是真命题， ∴定理“如果，那么”的逆定理是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 42．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是_________三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了写出原定理的逆定理．原定理的逆定理是通过交换条件和结论得到的，因此逆定理的结论是原定理的条件，即三角形是等腰三角形． 【详解】解：定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是等腰三角形． 如图，三角形，设为底边上的高和中线． 由于是高，则， ∴； 由于是中线，则． 在和中， ， 因此，即三角形是等腰三角形． 故答案为：等腰． 43．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 44．下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 【答案】(1)说法错误，理由见解析 (2)说法正确，理由见解析 (3)说法错误，理由见解析 (4)说法错误，理由见解析 【分析】利用逆定理、逆命题的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：说法错误，理由如下： 每个定理不一定有逆定理，若一个定理有逆定理，那么它的逆命题是真命题； （2）解：说法正确，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （3）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （4）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题，原命题为真命题，但是逆命题不一定是真命题，例如：原命题为“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大． 题型十二 证明大题 45．已知：如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）： ①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题； ②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题． 【答案】(1)见解析 (2)如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线相互平行 (3)①真；②假 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、判断命题的真假、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，则，然后根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据（1）证明直接写出结论即可； （3）①、②类似（1）判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分． ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行； （3）解：①如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ∴两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行是真命题． 故答案为：真． ②如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互垂直，则原命题是假命题． 故答案为：假． 46．（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（）；（）点在内部时，，则；是真命题；证明见解析；（），理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题真假，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则有，所以，，然后利用角度和差即可求证； （）过作，证明即可； （）设交于，过作，则有，所以，，，，然后利用角度和差即可求解． 【详解】解：（）过作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （）（）中命题的题设和结论互换后的命题是：点在内部时，，则； 互换后的命题是真命题，理由如下： 过作，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （），理由如下： 设交于，过作，如图： ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． 47．“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2)；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等 (3)错误，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、命题与定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）利用平行线的性质以及等量代换即可解答； （3）先根据题意画出图形，然后根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图：由题意可知：， 内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． （2）证明：（已知）， 两直线平行，同位角相等． （已知）， 两直线平行，内错角相等． 等量代换． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等． （3）解：如图所示：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题， 已知， 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 两直线平行，内错角相等， 等量代换． 48．（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，，，若，，将求的过程填写完整． 解：， ． ， ① ． 又，可解得（ ② ）． ， ． ， ③ ．（④此处填推理的依据） 又，可解得（ ⑤ ） （ ⑥ ）． 【答案】（1）①见解析，真命题；②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：．（2）①；②135；③；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． （1）①根据题意、结合图形写出已知和求证，再进行判断； ②根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理证明． （2）根据推理过程填写所缺少内容即可． 【详解】解：（1）①如图， 命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”是真命题； ②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． 证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴∴， ∴， ∴该命题是真命题． （2）解：， ． ， ． 又，可解得． ， ． ， ．（两直线平行，内错角相等） 又，可解得 ． 故答案为：①；②135；③；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级下·山东泰安·期中）下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 【答案】C 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”的定义，判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A选项：“垂线段最短”，对垂线段的性质做出了判断，是命题； B选项：“对顶角相等”，对对顶角的性质做出了判断，是命题； C选项：“画直线”，只是操作指令，没有对任何事情做出判断，不是命题； D选项：“直角都相等”，对直角的性质做出了判断，是命题． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两直线平行 C．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 D．相等的两个角是对顶角 【答案】A 【分析】根据平行线的公理与性质，对顶角的概念逐一判断每个命题的真假即可． 【详解】解：A 项：平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行公理的推论，是真命题； B 项：垂直于同一条直线的两直线平行，缺少“同一平面内”的前提条件，不在同一平面内时结论不成立，故是假命题； C 项：过一点有且只有一条直线和已知直线平行，缺少“过直线外一点”的前提条件，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，结论不成立，故是假命题； D 项：相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分成的两个角相等但不是对顶角，故是假命题． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等．其中假命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，因此该命题是假命题； ③该命题缺少“同一平面内”的前提，条件不完整，因此是假命题； ④该命题缺少“直线外”的前提，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，因此是假命题． ⑤该命题缺少“两直线平行”的前提，只有两直线平行时同位角才相等，因此是假命题． 综上，假命题共有4个． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）下列四个命题中，是真命题的是（     ） A．同旁内角互补 B．两点之间，直线最短 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】利用平行线性质，线段公理，对顶角定义和平行公理，只需逐一判断每个命题的真假即可. 【详解】解：A选项：∵只有两直线平行时，同旁内角才互补， ∴A是假命题； B选项：∵两点之间，线段最短，不是直线最短， ∴B是假命题； C选项：∵相等的角不一定是对顶角，例如两个不相邻的直角也相等， ∴C是假命题； D选项：根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴D是真命题. 5．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．两点之间，直线最短 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【详解】解：选项A中，只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，原命题缺少“两直线平行”的条件，A是假命题，不符合题意； 选项B中，两点之间，线段最短，不是直线最短，B是假命题，不符合题意； 选项C中，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，不是垂线段本身，C是假命题，不符合题意； 选项D中，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合同一平面内垂直的基本性质，D是真命题，符合题意． 6．（25-26七年级下·河南许昌·期中）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【分析】命题由题设和结论两部分组成，“如果”后接题设，“那么”后接结论，先分离出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】解：原命题的题设为“两个数互为相反数”，结论为“这两个数的和为零”，因此改写为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 7．（25-26七年级下·吉林长春·期中）写出一个的值，使命题“”是假命题，这个值可以是______． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据绝对值的性质：正数和零的绝对值等于它本身，确定命题为真时的取值范围，取该范围外的任意值即可得到符合要求的解． 【详解】解：若成立，则． 即当时，命题为真命题， 要使命题为假命题，只需满足，如（答案不唯一）． 8．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）命题：平行于同一条直线的两条直线平行，是_______（填写“真命题”或“假命题”） 【答案】 真命题 【详解】解：根据平行公理的推论可知，平行于同一条直线的两条直线互相平行，该命题符合定理内容，因此该命题是真命题． 9．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有__________．（填序号） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平行于同一条直线的两条直线互相平行；③同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；④互补的两个角是邻补角；⑤从直线外一点作这条直线的垂线段，叫作这点到这条直线的距离． 【答案】②③/③② 【详解】解：①“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的结论需要添加“在同一平面内”的前提才能成立，题目未给出前提，因此①是假命题； ②根据平行公理的推论可知，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此②是真命题； ③若同旁内角互补，则两个同旁内角的和为，角平分线将两个同旁内角各分为一半，两个半角的和为， 因此两条角平分线的夹角为，即互相垂直，因此③是真命题； ④互补仅要求两个角的和为，不要求两个角有公共顶点与公共边，邻补角不仅要求互补还要求位置相邻，因此互补的两个角不一定是邻补角，因此④是假命题． ⑤从直线外一点作这条直线的垂线段，垂线段的长度叫作这点到这条直线的距离，距离是长度不是垂线段本身，因此⑤是假命题． 10．（25-26七年级下·河南商丘·期中）请你取一个a的值，说明命题“”是假命题，那么______．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据绝对值的非负性可知，只要满足即可说明原命题是假命题，据此可得答案． 【详解】解：当时，，， ∴，即命题“”是假命题． 11．（2026七年级下·江苏·期中）下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 【答案】是互逆命题 【分析】互逆命题是指两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．‌ 【详解】解：是互逆命题，理由如下： 命题（1）的条件为“是整数”，结论为“是有理数”； 命题（2）的条件为“是有理数”，结论为“是整数”； ∴这两个命题是互逆命题． 12．（2026七年级下·江苏·期末）下列语句中，哪些是命题？ (1)过点作一条射线． (2)线段的长是吗？ (3)如果，那么． 【答案】(1)不是命题 (2)不是命题 (3)是命题 【分析】判断一件事情的句子叫做命题． 【详解】（1）解：“过点作一条射线”是描述操作的句子，不是命题； （2）解：“线段的长是吗？”是疑问句，不是命题； （3）解：“如果，那么”是命题． 13．（25-26七年级下·河北邢台·期中）已知命题“相等的两个角是直角” (1)写出此命题的条件． (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)两个角相等 (2)该命题是假命题，反例：两个度数为的角相等，但它们都不是直角 【分析】（1）将原命题改写为“如果…那么…”的形式，“如果”后面的即是原命题的条件； （2）根据两个度数为的角相等，但它们都不是直角即可得到答案． 【详解】（1）解：原命题可以改成：如果两个角相等，那么这两个角是直角， 故原命题的条件是两个角相等； （2）解：该命题是假命题，反例：两个度数为的角相等，但它们都不是直角． 14．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）完成下面探究命题“内错角相等”是真命题还是假命题的过程 如图，已知与相交于点，与相交于点，与相交于点． (1)找出的一个内错角_________，与这个内错角__________（填“相等”或“不相等”），所以该命题是：________（填“真命题”或“假命题”）； (2)在（1）的基础上，若该命题是真命题，给出证明；若是假命题，改变一个已知条件，使得该命题为真命题． 【答案】(1)或，不相等，假命题 (2)见解析 【分析】（1）根据内错角的定义求解，然后判断即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：找出的一个内错角：或，与这个内错角不相等，所以该命题是：假命题； （2）解：改变的条件为：若 ∴； 或改变的条件为：若 ∴． 15．（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 16．（25-26七年级下·上海·期末）下列命题： ①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等； ②全等三角形的周长相等； ③在同一个三角形中，大边对大角； ④同旁内角互补，两直线平行； 其逆命题为真命题的是（     ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】先写出每个命题的逆命题，再根据初中几何定理判断逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：①原命题：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；该逆命题为真命题； ②原命题：全等三角形的周长相等；逆命题：周长相等的三角形是全等三角形；举例：边长为，，的三角形和边长为，，的三角形周长都是，但二者不全等，因此该逆命题为假命题； ③原命题：在同一个三角形中，大边对大角；逆命题：在同一个三角形中，大角对大边；该逆命题为真命题； ④原命题：同旁内角互补，两直线平行；逆命题：两直线平行，同旁内角互补；该逆命题为真命题； 综上，逆命题为真命题的是①③④， 故选：A． 17．（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③两点之间，线段最短．④点到直线的垂线段叫做点到直线的距离：其中真命题的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】A 【分析】根据初中几何的基本概念和定理，逐个判断四个命题的真假，统计真命题的个数即可得到结果． 【详解】解：①对顶角相等，符合对顶角的性质，是真命题.； ②内错角相等，因为只有两条平行线被第三条直线所截得到的内错角才相等，命题缺少前提条件，所以是假命题.； ③两点之间，线段最短，是几何基本事实，是真命题.； ④点到直线的垂线段叫做点到直线的距离，因为点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，概念描述错误，所以是假命题.； 综上，真命题共个． 18．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中：①点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直同一条直线的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离定义、对顶角性质、平行线相关定理，逐个判断命题真假，统计真命题个数即可得到结果． 【详解】解：①∵点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，不是垂线段本身， ∴①是假命题； ②∵对顶角相等是对顶角的基本性质， ∴②是真命题； ③∵只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不成立， ∴③是假命题； ④∵垂直于同一条直线的两条直线平行的结论仅在同一平面内成立，结论不成立， ∴④是假命题； ⑤∵根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行， ∴⑤是真命题； 综上，真命题共2个． 19．（25-26七年级下·广东广州·期末）下列命题中，正确的命题有（     ）个． ①相等的角是对顶角；②若，，则；③ 同位角相等；④邻补角的平分线互相垂直 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据对顶角定义、平行线的相关性质、邻补角的性质，逐一判断每个命题的真假，统计正确命题的个数即可． 【详解】解：① 相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角，故①错误； ② ∵在同一平面内，当，时，，并非，故②错误； ③ ∵只有两直线平行时，同位角才相等，缺少平行的前提条件，同位角不一定相等，故③错误； ④ 设两个邻补角为和，则，∵平分线将两个角各分为一半，∴两个平分线的夹角为，∴邻补角的平分线互相垂直，故④正确； 综上，正确的命题只有1个． 20．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）下列语句中真命题有（   ） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②内错角相等； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离，平行公理，平行线的判定与性质等，逐个判断真假即可． 【详解】解：①点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，因此①是假命题； ②只有两直线平行时，内错角才相等，本题缺少“两直线平行”的前提，因此②是假命题； ③只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在这样的平行线，因此③是假命题； ④在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行，因此④是真命题； 综上，真命题只有1个，A选项符合题意． 21．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_______，________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时， 可得：，满足条件， ，， ，即， 不满足， 可以说明该命题是假命题． 22．（2026·北京石景山·二模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件， 此时，，可得，不满足， 因此，可以说明该命题是假命题． 23．（2026·北京密云·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 【答案】 【分析】判断一个命题是假命题可以举出反例，只需找到满足但不满足的一组的值即可. 【详解】解：取， 则，，满足， 但，即不成立，因此该命题是假命题. 故（答案不唯一）. 24．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）下列6个命题中， （1）相等的角是对顶角 （2）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （4）有一条公共边且互补的两个角互为邻补角 （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等 （6）如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行．为真命题的是_____．（写序号） 【答案】（3） 【分析】根据对顶角、平行公理、邻补角、平行线的性质等相关初中数学知识点，逐一判断每个命题的真假即可． 【详解】解：（1）相等的角不一定是对顶角，因此（1）是假命题； （2）该命题未限定“在同一平面内”，因此（2）是假命题； （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行公理，因此（3）是真命题； （4）邻补角需要满足两个角有公共边，且另一边互为反向延长线，仅满足有一条公共边且互补的两个角不一定是邻补角，因此（4）是假命题； （5）只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，因此（5）是假命题； （6）同一平面内，两条直线不垂直，也可能相交不平行，因此（6）是假命题． 25．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，已知题设：，下列结论中：①；②；③；④．与题设组成的命题是真命题的有______．（填序号） 【答案】②④ 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，由可推出和，进而利用等式的性质判断结论④，对于结论①和③，需要或四边形为平行四边形才能成立，题设条件不足． 【详解】解：∵ ， ∴，故结论②是真命题， ∵ ， ∴ ， ∴，即，故结论④是真命题； 与是直线与被直线所截形成的内错角，只有当时，才成立，题设未给出，故结论①不是真命题 只有当四边形是平行四边形时，对角才成立，题设仅给出，无法判定四边形是平行四边形，故结论③不是真命题； 综上所述，与题设组成的命题是真命题的有②④． 26．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，有三个论断：①，②，③ (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题__________ (用文字写出)，该命题是__________命题 (选填“真”或“假”) (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由．已知__________，求证__________ 【答案】(1)若，则；真 (2)； 证明：， ， ， ， ， ， 又， ． 【分析】（1）选择①和②为题设，③作为结论写出对应的命题，再判断真假即可； （2）写出已知和求证，结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）略 （2）略． 27．（2026七年级下·江苏·期末）说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【答案】见解析 【分析】根据题意写出已知和求证，再利用数的整除证明． 【详解】解：已知：能被3整除，其中，，，且都为整数． 求证：能被3整除． 证明： ， ∵，，，且都为整数， ∴能被3整除， 又∵能被3整除， ∴能被3整除， 即“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 28．（2026七年级下·江苏·期末）判断下列命题的真假．如果是假命题，请举出反例． (1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)四边形的两条对角线相等； (3)若，则； (4)若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 (3)假命题，反例见解析 (4)假命题，反例见解析 【详解】（1）解：“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是真命题； （2）解：“四边形的两条对角线相等”是假命题，反例：普通的平行四边形（非矩形），对角线的长度不相等； （3）解：“若，则”是假命题，反例：当，时，，但，，此时； （4）解：“若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于”是假命题，反例：两个有理数和，它们的和为，而它们的积为． 29．（25-26七年级下·广东中山·期中）如图，有三个论断： ①；②；③． (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 【答案】(1)若，则，此命题为真命题； (2)见解析 【分析】（1）根据题意写出命题； （2）根据平行线的判定和性质证明结论即可． 【详解】（1）解：若，则，此命题为真命题； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．（25-26七年级下·广西南宁·期中）探究与证明 【推理证明】 (1)如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 (2)若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 (3)如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行；3；3；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)真命题，理由见解析 (3)4 【分析】（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （2）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （3）分别写出四种情况，分别进行说明和证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）， 又∵ （已知）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）； （2）解：真命题，理由如下： ∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3）解： 在（1）中已经证明，条件：①②④，结论：③，为真命题； 在（2）中已经证明，条件：①②③，结论：④，为真命题； 条件：②③④，结论：①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 条件：①③④，结论：②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 综上可知，共4个真命题． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 31．（25-26七年级下·山东烟台·期中）下列命题中真命题的个数有（   ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④不是对顶角的角不相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据垂线，平行线的相关性质，对顶角的概念，平行公理，逐一进行判断即可. 【详解】解：① 该命题未限定“在同一平面内”，该结论仅在同一平面内成立，因此原命题是假命题； ② 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，原命题缺少条件，因此是假命题； ③ 只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原命题缺少条件，因此是假命题； ④ 两个相等的同位角，不是对顶角但相等，因此原命题是假命题； ∴ 四个命题均为假命题，真命题的个数为0. 32．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列语句中真命题有（    ） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②内错角相等； ③两点之间线段最短； ④对顶角相等； ⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查命题真假判断，用到点到直线的距离定义，平行线的性质与判定，线段公理，对顶角的性质等知识点，逐个判断命题真假，统计真命题个数即可得到答案． 【详解】解：①点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，因此①是假命题； ②只有两直线平行时，内错角才相等，缺少平行的前提条件，因此②是假命题； ③两点之间线段最短是线段公理，因此③是真命题； ④对顶角相等是正确的性质，因此④是真命题； ⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，符合平行线的判定，因此⑤是真命题． ∴真命题共有3个， 故选:B． 33．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）下列语句中：在同一平面内的两直线位置关系只有三种：平行、垂直或相交；相等的两个角是对顶角：若，则与和互余；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离；平行于同一直线的两直线互相平行，其中错误的有（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面几何相关基础概念，只需逐个判断各语句的正误，即可得出错误语句的序号，得到答案． 【详解】解：逐个判断各语句： ∵同一平面内不重合的两条直线，位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，不是独立的位置关系， ∴错误； ∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个独立的直角度数相等，但不是对顶角， ∴错误； ∵互余是两个角之间的关系，定义为两个角的和为时，这两个角互余，三个角和为不能称三个角互余， ∴错误； 该语句符合点到直线距离的定义， ∴正确； 该语句符合平行公理的推论， ∴正确； 综上，错误的语句为． 34．（25-26七年级下·山东德州·期中）下列命题是假命题的个数有（   ） ①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．⑤P是直线a外一点，A，B，C三点是直线a上的三点，已知，，，点P到直线a的距离一定是2． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查初中几何基础概念，包括对顶角性质，点到直线的距离定义，平行公理，同旁内角互补的条件，只需要逐一根据相关概念判断命题真假，统计假命题的个数即可． 【详解】解：命题①：对顶角相等，是真命题． 命题②：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，原命题是假命题． 命题③：平行公理要求“过直线外一点”才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在符合要求的平行线，原命题是假命题． 命题④：只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，原命题是假命题． 命题⑤：点到直线的距离中，垂线段最短，因此点到直线的距离一定不大于，且不一定是垂线段，因此距离不一定是，原命题是假命题． 综上，假命题共4个． 35．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列五个命题：①过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离；②互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤在同一平面内，如果，那么，其中真命题的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离定义，邻补角与角平分线的定义，平行公理，垂线的性质，平行线的性质，逐个判断命题真假即可． 【详解】解：①点到直线的距离是垂线段的长度，垂线段是图形不是长度， ∴①是假命题； ②互为邻补角的两角和为，角平分线分得的两个角的和为， ∴两角平分线互相垂直，②是真命题； ③根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴③是真命题； ④该命题缺少“在同一平面内”的前提，空间中过一点可作无数条直线与已知直线垂直， ∴④是假命题； ⑤在同一平面内，若，根据平行线的性质可得， ∴该命题是真命题； 综上，真命题共有3个． 36．（2026·北京昌平·一模）请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【详解】举例，如，，符合题意． 37．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个． 【答案】3 【分析】根据对顶角的性质，平行线的判定与性质，逐个判断每个命题的真假，统计真命题的个数即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题未说明两条直线平行，是假命题； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题； ④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，是真命题． 综上，真命题共有个． 38．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．其中真命题有________．（填所有真命题的序号） 【答案】③/3 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及余角、对顶角和补角的定义；通过举反例和定义分析即可判断. 【详解】解：①一个角的余角不一定大于这个角， 反例：的余角是，，故①是假命题； ②如果，那么与是对顶角， 反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题； ③补角的定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，故③是真命题. 故答案为③ 39．（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 【答案】 【分析】本题主要考查素数的定义，熟练掌握素数的定义（只能被和它自身整除的自然数）是解题的关键．通过代入不同的自然数（）到中，计算结果并判断是否为素数，找到反例． 【详解】解：当时，，是素数； 当时，，，不是素数． 故答案为： 40．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 41．（2026七年级下·江苏·期末）指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【答案】(1)条件为，结论为的补角与的补角相等； (2)条件为两条直线都平行于同一条直线；结论为这两条直线平行． 【分析】（1）如果后面为条件，那么后面为结论； （2）先可以用“如果…那么…”形式表述命题，则如果后面为条件，那么后面为结论． 【详解】（1）条件为； 结论为的补角与的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线； 结论为这两条直线平行． 42．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成：如果______，那么______，这个命题的条件是______，结论______； (2)这个命题是______（填真命题或假命题），请说明理由． 【答案】(1)两个数的绝对值相等；这两个数也相等；两个数的绝对值相等；这两个数也相等 (2)假命题，见解析 【分析】（1）根据命题改写的规则，将原命题拆分为“如果+条件，那么+结论”的形式，明确条件和结论． （2）通过举反例的方法，判断命题的真假． 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等． 条件是：两个数的绝对值相等． 结论是：这两个数相等． （2）解：该命题是假命题． 反例：虽然，但是， 故原命题为假命题． 43．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，直线，相交于点．已知条件：①平分；②平分；③． (1)选择两个条件作为题设，另外一个条件作为结论组成一个真命题，并证明； (2)在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)题设：①②；结论：③；证明见解析（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了对顶角、邻补角以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）根据邻补角互补结合已知找出；（2）通过比例关系结合邻补角互补求出的度数． （1）根据邻补角互补可得出，结合角平分线和垂直的定义可以证明； （2）由结合邻补角互补、对顶角相等，可求出的度数，根据平分、平分，可得出的度数以及，再根据邻补角互补结合，可求出的度数，进而可得答案． 【详解】（1）解：题设：①②；结论：③；（或题设：①③；结论：②；或题设：②③；结论：①） 证明：∵平分，平分， ∴，． ∴， ∴； 题设：①③；结论：②； 证明：∵平分， ∴， ∴； ∴，， ∴，即平分， 题设：②③；结论：①，同理可证． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 44．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）如图，已知，直线交于点平分，平分，试说明：． (1)将此题的条件与结论用一般的命题形式叙述出来； (2)你能进一步总结平行线中“三线八角”的平分线之间的关系吗？ 【答案】(1)如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直 (2)能，见解析 【分析】（1）根据题意一般的命题形式叙述出来； （2）根据平行线的性质以及角平分线的定义，证明或，即可得出结论． 【详解】（1）解：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． （2）平行线中“三线八角”的平分线互相垂直，理由如下， 如图，过点作 ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即， 如图，∵ ∴ ∵分别平分 ∴ 即 ∴ 如图，∵ ∴ ∵分别平分 ∴ 即 ∴ ∴平行线中“三线八角”的平分线互相垂直或平行 45．（25-26八年级上·福建厦门·期末）若一个整式能表示成（x，y均为整式）的形式，则称这个整式为“完美式”．例如，，，则5，都是“完美式”． (1)请说明13是“完美式”； (2)若是“完美式”，求出一个符合条件的k； (3)若P，Q是“完美式”，它们的积是否为“完美式”？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1) 见解析； (2) ； (3) 若P，Q是“完美式”，它们的积是“完美式”，理由见解析． 【分析】本题考查举例说明假（真）命题，配方法的应用，多项式乘法． （1）依据“完美式”的定义，将表示为两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对进行变形，结合“完美式”需表示为两个整式平方和的形式，确定的取值； （3）通过设出和的“完美式”表达式，运用多项式乘法与完全平方公式，将它们的积变形为两个整式平方和的形式即可． 【详解】（1）解：∵，2和3均为整式， ∴13是“完美式”． （2）解： ∵是“完美式”， ∴， ∴． （3）解：若P，Q是“完美式”，它们的积是“完美式”，理由： ∵P，Q是“完美式” ， ∴设，（，，，均为整式） ∴ ， ∵，，，均为整式， ∴，均为整式 ， ∴可表示为两个整式的平方和， ∴是“完美式”． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 定义 命题 证明（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 定义 题型02 判断是否是命题 题型03 写出命题的题设与结论 题型04 判断命题真假 题型05 举例说明假命题 题型06 写出命题的逆命题 题型07 写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型08 已知证明过程填写理论依据 题型09 以代数为背景的推理与论证 题型10 定理与证明 题型11 互逆定理 题型12 证明大题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 定义 熟记概念定义，分清判定与性质，依托定义辨析题型，夯实解题根基。 基础考点，2分左右 写出命题的题设与结论 分清命题题设和结论，熟练改写句式，依托定义判断命题真假。 常考点，一般在填空题考查，2分左右 真假命题 掌握真假命题判定方法，能举反例辨伪，结合定义验证命题正误。 常考点，一般在小题考查，2分左右 互逆命题 掌握互逆命题变换规则，熟练互换题设结论，区分原命题与逆命题真假关系。 常考点，一般在小题考查，2分左右 证明 掌握证明书写格式，依据定理定义推理，规范步骤严谨推导几何结论。 核心考查点，一般解答题考查，5分左右 定理 熟记常用定理内容，活用定理进行判定推理，规范用于几何证明解题。 基础考点，小题考查，2分左右 知识点01 定义 1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义 如“两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；“在一个方 程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是“一元一次方程”的定义 2. 常见的定义： （1） 正整数、负整数、零统称为整数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．乘积是1的两数互为倒数． （2） 数或字母的积组成的式子叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式，单项式和多项式统称为整式． （3）含有未知数的等式叫作方程；只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （5）用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （6）如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （7）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （8）两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线；在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线： （9）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （10）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．三条边都相等的三角形叫做等边三角形.有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． 知识点02 命题 判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 注意： 1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项. 2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论， 知识点03 真假命题 1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 2.说明假命题的方法： 要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例. 知识点04 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题. 注意： (1)互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。 (2)逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。 知识点05 证明与定理 1.证明 根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明 2.定理 经过证明的真命题称为定理，定理一见是真命题，真命题不一是是足理 3.证明与图形有关的命题的一般步骤 (1)根据题意，画出图形： (2)根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)写出证明过程. 4.证明命题的方法 证明一个命题时，可从结论出发，先探求出使结论成立时所需的条件，然后结合图形及巳知 条件，根据基本事实和常用的定理及推论逐步得出所需的条件，从而完成证明过程， 题型一 定义 1．下列关于定义、命题、定理表述错误的个数是（　　） ①“你饿了吗?”不是命题； ②“过一点作已知直线的垂线”，是真命题， ③“对顶角相等”，是定理； ④“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴”，是定义； ⑤“两点确定一条直线”，是基本事实． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 3．下列语句中，属于定义的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 4．下列语句中不是定义的是（    ） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 题型二 判断是否是命题 5．下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 6．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 7．下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简，其中不是命题的是____________． 8．“垂线段最短”有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理，其中正确的说法是______． 题型三 写出命题的题设与结论 9．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 10．命题分为题设和结论两部分，把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为__________． 11．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成：如果______，那么______，这个命题的条件是______，结论______； (2)这个命题是______（填真命题或假命题），请说明理由． 12．如图，给出如下三个关系：①；②；③．选择其中两个作为条件，剩余一个作为结论，组成一个真命题． (1)你组合的命题条件为_____，结论为__________；（填字号即可） (2)请你证明这个命题． 题型四 判断命题真假 13．下列命题中，是真命题的是(     ) A．内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 14．下列命题是真命题的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 15．命题“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是_________命题．（填“真”或“假”） 16．①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤同位角相等；其中假命题有______个． 题型五 举例说明假命题 17．请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么______． 18．对于命题“任何一个角的补角都大于这个角”，请你举出一个反例说明这个命题是假命题，这个角的度数可以是________． 19．用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝____，b＝____，c＝____． 20．定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． (1)验证：判断数对是否为异差数对； (2)推理证明：当时，数对一定是异差数对； (3)判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 题型六 写出命题的逆命题 21．如果，那么 的逆命题为_____________________ 22．命题“若，那么”的逆命题是______． 23．如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：∵，， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴ （ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 写出本题所用到的互逆命题： ． 24．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 题型七 写出一个命题的已知、求证及证明过程 25．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 26．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 27．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 28．如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 题型八 已知证明过程填写理论依据 29．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 30．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 31．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 32．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 题型九 以代数为背景的推理与论证 33．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 34．为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 35．张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 36．长沙市某中学啦啦操队，其参赛道具于花分别装在、、三个纸箱里，不知其数，现对三个纸箱的手花进行3次调整：第一次，箱不动，在、两箱中的一箱中取出5束手花放在另一箱；第二次，箱不动，在、两箱中的一箱取出7束放在另一箱；第三次，箱不动，在、两箱中的一箱取出9束放在另一箱．经过三次调整后，、、三个纸箱各有手花10束、10束、10束，则原来箱最多有（    ）束手花． A．5 B．8 C．12 D．14 题型十 定理与证明 37．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 38．下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 39．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 40．下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 题型十一 互逆定理 41．定理“如果，那么”的逆定理是：_________． 42．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是_________三角形． 43．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 44．下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 题型十二 证明大题 45．已知：如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）： ①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题； ②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题． 46．（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 47．“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 48．（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，，，若，，将求的过程填写完整． 解：， ． ， ① ． 又，可解得（ ② ）． ， ． ， ③ ．（④此处填推理的依据） 又，可解得（ ⑤ ） （ ⑥ ）． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26七年级下·山东泰安·期中）下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两直线平行 C．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 D．相等的两个角是对顶角 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等．其中假命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级下·重庆·期中）下列四个命题中，是真命题的是（     ） A．同旁内角互补 B．两点之间，直线最短 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 5．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．两点之间，直线最短 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6．（25-26七年级下·河南许昌·期中）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 7．（25-26七年级下·吉林长春·期中）写出一个的值，使命题“”是假命题，这个值可以是______． 8．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）命题：平行于同一条直线的两条直线平行，是_______（填写“真命题”或“假命题”） 9．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有__________．（填序号） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平行于同一条直线的两条直线互相平行；③同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；④互补的两个角是邻补角；⑤从直线外一点作这条直线的垂线段，叫作这点到这条直线的距离． 10．（25-26七年级下·河南商丘·期中）请你取一个a的值，说明命题“”是假命题，那么______．（写出一个符合题意的数即可） 11．（2026七年级下·江苏·期中）下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 12．（2026七年级下·江苏·期末）下列语句中，哪些是命题？ (1)过点作一条射线． (2)线段的长是吗？ (3)如果，那么． 13．（25-26七年级下·河北邢台·期中）已知命题“相等的两个角是直角” (1)写出此命题的条件． (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 14．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）完成下面探究命题“内错角相等”是真命题还是假命题的过程 如图，已知与相交于点，与相交于点，与相交于点． (1)找出的一个内错角_________，与这个内错角__________（填“相等”或“不相等”），所以该命题是：________（填“真命题”或“假命题”）； (2)在（1）的基础上，若该命题是真命题，给出证明；若是假命题，改变一个已知条件，使得该命题为真命题． 15．（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 16．（25-26七年级下·上海·期末）下列命题： ①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等； ②全等三角形的周长相等； ③在同一个三角形中，大边对大角； ④同旁内角互补，两直线平行； 其逆命题为真命题的是（     ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 17．（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③两点之间，线段最短．④点到直线的垂线段叫做点到直线的距离：其中真命题的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 18．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中：①点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直同一条直线的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（25-26七年级下·广东广州·期末）下列命题中，正确的命题有（     ）个． ①相等的角是对顶角；②若，，则；③ 同位角相等；④邻补角的平分线互相垂直 A．1 B．2 C．3 D．4 20．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）下列语句中真命题有（   ） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②内错角相等； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_______，________． 22．（2026·北京石景山·二模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 23．（2026·北京密云·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 24．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）下列6个命题中， （1）相等的角是对顶角 （2）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （4）有一条公共边且互补的两个角互为邻补角 （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等 （6）如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行．为真命题的是_____．（写序号） 25．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，已知题设：，下列结论中：①；②；③；④．与题设组成的命题是真命题的有______．（填序号） 26．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，有三个论断：①，②，③ (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题__________ (用文字写出)，该命题是__________命题 (选填“真”或“假”) (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由．已知__________，求证__________ 27．（2026七年级下·江苏·期末）说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 28．（2026七年级下·江苏·期末）判断下列命题的真假．如果是假命题，请举出反例． (1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)四边形的两条对角线相等； (3)若，则； (4)若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于． 29．（25-26七年级下·广东中山·期中）如图，有三个论断： ①；②；③． (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 30．（25-26七年级下·广西南宁·期中）探究与证明 【推理证明】 (1)如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 (2)若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 (3)如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 31．（25-26七年级下·山东烟台·期中）下列命题中真命题的个数有（   ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④不是对顶角的角不相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 32．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列语句中真命题有（    ） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②内错角相等； ③两点之间线段最短； ④对顶角相等； ⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 33．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）下列语句中：在同一平面内的两直线位置关系只有三种：平行、垂直或相交；相等的两个角是对顶角：若，则与和互余；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离；平行于同一直线的两直线互相平行，其中错误的有（） A． B． C． D． 34．（25-26七年级下·山东德州·期中）下列命题是假命题的个数有（   ） ①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．⑤P是直线a外一点，A，B，C三点是直线a上的三点，已知，，，点P到直线a的距离一定是2． A．4 B．3 C．2 D．1 35．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列五个命题：①过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离；②互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤在同一平面内，如果，那么，其中真命题的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 36．（2026·北京昌平·一模）请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____． 37．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个． 38．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．其中真命题有________．（填所有真命题的序号） 39．（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 40．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 41．（2026七年级下·江苏·期末）指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 42．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成：如果______，那么______，这个命题的条件是______，结论______； (2)这个命题是______（填真命题或假命题），请说明理由． 43．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，直线，相交于点．已知条件：①平分；②平分；③． (1)选择两个条件作为题设，另外一个条件作为结论组成一个真命题，并证明； (2)在（1）的条件下，若，求的值． 44．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）如图，已知，直线交于点平分，平分，试说明：． (1)将此题的条件与结论用一般的命题形式叙述出来； (2)你能进一步总结平行线中“三线八角”的平分线之间的关系吗？ 45．（25-26八年级上·福建厦门·期末）若一个整式能表示成（x，y均为整式）的形式，则称这个整式为“完美式”．例如，，，则5，都是“完美式”． (1)请说明13是“完美式”； (2)若是“完美式”，求出一个符合条件的k； (3)若P，Q是“完美式”，它们的积是否为“完美式”？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $