专题 12.3 定义 命题 证明全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义围绕“定义-命题-证明”核心知识，通过结构化知识点框架系统梳理定义、命题、逆命题、证明、定理及反证法，清晰呈现各概念内在逻辑，突出命题构成、证明推理和反证法等重难点，帮助学生构建完整知识脉络。 讲义特色在于题型精析与分层检测结合，如命题证明题（例题4补充证明过程）培养推理意识，反证法题型（例题7）训练逻辑思维。同步检测含选择、填空、解答题，适配不同学生水平，助力教师精准教学，提升学生数学思维与表达能力。

专题 12.3 定义 命题 证明全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】定义 1 【知识点二】命题 1 【知识点三】原命题与逆命题 2 【知识点四】证明 2 【知识点五】定理 2 【知识点六】反证法 2 【题型 1】命题与命题构成 2 【题型 2】命题的真假判断 4 【题型 3】互逆命题 7 【题型 4】命题的证明 9 【题型 5】几何与代数命题的推理与论证 13 【题型 6】定理与证明 15 【题型 7】反证法 18 二.同步检测 23 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 23 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 27 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 29 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】定义 对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义。 【知识点二】命题 可以判断真假的陈述句叫作命题。 判断正确、符合客观事实的命题叫作真命题；假命题：判断错误、不符合客观事实的命题叫作假命题。 【知识点三】原命题与逆命题 原命题：在互逆命题的两个命题中，被作为原始陈述的那个命题，称为原命题。 逆命题定义：将原命题的条件与结论互换位置得到的新命题，称为原命题的逆命题。 【知识点四】证明 从命题的条件出发，根据一些已知的事实（如概念的定义，基本性质，真命题等），用“因为…,所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 【知识点五】定理 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理。 【知识点六】反证法 1、定义：我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法。 2、反证法步骤： （1）先假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发,经过若干步推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立。 【题型 1】命题与命题构成 【例题1】（25-26七年级下·福建南平·月考）如图，给出如下三个关系：①；②；③．选择其中两个作为条件，剩余一个作为结论，组成一个真命题． （1）你组合的命题条件为_____，结论为__________；（填字号即可） （2）请你证明这个命题． 【答案】（1）①②，③或①③，②或②③，①；（2）见分析 【分析】（1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的判定和性质，即可证得． 解：（1）解：组合的命题为条件①②；结论③或条件①③；结论②或条件②③；结论① （2）解：条件①②；结论③，证明如下： ， ， ， ， ； 条件①③；结论②，证明如下： ， ， ， ， ； 条件②③；结论①，证明如下： ， ， ； ， ． 【变式1】（25-26七年级下·上海崇明·期中）下列语句中，是命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗 C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等 【答案】D 【分析】命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题． 解：A选项两条直线被第三条直线所截没有对事情作出判断，不是命题． B选项两直线相交吗是疑问句，未对事情作出判断，不是命题． C选项过直线外一点作这条直线的垂线是作图描述，未对事情作出判断，不是命题． D选项内错角相等对两直线被截所得内错角的关系作出了判断，符合命题的定义，是命题． 【变式2】（25-26七年级下·山东淄博·期中）把命题“等角的余角相等”改写成“如果......那么......”的形式___． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 【分析】命题由题设和结论两部分组成，将命题改写为“如果...那么...”的形式时，“如果”后接题设，“那么”后接结论，只需找出原命题的题设与结论即可进行改写. 解：命题“等角的余角相等”的题设是两个角相等，结论是这两个角的余角相等，因此改写为：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等. 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元复习）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……，那么……”的形式，再指出命题的条件和结论． （1）同号两数的和一定不是负数． （2）若，则． （3）延长线段AB至点C，使B是AC的中点． （4）互为倒数的两个数的积为1． 【答案】（1）是命题．改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数．条件：两个数同号．结论：这两个数的和一定不是负数；（2）是命题．改写：如果，那么．条件：．结论：；（3）不是命题；（4）是命题．改写：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．条件：两个数互为倒数．结论：这两个数的积为1． 【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的定义，逐一分析语句，即可解答． 解：（1）解：是命题．改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数．条件：两个数同号．结论：这两个数的和一定不是负数． （2）解：是命题．改写：如果，那么．条件：．结论：． （3）解：不是命题．因为它是一个操作指令，不是可以判断真假的陈述句． （4）解：是命题．改写：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．条件：两个数互为倒数．结论：这两个数的积为1． 【点拨】本题考查了命题的定义与结构，熟练掌握命题是判断一件事情的语句是解题的关键． 【题型 2】命题的真假判断 【例题2】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知，和． （1）如图1，请直接写出与的关系； （2）如图2，写出与的关系，并说明理由； （3）结合（1），（2）的结论，请用自己的语言归纳得到一个真命题． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可证明； （2）根据平行线的性质得，，则； （3）根据（1）（2）的结论归纳得到一个真命题,即可求解． 解：（1）解：，理由如下： 设交于， ∵， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 设交于， ∵， ∴，， ∴． （3）解：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 【变式1】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列语句中真命题的个数是（    ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②命题“对顶角相等”是真命题； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线性质、对顶角性质、平行线判定、垂线的基本事实，逐一判断各命题真假，统计真命题个数即可． 解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题错误，是假命题． ②对顶角的性质为对顶角相等，因此“对顶角相等”是真命题，原命题正确，是真命题． ③该命题未限定在同一平面内，不在同一平面时，满足，，与不一定平行，原命题错误，是假命题． ④根据垂线的基本事实，在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题正确，是真命题． 综上，真命题共有2个． 【变式2】（25-26七年级下·广东汕头·月考）下列命题中：①同旁内角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．真命题有______．（填序号） 【答案】② 【分析】根据平行线的判定、直角的性质、实数的性质和平行公理，逐一判断每个命题的真假即可．本题考查命题真假的判断，熟练掌握相关基础定理和性质是解题的关键． 解：①同旁内角相等，两直线平行，是假命题． 平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行． ②如果两个角是直角，那么它们相等，是真命题． 所有直角都等于，因此所有直角都相等． ③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题． 若两个实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数． ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题． 平行公理为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式3】（2025八年级上·北京·专题练习）写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假． 【答案】逆命题：同位角相等，两直线平行；真命题 【分析】本题主要考查的是写出一个命题的逆命题的方法的知识点，简单概括为条件和结论互相交换位置就是互逆命题的联系，此命题和逆命题都是常见的平行线的判定和性质，都是真命题． 解：∵原命题的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”， ∴交换题设和结论得到逆命题：“同位角相等，两直线平行”， 这个逆命题是真命题，是平行线的判定定理． 故答案为：逆命题：同位角相等，两直线平行；真命题． 【题型 3】互逆命题 【例题3】（24-25七年级下·江苏盐城·开学考试）回答以下问题 （1）如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）1；两直线平行，内错角相等；1；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，证明，根据平行线的判定，得出答案即可； （2）根据互逆命题的定义，进行判断即可． 解：（1）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）解：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” 是互逆的真命题． 【变式1】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）下列命题的逆命题正确的是（    ） A．同角的补角相等 B．关于某条直线对称的两个图形是全等形 C．等角的余角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】先将原命题改写成“如果…那么…”的形式，互换题设和结论得到逆命题，再根据相关几何概念和定理逐一判断逆命题的真假即可． 解：A项：原命题为“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”，逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角”，也可能是等角的补角，故逆命题错误； B项：原命题为“如果两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形是全等形”，逆命题为“如果两个图形是全等形，那么这两个图形关于某条直线对称”，全等图形位置任意，不一定关于某条直线对称，逆命题错误； C项：原命题为“如果有两个角是相等的角的余角，那么它们相等”，逆命题为“如果有两个角相等，那么这两个角是相等的角的余角”，也可能是同角的余角，故逆命题错误； D项：原命题为“如果两条直线平行，那么同旁内角互补”，逆命题为“如果同旁内角互补，那么两条直线平行”，这是平行线的判定定理，逆命题正确． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为_______． 【答案】两个角之和等于，则这两个角互为余角 【分析】本题主要考查逆命题；根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，即可解答． 解：∵原命题“互为余角的两个角之和等于”中，条件是“两个角互为余角”，结论是“这两个角之和等于”， ∴根据逆命题的定义，交换条件和结论，得逆命题为“如果两个角之和等于，那么这两个角互为余角”． 故答案为：两个角之和等于，则这两个角互为余角． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见分析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【题型 4】命题的证明 【例题4】（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 解：已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点拨】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级下·广西玉林·期中）填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 解：证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 【题型 5】几何与代数命题的推理与论证 【例题5】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． （1）当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； （2）当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 【答案】（1）7；（2）14 【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案； （2）根据三种情况进行分析，进而得出答案． 解：（1）解：总变化量：， 次数（至少）：， 故答案为：7； （2）解：①两张由反到正，变化：； ②两张由正到反，变化：； ③一正一反变一反一正，变化， 要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14， ∵14无法由4，，0相加得到， ∴不能全正，故不能所有纸牌全正； 故答案为：14． 【点拨】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·北京·期中）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为______． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 14 12 8 休息 0 0 0 0 0 【答案】35 【分析】根据题意，按照“选择高强度要求前一天必须休息”的规则，枚举所有符合要求的徒步方案，计算每种方案的总徒步距离，比较后得到最远距离. 解：枚举所有符合规则的方案，计算总距离如下： 当安排2次高强度，第1天高强度、第3天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第1天高强度、第4天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第1天高强度、第5天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第2天高强度、第4天高强度时，总距离为： 其余方案的总距离均小于， 比较得最远距离为. 【变式3】（2023八年级上·江苏泰州·竞赛）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值． 【答案】 【分析】此题主要考查了数的十进制，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小，推出它们乘积的最大值与最小值，然后计算它们的差即可得解．已知，因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．验证，8时均无解，当时，，，此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解． 解：首先两个数的和一定时，两个数的差越小，乘积越大，所以越大，乘积越大， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，，此时符合题意且积最大， 此时积为：． 【题型 6】定理与证明 【例题6】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． （1）等腰三角形的两个底角相等． （2）内错角相等，两直线平行． （3）对顶角相等． 【答案】（1）有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形；（2）有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等；（3）没有逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 解：（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点拨】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线”的逆定理是（   ） A．如果对应点连线被某直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 B．对称轴一定是对应点连线的垂直平分线 C．对应点连线的垂直平分线不一定是对称轴 D．两个图形如果不关于某直线对称，那么对称轴不是对应点连线的垂直平分线 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．根据原定理的条件和结论互换即可得到逆定理，即可求解． 解：原定理：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线． 逆定理：如果对应点连线被某直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称． 选项A表述为“如果对应点连线被某直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称”，这与逆定理一致． ∵ 逆定理是原定理的条件与结论互换， ∴ 选项A正确． 选项B是原定理的结论，不是逆定理；选项C否定了逆定理；选项D是原定理的否命题，不是逆定理． 故选：A． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是_________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线，互逆定理，等腰三角形的性质等知识点． 原定理的逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．这可以通过等腰三角形的性质和三角形内角和定理推导得出． 解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，理由如下： 如图，由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 故答案为：直角． 【变式3】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 （1） ， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ//CD（   （2）  ）， ∵AB//CD，且AB也过点G， ∴与（  （3） ）矛盾， 所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空： （1）___________； （2）___________； （3）请选择合理的依据（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】（1）∠BGF≠∠DHF；（2）同位角相等，两直线平行；（3）C 【分析】（1）根据反证法先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DHF； （2）根据平行线的判定条件即可填写； （3）根据平行公理即可选择． 解：（1）解：用反证法证明问题，先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DHF （2）同位角相等，两直线平行 （3）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 故选C 【点拨】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证的结果相反的命题，再根据已知条件进行证明，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确． 【题型 7】反证法 【例题7】（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 【答案】见分析 【分析】假设不大于，即或，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质分别证明假设不成立，由此得出原命题成立． 本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的证明步骤是解题的关键． 解：如图，已知：在中，．求证：． 证明：假设不大于，即或． 当时，，这与已知条件相矛盾； 当时，如图，在边上截取， 则， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 即， 这与已知条件相矛盾； 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ∴， 即在三角形中，大角对大边． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代的数学发展过程中也起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，其是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的一个例子，我们用反证法证明命题“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，应先假设（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形不是平行四边形 C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形 【答案】C 【分析】此题考查了反证法的证明的第一步，注意从结论的反面出发假设是解题关键． 反证法即假设结论的反面成立，即可得出答案． 解：用反证法证明命题“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，应先假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形， 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期末）数学课上，同学提出如下问题： 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线所截EF，AB∥CD，那么∠EOB=．” 如图2，假设∠EOB≠，过点O作直线A'B'，使=，可得∥CD．这样过点O就有两条直线AB，都平行于直线CD，这与基本事实_________矛盾，说明∠EOB≠的假设是不对的，于是有∠EOB=∠． 小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 请补充上述证明过程中的基本事实：_________________________ 【答案】 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【分析】直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案． 解：假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，依据基本事实 同位角相等，两直线平行，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实： 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【点拨】本题考查了反证法，正确掌握反证法的基本步骤是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级下·上海·阶段检测）当直接证明一个命题为真命题有困难时，我们可以先假设求证的结论不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的结论正确，这种证明方法称为反证法．反证法是数学中一种常用的证明方法，它的一般证明思路是：第一步：假设求证的结论不成立； 第二步：基于假设进行逻辑推理， 第三步：推导出与条件、公理、定理等相矛盾的结果， 第四步：从而假设不成立，求证的结论正确． （1）阅读正文并解答下列问题： 如图1，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若， 如图2，在内部作，交于点D． ∵， ∴； ∴， ∵ 即：， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立： ②若， ··· 综上，． 请你补充②中所缺失的部分 （2）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设______． （3）如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证：用反证法证明：线段与不垂直． 【答案】（1）见分析；（2）三角形的三个内角中，三个内角都大于；（3）见分析 【分析】本题主要考查了反证法，菱形的性质与判定，三角形中位线定理等等，熟知反证法是解题的关键． （1）若，则，这与已知相矛盾，据此证明即可； （2）反证法第一步应假设结论不成立，即应假设三角形的三个内角中，三个内角都大于； （3）假设线段与垂直，根据三角形中位线定理得到，则四边形是平行四边形，线段与垂直，则四边形是菱形，可得，进而得到，这与均不相等矛盾，据此可证明结论． 解：（1）解：若，则，这与已知相矛盾， ∴假设不成立： 综上，． （2）解：用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设三角形的三个内角中，三个内角都大于； （3）证明：假设线段与垂直， ∵点D、E、F分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵线段与垂直， ∴四边形是菱形， ∴， ∴，这与均不相等矛盾， ∴假设不成立， ∴线段与不垂直． 二.同步检测 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1．（25-26七年级下·广东汕头·期中）下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 【答案】D 【分析】命题是对某一事件作出判断的语句，据此对各选项逐一判断即可. 解：A、赶紧写作业！是祈使句，未对事件作出判断，不是命题； B、你喜欢陇南吗？是疑问句，未对事件作出判断，不是命题； C、画一条端点为A的射线，是操作指令，未对事件作出判断，不是命题； D、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对该事件作出了明确判断，是命题. 2．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【答案】D 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 3．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列语句中，是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．若，则 D．对于直线a，b，c，如果，，那么 【答案】D 【分析】运用对顶角性质、平行线性质、平方的性质等知识点，逐个判断选项即可得到正确结论． 解：A．相等的角不一定是对顶角，如平行线的同位角相等，但不是对顶角，因此A是假命题； B．只有两直线平行时，同旁内角才互补，选项缺少前提条件，因此B是假命题； C．若，则或，例如满足但，因此C是假命题； D．根据平行线的性质，平行于同一直线的两条直线互相平行，因此若，，则，D是真命题． 4．（25-26七年级下·河北唐山·期中）对于命题“如果，，那么”，下面四组值中，能说明这个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 解：A、，，则，不能说明这个命题是假命题； B、，，则，能说明这个命题是假命题； C、，不符合条件，不能说明这个命题是假命题； D、，，不符合条件，不能说明这个命题是假命题． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．原命题与逆命题同为真命题或同为假命题 D．定理的逆命题是真命题 【答案】A 【分析】根据命题，逆命题，定理，逆定理的基本概念，根据相关概念逐一判断选项即可得到结果． 解：根据定义，交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题． 任意命题都可以写成“如果…那么…”的形式，都能交换题设和结论得到逆命题，故每个命题都有逆命题，选项A正确． 定理是经过证明的真命题，只有定理的逆命题也是真命题时，原定理才有逆定理；若逆命题为假，原定理没有逆定理，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，原定理没有逆定理，因此B错误． 原命题的真假和逆命题的真假没有必然关系，原命题为真时逆命题可以为假，例如“对顶角相等”原命题为真，逆命题为假，因此原命题与逆命题不一定同真同假，C错误． 定理的逆命题既可能是真命题也可能是假命题，因此D错误． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．根据反证法先假设结论的反面成立，进行判断即可． 解：由题意得，应先假设； 故选：D． 7．（24-25八年级下·福建三明·期中）已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，即可证明结论． 解：先要假设每个数大于， 则四个正数的和大于1， 与已知已知四个正数的和等于1矛盾， 故至少有一个数不大于， 故选：C． 8．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与逆命题的基本概念．命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此所有命题都有逆命题．但定理的逆命题不一定成立，真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题不一定为假． 解：A、任何命题都可以通过交换条件和结论得到逆命题，即所有的命题都有逆命题，选项正确； B、定理的逆命题不一定为真，如“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立，即不是所有定理都有逆定理，选项错误； C、真命题的逆命题可能为假，如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假，选项错误； D、假命题的逆命题可能为真，如“若两个角相等，则它们是对顶角”的逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真，选项错误； 故选：A． 9．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）下列命题是真命题的是（   ） A．数轴上距离原点越远的数越大 B．坐标轴上的点不属于任何象限 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 【答案】B 【分析】根据数轴，平面直角坐标系，点到直线的距离，平行线的性质等相关基本概念，逐一判断各命题的真假即可得到答案． 解：A．∵数轴上原点左侧的负数，距离原点越远，数值越小，∴A是假命题． B．根据平面直角坐标系的定义，坐标轴上的点不属于任何象限，∴B是真命题． C．∵只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，命题未给出两直线平行的前提，∴C是假命题． D．∵直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫作点到直线的距离，距离是长度不是垂线段本身，∴D是假命题． 10．（25-26七年级下·山东烟台·期中）下列命题中真命题的个数有（   ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④不是对顶角的角不相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据垂线，平行线的相关性质，对顶角的概念，平行公理，逐一进行判断即可. 解：① 该命题未限定“在同一平面内”，该结论仅在同一平面内成立，因此原命题是假命题； ② 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，原命题缺少条件，因此是假命题； ③ 只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原命题缺少条件，因此是假命题； ④ 两个相等的同位角，不是对顶角但相等，因此原命题是假命题； ∴ 四个命题均为假命题，真命题的个数为0. 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断______的说法是正确的． 【答案】乙 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据命题的定义对两种说法进行判断． 解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 12．（11-12七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】先拆分原命题得到题设与结论，再按照要求改写为“如果……那么……”的形式即可． 解：命题“对顶角相等”中，题设为两个角是对顶角，结论为这两个角相等， 因此改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 13．（25-26七年级下·江苏常州·期中）说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需要满足即可． 解：当时，满足，此时，不满足， 故反例可以是． 14．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到原命题的逆命题． 解：“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设_________． 【答案】每一个内角都大于 【分析】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键．写出与结论相反的假设即可． 解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故答案为：每一个内角都大于． 16．（25-26八年级下·河南开封·期中）写出一对互逆定理：__________． 【答案】两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行（答案不唯一） 【分析】本题考查了互逆定理的概念：如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理． 根据互逆定理的定义，找出原命题和逆命题都为真命题的一对定理即可． 解：举例：原定理为“两直线平行，同位角相等”，其逆命题为“同位角相等，两直线平行”， 该逆命题已被证明为真命题，因此二者是一对互逆定理． 17．（25-26七年级下·云南·期中）命题“等角的补角相等”是一个_______________（填“真命题”或“假命题”）． 【答案】真命题 【分析】根据补角的性质判断命题的真假即可． 解：设这两个角分别为和，且； 根据等式的性质可得，即等角的补角相等， 故原命题是真命题． 18．（2026九年级下·北京·专题练习）能说明命题“若，，则”是假命题的一组实数、的值为______，______． 【答案】 2（答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】由可知，、同正或同负；由可知，，若要命题是假命题，只需找到时，，此时、同正，据此取、值即可． 解：当，时，，，， 此时满足，，但，则命题是假命题． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，直线，相交于点．已知条件：①平分；②平分；③． （1）选择两个条件作为题设，另外一个条件作为结论组成一个真命题，并证明； （2）在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】（1）题设：①②；结论：③；证明见分析（答案不唯一）；（2） 【分析】本题考查了对顶角、邻补角以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）根据邻补角互补结合已知找出；（2）通过比例关系结合邻补角互补求出的度数． （1）根据邻补角互补可得出，结合角平分线和垂直的定义可以证明； （2）由结合邻补角互补、对顶角相等，可求出的度数，根据平分、平分，可得出的度数以及，再根据邻补角互补结合，可求出的度数，进而可得答案． 解：（1）解：题设：①②；结论：③；（或题设：①③；结论：②；或题设：②③；结论：①） 证明：∵平分，平分， ∴，． ∴， ∴； 题设：①③；结论：②； 证明：∵平分， ∴， ∴； ∴，， ∴，即平分， 题设：②③；结论：①，同理可证． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（本小题满分8分）（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 解：（1）解：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线性质以及三角形外角的性质，掌握平行线性质和三角形外角的性质是解题的关键. 根据两直线平行，内错角相等以及三角形外角的性质即可解答. 解：如图，延长交于点M． ， ， ． 又， ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，．现有2个条件：①；②． （1）请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 【答案】（1）①，②（或②，①）；（2）见分析 【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 解：（1）解：选择的条件是①，结论是②或选择的条件是②，结论是①． （2）证明：方法一：选择的条件是①，结论是②，则证明如下： （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 方法二：选择的条件是②，结论是①，则证明如下： （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （等量代换）． （已知）， （等角的余角相等）． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·广西南宁·期中）探究与证明 【推理证明】 （1）如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 （2）若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 （3）如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行；3；3；两直线平行，内错角相等；等量代换；（2）真命题，理由见分析；（3）4 【分析】（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （2）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （3）分别写出四种情况，分别进行说明和证明即可得到结论． 解：（1）证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）， 又∵ （已知）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）； （2）解：真命题，理由如下： ∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3）解： 在（1）中已经证明，条件：①②④，结论：③，为真命题； 在（2）中已经证明，条件：①②③，结论：④，为真命题； 条件：②③④，结论：①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 条件：①③④，结论：②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 综上可知，共4个真命题． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． （1）验证：判断数对是否为异差数对； （2）推理证明：当时，数对一定是异差数对； （3）判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 【答案】（1）数对是异差数对；（2）见分析；（3）该命题是假命题．反例不唯一，例如异差数对满足条件，但，不满足． 【分析】（1）代入数值计算，根据异差数对的定义验证判断即可． （2）由得出，进而得出，即可证明． （3）由（2）可知原命题不成立，然后举反例即可． 解：（1）解：∵，，， ∴数对是异差数对． （2）证明：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 即数对一定是异差数对． （3）解：该命题是假命题． 由（2）的结论可知，当时，数对也可以是异差数对，因此原命题不成立． 举反例：数对是异差数对，其中，，满足是异差数对，但，不满足，原命题是假命题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 12.3 定义 命题 证明全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】定义 1 【知识点二】命题 1 【知识点三】原命题与逆命题 2 【知识点四】证明 2 【知识点五】定理 2 【知识点六】反证法 2 【题型 1】命题与命题构成 2 【题型 2】命题的真假判断 3 【题型 3】互逆命题 4 【题型 4】命题的证明 5 【题型 5】几何与代数命题的推理与论证 6 【题型 6】定理与证明 7 【题型 7】反证法 9 二.同步检测 11 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 11 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】定义 对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义。 【知识点二】命题 可以判断真假的陈述句叫作命题。 判断正确、符合客观事实的命题叫作真命题；假命题：判断错误、不符合客观事实的命题叫作假命题。 【知识点三】原命题与逆命题 原命题：在互逆命题的两个命题中，被作为原始陈述的那个命题，称为原命题。 逆命题定义：将原命题的条件与结论互换位置得到的新命题，称为原命题的逆命题。 【知识点四】证明 从命题的条件出发，根据一些已知的事实（如概念的定义，基本性质，真命题等），用“因为…,所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 【知识点五】定理 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理。 【知识点六】反证法 1、定义：我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法。 2、反证法步骤： （1）先假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发,经过若干步推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立。 【题型 1】命题与命题构成 【例题1】（25-26七年级下·福建南平·月考）如图，给出如下三个关系：①；②；③．选择其中两个作为条件，剩余一个作为结论，组成一个真命题． （1）你组合的命题条件为_____，结论为__________；（填字号即可） （2）请你证明这个命题． 【变式1】（25-26七年级下·上海崇明·期中）下列语句中，是命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗 C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等 【变式2】（25-26七年级下·山东淄博·期中）把命题“等角的余角相等”改写成“如果......那么......”的形式___． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元复习）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……，那么……”的形式，再指出命题的条件和结论． （1）同号两数的和一定不是负数． （2）若，则． （3）延长线段AB至点C，使B是AC的中点． （4）互为倒数的两个数的积为1． 【题型 2】命题的真假判断 【例题2】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知，和． （1）如图1，请直接写出与的关系； （2）如图2，写出与的关系，并说明理由； （3）结合（1），（2）的结论，请用自己的语言归纳得到一个真命题． 【变式1】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列语句中真命题的个数是（    ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②命题“对顶角相等”是真命题； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26七年级下·广东汕头·月考）下列命题中：①同旁内角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．真命题有______．（填序号） 【变式3】（2025八年级上·北京·专题练习）写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假． 【题型 3】互逆命题 【例题3】（24-25七年级下·江苏盐城·开学考试）回答以下问题 （1）如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【变式1】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）下列命题的逆命题正确的是（    ） A．同角的补角相等 B．关于某条直线对称的两个图形是全等形 C．等角的余角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为_______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【题型 4】命题的证明 【例题4】（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【变式3】（25-26七年级下·广西玉林·期中）填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【题型 5】几何与代数命题的推理与论证 【例题5】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． （1）当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； （2）当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【变式2】（25-26七年级下·北京·期中）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为______． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 14 12 8 休息 0 0 0 0 0 【变式3】（2023八年级上·江苏泰州·竞赛）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值． 【题型 6】定理与证明 【例题6】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． （1）等腰三角形的两个底角相等． （2）内错角相等，两直线平行． （3）对顶角相等． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线”的逆定理是（   ） A．如果对应点连线被某直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 B．对称轴一定是对应点连线的垂直平分线 C．对应点连线的垂直平分线不一定是对称轴 D．两个图形如果不关于某直线对称，那么对称轴不是对应点连线的垂直平分线 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是_________三角形． 【变式3】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 （1） ， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ//CD（   （2）  ）， ∵AB//CD，且AB也过点G， ∴与（  （3） ）矛盾， 所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空： （1）___________； （2）___________； （3）请选择合理的依据（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【题型 7】反证法 【例题7】（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代的数学发展过程中也起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，其是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的一个例子，我们用反证法证明命题“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，应先假设（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形不是平行四边形 C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形 【变式2】（24-25七年级下·北京·期末）数学课上，同学提出如下问题： 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线所截EF，AB∥CD，那么∠EOB=．” 如图2，假设∠EOB≠，过点O作直线A'B'，使=，可得∥CD．这样过点O就有两条直线AB，都平行于直线CD，这与基本事实_________矛盾，说明∠EOB≠的假设是不对的，于是有∠EOB=∠． 小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 请补充上述证明过程中的基本事实：_________________________ 【变式3】（24-25九年级下·上海·阶段检测）当直接证明一个命题为真命题有困难时，我们可以先假设求证的结论不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的结论正确，这种证明方法称为反证法．反证法是数学中一种常用的证明方法，它的一般证明思路是：第一步：假设求证的结论不成立； 第二步：基于假设进行逻辑推理， 第三步：推导出与条件、公理、定理等相矛盾的结果， 第四步：从而假设不成立，求证的结论正确． （1）阅读正文并解答下列问题： 如图1，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若， 如图2，在内部作，交于点D． ∵， ∴； ∴， ∵ 即：， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立： ②若， ··· 综上，． 请你补充②中所缺失的部分 （2）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设______． （3）如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证：用反证法证明：线段与不垂直． 二.同步检测 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1．（25-26七年级下·广东汕头·期中）下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 2．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 3．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列语句中，是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．若，则 D．对于直线a，b，c，如果，，那么 4．（25-26七年级下·河北唐山·期中）对于命题“如果，，那么”，下面四组值中，能说明这个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．原命题与逆命题同为真命题或同为假命题 D．定理的逆命题是真命题 6．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·福建三明·期中）已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 8．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 9．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）下列命题是真命题的是（   ） A．数轴上距离原点越远的数越大 B．坐标轴上的点不属于任何象限 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 10．（25-26七年级下·山东烟台·期中）下列命题中真命题的个数有（   ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④不是对顶角的角不相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断______的说法是正确的． 12．（11-12七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式________． 13．（25-26七年级下·江苏常州·期中）说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 14．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设_________． 16．（25-26八年级下·河南开封·期中）写出一对互逆定理：__________． 17．（25-26七年级下·云南·期中）命题“等角的补角相等”是一个_______________（填“真命题”或“假命题”）． 18．（2026九年级下·北京·专题练习）能说明命题“若，，则”是假命题的一组实数、的值为______，______． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图，直线，相交于点．已知条件：①平分；②平分；③． （1）选择两个条件作为题设，另外一个条件作为结论组成一个真命题，并证明； （2）在（1）的条件下，若，求的值． 20．（本小题满分8分）（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，，，．求的度数． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，．现有2个条件：①；②． （1）请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·广西南宁·期中）探究与证明 【推理证明】 （1）如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 （2）若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 （3）如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． （1）验证：判断数对是否为异差数对； （2）推理证明：当时，数对一定是异差数对； （3）判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $