8.6.3 第1课时　平面与平面垂直的判定定理 同步练习 -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练习通过“例题引领-基础巩固-能力提升”三层设计，以判定定理应用为主线，从单一证明到综合探究，培养空间观念与推理能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|平面与平面垂直判定定理直接应用|以圆锥、四棱锥等模型为载体，设置5道证明题，强化线面垂直转化| |A组基础达标|判定定理概念辨析与简单应用|含选择、填空、解答题（11题），如三角板折叠问题，巩固基础推理| |B组能力提升|判定定理综合应用与探究|设置动态点、折叠体积等问题（5题），如阳马模型探究，发展创新意识|

8.6.3　平面与平面垂直 （第1课时　平面与平面垂直的判定定理） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 【例2】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，． (1)证明：． (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明： 连接． 在中，因为E，F分别是，的中点， 所以是的中位线，则， 同理可得， 所以． (2)证明： 设，连接． 因为四边形为平行四边形， 所以互相平分， 在中，，O是的中点，所以， 在中，，O是的中点，所以， 又，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 【例3】在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判定推理得证. 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【例4】如图，正四棱台的高为3，且 (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设交于，连接并交于，连接，则根据线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取OC中点，连接，先证四边形为平行四边形，结合，利用线面垂直的性质得平面，根据线面角的定义得即为所求，最后在中求解即可. 【详解】（1）设交于，连接并交于，连接， 由正四棱台的性质可知平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）取OC中点，连接，则， 所以四边形为平行四边形，所以，而平面， 故平面，所以为与平面所成角， ，， ， 所以，即与平面所成角的余弦值为. 【例5】如图所示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当为中点时面面，证明见解析 【分析】（1）依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得证； （2）当为中点时，面面，首先证明，由线面垂直的性质得到，从而得到平面，即可得证. 【详解】（1），为的中点． ，平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， ． （2）存在点，当为中点时，面面； 证明如下： 四边形是正方形，为的中点，则， 所以，又，所以 ， 由（1）知，平面，平面，， 又，平面，平面， 平面， 平面平面．    【A组基础达标】 一、单选题 1．直线平面，平面，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．以上均有可能 【答案】C 【分析】根据面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】因为直线平面，平面， 根据面面垂直的判定定理可得，即与的位置关系是垂直. 故选：C 2．对于直线和平面，，下列条件一定能得到的是（  ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】AB选项，可举出反例；C选项，由平行和垂直关系可得，C错误；D选项，先得到，进而得到面面垂直. 【详解】A选项， ， ，则平面，也可能相交且不垂直，A错误； B选项， ， ，则平面，也可能相交或平行，B错误； C选项， ，则 ，则 ，C错误； D选项， ，则 ，又 ，则 ，D正确. 故选：D 3．已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合面面垂直的判定判断得解. 【详解】由，得在平面内有一条直线与平行， 又，所以，所以； 由，得或. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 4．已知直四棱柱的底面ABCD是正方形，则下列结论不一定成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据直棱柱的结构特征，依次判断各项的正误即可. 【详解】如下图所示，直四棱柱的底面ABCD是正方形，结合直棱柱的结构特征， 易知平面平面，平面平面，平面平面，故A，B，C成立； 当且仅当直四棱柱为正方体时，平面平面，D不一定成立. 故选：D 5．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面， 又因为平面平面，，且平面， 所以平面， 所以①正确； 对于②中，由平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，所以②正确； 对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确； 对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面， 若平面平面，且平面平面，可得平面， 又因为平面，所以， 因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误. 故选：C. 二、多选题 6．在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】BD 【分析】根据正三棱柱的性质以及相关判定定理，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】在正三棱柱中，，又，故与不平行，A错误； 由题得，，， 所以，所以，B正确； 因为平面，平面，， 且在平面与平面的交线上，与不垂直， 所以平面与平面不垂直，C错误； 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，且，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，D正确． 故选：BD. 7．如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ACD 【分析】由题意易得，进而可证平面判断A；若平面，可得，可判断B；由平面，可判断C；由已知可得平面，进而可判断D. 【详解】对于A，因为垂直于圆所在的平面，又在圆所在的平面内，所以， 又为圆的直径，所以，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，若平面，又平面，则， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，这与为圆的直径矛盾， 故平面不成立，故B错误； 对于C，因为垂直于圆所在的平面，即平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，因为平面，又平面， 所以，又，，又平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 8．如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，将，，分别沿折起；使三点重合于点G，则在四面体中，与平面垂直的一个平面为______. 【答案】平面（或平面） 【分析】根据正方形性质可得相应线线垂直，从而根据线面、面面垂直的判定定理即可得到结论. 【详解】在正方形ABCD中，， 故在四面体中，， 平面，故平面， 而平面，故平面平面， 同理平面平面， 故答案为：平面（或平面） 9．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，，M是上的一动点，当点M满足__________时，平面平面． （只要填写一个你认为正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一，，等都可） 【分析】先确定所填答案，如，再证明平面平面即可，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】由题知底面为菱形，则． 因为平面，平面，所以． 又，，平面，所以平面． 又平面，所以． 又，，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 故答案为：（答案不唯一，，等都可）. 四、解答题 10．已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由已知的线面垂直关系与圆上的垂直关系出发去推导； （2）由线面垂直推导出面面垂直. 【详解】（1）是圆的直径，是圆上一点，. 平面,平面, 又平面, 平面. 又平面, . （2）由题（1）可知平面, 又平面, 平面平面. 11．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得，再由线面平行的判定定理即可证结论； （2）由线面垂直的性质、等腰三角形的性质得、，再由线面垂直的判定有平面，最后根据面面垂直的判定即可证结论. 【详解】（1）由于分别为棱的中点，故， 又平面，且不在平面上， 所以平面； （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【B组能力提升】 1．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间直线和平面的位置关系，举反例可判断ABD，利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可判断C. 【详解】对A，记，如图，当时，，错误；    对B，若，直线有可能平行，有可能异面，错误；    对C，过直线作平面与平面相交于直线，因为，所以，    又，所以，又，所以，正确； 对D，如下图，，当时，满足，此时两平面不平行，错误.    故选：C 2．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 【答案】D 【分析】利用反证法可判断A；当移动到点时，可得，进而可判断B；利用反证法可得，进而可判断C；利用线线垂直可证得底面，进而可证平面平面成立，可判断D. 【详解】若，又平面，平面，所以平面， 这与平面矛盾，所以不存在点，使得，故A错误； 当移动到点时，可得，平面，平面， 所以平面，故存在点，使得平面，故B错误； 若对于任意点，，又四边形为长方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又底面，所以，又， 这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾， 所以对于任意点，不成立，故C错误； 由正方形，可得， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 3．在正方体中，分别是的中点，在上，若平面平面，则__________． 【答案】2 【详解】画出图像如下图所示，由图可知，要两个平面垂直，注意到是恒成立的，则只需就有平面，显然，当为中点时，，，即，从而平面，也即有平面平面，所以. 点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查已知面面垂直探究点的位置.要使两个平面垂直，就需要满足面面垂直的判定定理，也即是要在一个平面上找到另一个平面的垂线，根据图像可以判断出最有可能满足条件，使得，利用全等三角形易得为中点. 4．如图，平行四边形ABCD中，，，E是边AB的中点，将沿直线DE折起，构成如图所示的四棱锥，则四棱锥体积的最大值为__________. 【答案】 【分析】易得当平面平面BCDE时，四棱锥的体积最大，再根据棱锥的体积公式计算即可. 【详解】由题意，当平面平面BCDE时，四棱锥的体积最大， 因为，，所以为等边三角形， 所以等边三角形的高为， 所以四棱锥的高最长为，体积的最大值. 5．如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.3　平面与平面垂直 （第1课时　平面与平面垂直的判定定理） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【例2】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，． (1)证明：． (2)证明：平面平面． 【例3】在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【例4】如图，正四棱台的高为3，且 (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 【例5】如图所示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论. 【A组基础达标】 一、单选题 1．直线平面，平面，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．以上均有可能 2．对于直线和平面，，下列条件一定能得到的是（  ） A． ， B． ， C． ， D． ， 3．已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知直四棱柱的底面ABCD是正方形，则下列结论不一定成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 5．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 6．在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 7．如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 三、填空题 8．如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，将，，分别沿折起；使三点重合于点G，则在四面体中，与平面垂直的一个平面为______. 9．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，，M是上的一动点，当点M满足__________时，平面平面． （只要填写一个你认为正确的条件即可） 四、解答题 10．已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 11．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【B组能力提升】 1．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 3．在正方体中，分别是的中点，在上，若平面平面，则__________． 4．如图，平行四边形ABCD中，，，E是边AB的中点，将沿直线DE折起，构成如图所示的四棱锥，则四棱锥体积的最大值为__________. 5．如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $