专题12.1 定义、命题、证明、定理（举一反三讲义）数学新教材苏科版七年级下册

本讲义聚焦初中数学“定义、命题、证明、定理”核心知识点，系统梳理从概念（定义、命题）到判断（真假、举反例）再到推理（证明、定理）及反证法的完整逻辑脉络，为学生构建从基础到应用的学习支架。 资料通过10类题型（如判断命题、写题设结论、举反例等），结合例题与变式练习，培养学生推理意识（数学思维）、抽象能力（数学眼光）和规范表达（数学语言）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生强化练习，弥补知识盲点。

专题12.1 定义、命题、证明、定理（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 【题型1 判断是否是命题】 2 【题型2 写出命题的题设与结论】 4 【题型3 判断命题真假】 5 【题型4 举反例】 9 【题型5 互逆命题】 10 【题型6 写出一个命题的已知、求证及证明】 12 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 14 【题型8 根据给出的论断组命题并证明】 17 【题型9 反证法证明中的假设】 22 【题型10 利用反证法证明】 23 知识点1 定义 对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义. 知识点2 命题 1. 判断某一件事情的语句叫命题． 2. 命题的定义包含两层含义 （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断． 知识点3 命题的组成与分类 1. 许多命题由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结论． 2. 命题分真假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”． 知识点4 举反例 在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”的方法，举反例的关键是找到一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子. 知识点5 互逆命题 两个命题正好互换了条件与结论的位置，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题. 知识点6 证明 1. 从命题的条件出发，根据一些已知的事实(如概念的定义，基本性质，真命题等),用“因为……，所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明. 2. 证明的一般步骤 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据． 知识点7 定理 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为证明后续命题的依据. 知识点8 反证法 用反证法证明一个命题的步骤一般为: 1.先假设命题的结论不成立. 2.从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾. 3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立. 【题型1 判断是否是命题】 【例1】（24-25七年级下·四川德阳·期中）下列语句是命题的有（　　）个． ①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论n是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】本题考查命题，判断事件的语句叫命题．掌握对事件是否作出了判断是解题的关键。根据命题的定义逐一分析是否对事件作出了判断，即可得出答案． 【分析】①是疑问句，没有对事件作出判断，不是命题； ②对事件作出了判断（熊猫确实无翅膀），是命题； ③对事件作出了判断（三角形一定有直角），是命题； ④没有对事件作出判断，只是描述了事件，不是命题； ⑤对事件作出了判断（式子的值都是质数），是命题； ⑥对事件作出了判断（这两条直线也互相平行），是命题． 综上，②、③、⑤、⑥为命题，共4个， 故选B． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 【答案】B 【分析】本题考查了命题．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确． 根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性． 【详解】A. 作，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句； B. 若，则，是命题，因为它是一个具有判断性的语句； C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句； D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句． 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列选项中不是命题的是（   ） A．正数大于负数 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义：判断一件事情的语句叫命题．命题必须是一个完整的句子，它必须对某一件事情作出肯定或否定的判断，命题一般为陈述句，疑问句与作图语句（祈使句）、感叹句等都不是命题．判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可． 【详解】解：A．正数大于负数，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意； B．过直线外一点作直线的平行线是作图语言，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，符合题意； C．三角形的任意两边之和大于第三边，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意； D．如果，那么，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】给出下列语句：①画出已知角等于两个已知角的和；②钝角总大于直角；③过点画直线；④相等且互补的两个角都是直角．其中是命题的是（   ） A．只有④ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据命题的定义：可以判断真假的陈述句，结合题中语句逐项判断即可得到答案． 【详解】解：①不是陈述句，不是命题；②是命题；③不是陈述句，不是命题；④是命题； 故选：C． 【点睛】本题考查命题的定义，熟记可以判断真假的陈述句叫命题是解决问题的关键． 【题型2 写出命题的题设与结论】 【例2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ． 【答案】 连接直线外一点与直线上一点的所有线段 垂线段最短 【分析】本题考查了命题的组成（题设和结论），解题的关键是理解命题的结构，准确分离出题设和结论部分． 将“垂线段最短”改写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论． 【详解】解：命题“垂线段最短”可以改写为：如果从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段，那么垂线段最短． 所以题设是从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段；结论是垂线段最短． 故答案为：连接直线外一点与直线上一点的所有线段；垂线段最短． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 【变式2-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果，那么，这个命题的条件是 ，结论是 ． 【答案】 【分析】本题考查了命题的结果，掌握命题是由题设（条件）和结论组成是关键，根据命题的结果判定即可求解． 【详解】解：如果，那么， ∴这个命题的条件是，结论是， 故答案为：①，② ． 【变式2-3】（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个三角形中一边大于另一边，放在“如果”的后面，结论是该边所对的角大于另一边所对的角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角． 【题型3 判断命题真假】 【例3】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，线段相交于点，连接，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．以上命题中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得到，由可得，利用平行线的判定得到，可判断①；根据角平分线的定义得到，由可得，再根据平行线的判定可判断②；利用三角形内角和定理推出，再利用角平分线的定义求出，可判定③；延长交于点，利用角平分线的定义求出，利用三角形内角和得到，，进而得到，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①是真命题； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由无法证明，故②是假命题； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∴，故③是真命题； 如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，故④是真命题； ∴真命题的个数是3． 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题真假、平行线的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式3-1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是 命题（真/假）． 【答案】真 【分析】本题主要考查了命题，掌握相反数的性质是解题的关键． 根据判断一件事情的语句，叫做命题．正确的命题是真命题进行分析即可． 【详解】解：命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”的条件是两个数互为相反数，结论是这两个数绝对值相等，这是一个真命题． 故答案为：真． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·课前预习）命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的有 ．（请填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的判定等知识，根据对顶角的性质、平行线的判定判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③在同一平面上，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题； ④平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题； 其中是真命题的有①④； 故答案为：①④． 【变式3-3】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在三角形中，点，，分别在边，，上，连接，．下列四个命题中，是真命题的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定定理，本题中每组条件都可判断直线平行，但是有三个不能判断题目所需的直线平行，所以依据平行线的判定定理，要找准截线和被截线． 先观察已知角的位置关系，根据平行线的判定定理判断通过已知角可得哪两条直线平行，可得出结论． 【详解】解：①，则，是真命题； ②若，则，是真命题； ③若，则，是真命题； ④若，无法判断，是假命题； 故选：C． 【题型4 举反例】 【例4】（24-25七年级下·陕西西安·期末）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，要说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，需找到两个锐角的和不是钝角的例子，即可判断． 【详解】解：A、，是钝角，不符合题意； B、，是钝角，不符合题意； C、，是钝角，不符合题意； D、，是锐角，说明两锐角的和可能不是钝角，符合题意． 故选：D． 【变式4-1】为说明命题“如果，那么”是假命题，你举出的一个反例是 ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】根据绝对值的性质可得当，得出或，举例只要两个数互为相反数即可得． 【详解】解：∵， ∴或， 例如：，时，， ∴命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：，（答案不唯一）． 【点睛】题目主要考查绝对值的性质，深刻理解绝对值的性质是解题关键． 【变式4-2】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查举反例，要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足但的反例． 【详解】解：A、，和为，且，满足反例条件． B、，和为90°，但，支持原命题． C、，和为，不满足条件． D、，和为，不满足条件． 故选A． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题．本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键． 【详解】解：当 时，符合条件， 但， ∴命题“如果，那么”是假命题． 同样当时，也可以判断命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（也可以是等，答案不唯一）． 【题型5 互逆命题】 【例5】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 【变式5-1】（25-26八年级上·四川达州·期末）写出命题“如果，那么或．”的逆命题：__________． 【答案】如果或，那么 【分析】本题主要考查了命题和逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设与结论互换位置，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：“如果，那么或．”的逆命题是：如果或，那么． 故答案为：如果或，那么． 【变式5-2】“偶数能被整除”的逆命题是______． 【答案】如果一个数能被整除，那么这个数是偶数． 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为모一个命题的逆命题，根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题即可． 【详解】解：“偶数能被整除”的逆命题是：如果一个数能被整除，那么这个数是偶数， 故答案为：如果一个数能被整除，那么这个数是偶数． 【变式5-3】下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据性质定理进行判断，即可得出答案． 【详解】①若x=y，则|x|=|yt|的逆命题是如果|x|=|y|，则x=y，错误； ②两直线平行,内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，正确； ③对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误. 故选B. 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【题型6 写出一个命题的已知、求证及证明】 【例6】（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 【详解】已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 【变式6-1】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 【详解】已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【答案】见解析 【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可． 【详解】已知：如图，直线中，，，    求证：． 证明：作直线的截线，交点分别为．    ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式6-3】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 【例7】补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 【变式7-1】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【变式7-2】推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 【变式7-3】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，，．试说明：． 请你完成下列推理过程（括号内写出理由）： 解：因为，（已知） 所以．（） 因为，（已知） 所以 ，（） 所以．（平行于同一条直线的两条直线平行） 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行可得出，根据同旁内角互补，两直线平行可得出，然后根据平行线的传递性即可得证． 【详解】解：因为，（已知） 所以．（内错角相等，两直线平行） 因为，（已知） 所以，（同旁内角互补，两直线平行） 所以．（平行于同一条直线的两条直线平行） 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；；；同旁内角互补，两直线平行． 【题型8 根据给出的论断组命题并证明】 【例8】如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【变式8-1】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 【变式8-2】【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)见解析 (2)②④，证明见解析 【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证； （2）选择②④ ．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a < b，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴> ab． ∴ ． ∵，， ∴ac． ∴ ． ∴ ． （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵a<b，b<0， ∴a<0． ∴，． ∵a < b， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 【变式8-3】如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 【题型9 反证法证明中的假设】 【例9】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）对于命题“如果，那么”用反证法证明，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用反证法证明命题时，应假设结论的否定成立，再由此推出矛盾． 【详解】解：由反证法可知，应假设． 【变式9-1】（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）用反证法证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．证明时可以先假设________． 【答案】两条平行直线被第三条直线所截，同位角不相等 【分析】反证法证明命题时，需先假设命题的结论不成立，因此只需写出原命题结论的否定即可． 【详解】原命题要证明的结论为“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”， 根据反证法的步骤，首先假设结论不成立， 即假设两条平行直线被第三条直线所截，同位角不相等． 【变式9-2】（25-26八年级上·四川遂宁·期末）用反证法证明“两条直线相交，有且只有一个交点”应假设（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两条直线相交，没有交点 C．两条直线相交不止一个交点 D．两条直线相交，没有交点或不止一个交点 【答案】D 【分析】本题考查了反证法； 反证法需假设原命题的否定，原命题为“两条直线相交，有且只有一个交点”，其否定应覆盖所有不成立的情况，即没有交点或不止一个交点． 【详解】解：反证法要求假设原命题的否定， 原命题为：两条直线相交，有且只有一个交点， 其否定为：两条直线相交，没有交点或不止一个交点， 故选：D． 【变式9-3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明命题：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数时，第一步应假设为___________________． 【答案】m是奇数 【分析】本题主要考查了反证法，根据反证法的第一步是假设原命题的结论不成立回答即可． 【详解】解：原命题的结论是“m是偶数”， 因此反证法的第一步应假设其否定，即“m不是偶数”， 也就是“m是奇数”， 故答案为∶m是奇数. 【题型10 利用反证法证明】 【例10】（25-26七年级下·上海·月考）用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【答案】；两直线平行，内错角相等； 【分析】利用反证法进行证明，先假设，再证明与原已知条件不符即可． 【详解】证明：假设，则根据两直线平行，内错角相等， 可得． 这与矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【变式10-1】（25-26八年级上·山东聊城·月考）用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】证明：假设，都不大于零， 即，， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以， 这与已知条件矛盾， 所以假设不成立． 所以，中至少有一个大于零． 【变式10-2】用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了反证法，反证法第一步假设结论不成立，即假设是0或正数，根据正数和0的绝对值都是它本身可得到此时假设与题设矛盾，则可证明结论． 【详解】解：证明：假设不是负数，那么是0或是正数． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是正数，那么，这与题设矛盾，所以不可能是正数． 综合①和②，知不可能是0，也不可能是正数，所以必为负数． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知直线，直线c与b相交，且c与b不垂直．用反证法证明a与c相交． 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，熟练掌握反证法的要领是解题的关键． 假设a与c不相交，即，然后得到，进而求解即可． 【详解】证明：假设a与c不相交，即 ， ，这与已知直线c与b不垂直相矛盾， ∴假设a与c不相交不成立， 与c相交． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.1 定义、命题、证明、定理（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 【题型1 判断是否是命题】 2 【题型2 写出命题的题设与结论】 3 【题型3 判断命题真假】 3 【题型4 举反例】 4 【题型5 互逆命题】 5 【题型6 写出一个命题的已知、求证及证明】 5 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 5 【题型8 根据给出的论断组命题并证明】 7 【题型9 反证法证明中的假设】 9 【题型10 利用反证法证明】 9 知识点1 定义 对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义. 知识点2 命题 1. 判断某一件事情的语句叫命题． 2. 命题的定义包含两层含义 （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断． 知识点3 命题的组成与分类 1. 许多命题由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结论． 2. 命题分真假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”． 知识点4 举反例 在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”的方法，举反例的关键是找到一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子. 知识点5 互逆命题 两个命题正好互换了条件与结论的位置，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题. 知识点6 证明 1. 从命题的条件出发，根据一些已知的事实(如概念的定义，基本性质，真命题等),用“因为……，所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明. 2. 证明的一般步骤 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据． 知识点7 定理 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为证明后续命题的依据. 知识点8 反证法 用反证法证明一个命题的步骤一般为: 1.先假设命题的结论不成立. 2.从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾. 3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立. 【题型1 判断是否是命题】 【例1】（24-25七年级下·四川德阳·期中）下列语句是命题的有（　　）个． ①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论n是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列选项中不是命题的是（   ） A．正数大于负数 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．如果，那么 【变式1-3】给出下列语句：①画出已知角等于两个已知角的和；②钝角总大于直角；③过点画直线；④相等且互补的两个角都是直角．其中是命题的是（   ） A．只有④ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【题型2 写出命题的题设与结论】 【例2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【变式2-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果，那么，这个命题的条件是 ，结论是 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【题型3 判断命题真假】 【例3】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，线段相交于点，连接，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．以上命题中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是 命题（真/假）． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·课前预习）命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的有 ．（请填写序号） 【变式3-3】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在三角形中，点，，分别在边，，上，连接，．下列四个命题中，是真命题的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【题型4 举反例】 【例4】（24-25七年级下·陕西西安·期末）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】为说明命题“如果，那么”是假命题，你举出的一个反例是 ． 【变式4-2】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的值可以是 ． 【题型5 互逆命题】 【例5】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【变式5-1】（25-26八年级上·四川达州·期末）写出命题“如果，那么或．”的逆命题：__________． 【变式5-2】“偶数能被整除”的逆命题是______． 【变式5-3】下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型6 写出一个命题的已知、求证及证明】 【例6】（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等． 【变式6-1】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【变式6-2】证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【变式6-3】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 【例7】补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【变式7-1】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【变式7-2】推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【变式7-3】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，，．试说明：． 请你完成下列推理过程（括号内写出理由）： 解：因为，（已知） 所以．（） 因为，（已知） 所以 ，（） 所以．（平行于同一条直线的两条直线平行） 【题型8 根据给出的论断组命题并证明】 【例8】如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【变式8-1】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【变式8-2】【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【变式8-3】如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【题型9 反证法证明中的假设】 【例9】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）对于命题“如果，那么”用反证法证明，应假设（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）用反证法证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．证明时可以先假设________． 【变式9-2】（25-26八年级上·四川遂宁·期末）用反证法证明“两条直线相交，有且只有一个交点”应假设（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两条直线相交，没有交点 C．两条直线相交不止一个交点 D．两条直线相交，没有交点或不止一个交点 【变式9-3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明命题：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数时，第一步应假设为___________________． 【题型10 利用反证法证明】 【例10】（25-26七年级下·上海·月考）用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【变式10-1】（25-26八年级上·山东聊城·月考）用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 【变式10-2】用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知直线，直线c与b相交，且c与b不垂直．用反证法证明a与c相交． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $