8.6.3 平面与平面垂直（第3课时 二面角）同步练习题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练习通过“例题引领-基础巩固-能力提升”三层设计，以二面角的判定与计算为核心，从单一几何体到综合动态问题，构建“概念理解-运算应用-创新探究”的知识巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|二面角在长方体、阳马等几何体中的应用|结合典型模型，设置证明与计算双问，奠定方法基础| |A组基础达标|二面角的平面角判定、基本计算及简单应用|通过正方体、圆锥等基础模型，以选择、填空、解答题巩固概念与运算| |B组能力提升|二面角与折叠问题、动态探究的综合应用|设置折叠几何体、动点问题，提升空间想象与逻辑推理能力|

8.6.3　平面与平面垂直（第3课时　二面角） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接得，由线面平行的判定定理可得答案； （2）与全等得，进而，，可得为二面角的平面角，在中计算可得答案. 【详解】（1）连接，设，连接，因为平面为正方形，所以为的中点， 在中，为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为， 所以与全等，所以，又， 取的中点为M，连接，则有，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【例2】我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质及判定得出，由等腰三角形三线合一得出，即可证明； （2）由二面角定义分析出平面角即可求解． 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以， 又因为底面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为，E为线段的中点，所以， 又平面， 所以平面． （2）由正方形得，， 因为底面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 在中，，所以． 【例3】如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需利用线面垂直的判定定理证明出平面即可得证； （2）首先作于，过作于，证明即为二面角的平面角，即可得解. 【详解】（1）连接， 在直三棱柱中，平面， 平面，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面，， ，四边形是正方形，， ，平面，平面， 平面，平面，； （2）过点作于，过作于，连， 在直三棱柱中，平面，平面，， ，平面，平面， 平面，平面，平面， ，， 又，，平面，平面， 平面，平面，， 是二面角的平面角， ，，， ，， 为直角，，， 二面角的正弦值为. 【例4】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面为线段的中点，. (1)证明：无论取何值，均有平面平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用线面垂直可证明线线垂直，再通过线线垂直证明线面垂直，从而可证明平面，即可证明面面垂直； （2）利用垂直关系可直接作出二面角的平面角，再利用余弦值来求解边长，从而问题即可求解. 【详解】（1）因为为线段的中点，所以， 又因为底面，底面， 所以，又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 即无论取何值，均有平面平面； （2）因为平面，平面， 所以即二面角的平面角就是， 若平面与平面夹角的余弦值为，则， 因为平面，又因为平面，所以， 即，因为， 所以，根据勾股定理可得：， 又因为，，所以. 【A组基础达标】 一、单选题 1．在正方体中，二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二面角的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 在正方体中，平面， 因为、平面，所以，， 易知为等腰直角三角形，且， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 故选：B. 2．如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知条件找出二面角的平面角，然后根据等腰直角三角形求出平面角的大小，从而得到答案. 【详解】， 点在以为直径的圆的圆周上， 平面平面，, 又平面平面， 因为平面，所以, 是二面角的平面角， 又. 故选：C. 3．正四棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直，得到即为侧面与底面所成角，求出各边长，得到. 【详解】连接相交于点，取的中点，连接，，， 则⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，⊥，所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为侧面与底面所成角， 正四棱锥的所有棱长均为2，故， 由勾股定理得， 由， 故. 故选：D 4．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线上两点间的距离公式求异面直线所成的角，再根据二面角的概念求解. 【详解】设异面直线与所成的角为， 则根据异面直线上两点的距离公式可得：， 即，所以. 因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于， 所以面与平面的夹角为. 故选：C 5．四边形与均是边长为4的正方形，如果二面角的大小为，那么与平面的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据二面角的定义可知 为二面角的平面角，再根据题意求解与平面的距离. 【详解】由题可知，平面平面 所以为二面角的平面角 所以 , 因为、平面 所以平面 因为平面 所以平面平面 如图，过 作 平面 于 点, 则 必在 上. 由 平面 , 知 为 与平面 的距离 在直角三角形中， 故选：A 6．如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的大小可得长度关系，利用线线平行得异面直线所成角，根据余弦定理即可求解. 【详解】取中点为连接，由于和均为等边三角形，所以故为二面角的平面角，即， 由于为等边三角形，故，进而, 又, 由余弦定理可得, 由于,所以即为直线与所成角或其补角， 所以直线与所成角的余弦值为， 故选：B    二、多选题 7．在正方体中，下列选项中，正确的是（    ） A． B．与所成的角为 C．二面角 的平面角为 D．与平面所成的角为 【答案】AB 【分析】由和，可判定A正确；由，转化为与所成的角，因为为等边三角形，可判定B正确；证得，得到为二面角的平面角，在等腰直角中，可判定C错误；由平面，得到为直线与平面所成的角，在直角中，可判定D错误. 【详解】对于A中，在正方体，可得， 在正方形中，可得，所以，所以A正确； 对于B中，在正方体，可得， 所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，即， 因为为等边三角形，所以，所以B正确； 对于C中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，在等腰直角中，可得， 即二面角的大小为，所以C错误； 对于D中，在正方体中，可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 在直角中，，所以，所以D错误. 故选：AB. 8．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，点C在底面圆周上，且二面角的大小为45°，则（    ） A．的面积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．该圆锥的体积为π 【答案】BD 【分析】根据二面角的定义与圆锥的几何性质逐项判断即可. 【详解】如图，取中点，则， 由二面角定义可知，. 对于A，在中，，所以， 所以，，故C错误； 所以，故A错误； ，故B正确； ，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 9．如图，三棱柱中，侧面是菱形，侧面是正方形，，点是的中点，二面角平面角的大小为，则的长为__________. 【答案】1 【分析】取的中点，连接，由几何性质可得为二面角的平面角，再由余弦定理可得. 【详解】 取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又侧面是正方形，点是的中点， 所以，即为二面角的平面角，且大小为， 所以，由余弦定理可得，解得. 故答案为：1. 10．已知二面角的大小为130°，两条异面直线a，b满足，，且，，则a，b所成角的大小为___________. 【答案】50° 【分析】利用a，b所成角与二面角的平面角的关系求解. 【详解】解：由题意知a，b所成角与二面角的平面角互补， 又二面角的大小为130°， 所以a，b所成角的大小为50°. 故答案为：50° 四、解答题 11．已知正方体的棱长为2. (1)证明：； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明线面垂直，进而根据线面垂直的性质求解， （2）根据二面角的定义可得为所求，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）在正方体中，， 平面，平面，. 又，､平面，平面. 又平面，. （2）连接AC，与交于点，连结， ， 是二面角的平面角， ∴二面角的正切值为. 12．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，再结合，利用线面垂直的判定定理可证平面. （2）根据平面，得到即为二面角的平面角，再在中，求的正弦. 【详解】（1）因为，，所以，. 又，，所以. 所以. 所以. 因为，即， 所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，. 所以即为二面角的平面角. 在中，，，，所以， 所以. 即二面角的正弦值为. 【B组能力提升】 1．如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，取的中点，连接，．   ，， 为二面角的平面角， 根据已知条件可得，，． 在中，由余弦定理， ， ． 2．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定正三棱锥底面中心的位置，结合图形确定侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正弦的定义计算所求正弦值. 【详解】如图所示，正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，取中点，连接、， 由正三棱锥性质，，， 可知是侧面与底面所成二面角的平面角，且（棱锥的高），，为直角三角形. 由底面正三角形边长为，其高为，正三角形中心分高的比为， 可知中心到边的距离：. 在中：， 二面角的正弦值：. 3．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱.若二面角的平面角为，且，则________________. 【答案】 【分析】由图可得，利用空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故答案为： 4．把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为______. 【答案】/0.75 【分析】设的中点为，连接，根据题意易得即为二面角的平面角，故，设分别为的中点，连接，可得（或其补角）为异面直线AB与CD所成角，进而求解即可. 【详解】设的中点为，连接， 在正方形中，， 因此折叠后，即为二面角的平面角，故， 设分别为的中点，连接， 则，即（或其补角）为异面直线AB与CD所成角， 设正方形的边长为2，则， 又，，则，则， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 故答案为：. 5．如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)若F为中点，且，求二面角的余弦值； (3)若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理得到平面，再由线面垂直的性质定理可证； （2）先由二面角的定义得到是二面角的平面角，然后利用余弦定理解三角形可得结果； （3）设，则，以为底，三棱锥的高的最大值为，然后利用三棱锥体积公式表示三棱锥的体积，利用二次函数的最值可得结果. 【详解】（1），，， 将沿折起，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，. （2）由（1）可知，，，二面角的平面角为， 由F为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. （3）由D为中点，得，设，则， 以为底的三棱锥的高为点到底面的距离，则距离的最大值为， 所以三棱锥的体积， 当且仅当时取等号，所以三棱锥的体积的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.3　平面与平面垂直（第3课时　二面角） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【例2】我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小． 【例3】如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 【例4】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面为线段的中点，. (1)证明：无论取何值，均有平面平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【A组基础达标】 一、单选题 1．在正方体中，二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（    ） A． B． C． D． 3．正四棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（    ） A． B． C． D． 5．四边形与均是边长为4的正方形，如果二面角的大小为，那么与平面的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 7．在正方体中，下列选项中，正确的是（    ） A． B．与所成的角为 C．二面角 的平面角为 D．与平面所成的角为 8．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，点C在底面圆周上，且二面角的大小为45°，则（    ） A．的面积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．该圆锥的体积为π 三、填空题 9．如图，三棱柱中，侧面是菱形，侧面是正方形，，点是的中点，二面角平面角的大小为，则的长为__________. 10．已知二面角的大小为130°，两条异面直线a，b满足，，且，，则a，b所成角的大小为___________. 四、解答题 11．已知正方体的棱长为2. (1)证明：； (2)求二面角的正切值. 12．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【B组能力提升】 1．如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 2. 已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱.若二面角的平面角为，且，则________________. 4．把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为______. 5．如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)若F为中点，且，求二面角的余弦值； (3)若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $