精品解析：河南信阳高级中学新校（贤岭校区）2026届普通高等学校招生全国统一考试模拟预测数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026届普通高等学校招生全国统一考试模拟预测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则 A. {1,3} B. {3,5} C. {5,7} D. {1,7} 2. 若复数 满足 ，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 设函数满足，，则的图像可能是（ ） A. B. C. D. 5. 某独唱比赛共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定．甲不是第一个出场的概率（ ） A. B. C. D. 6. 风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（   ）（注：，） A. 9级 B. 11级 C. 13级 D. 15级 7. 设函数=（＞0，＜）的最小正周期为，且=，则（ ） A. 在单调递减 B. 在单调递减 C. 在单调递增 D. 在单调递增 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在六棱柱中，底面为正六边形，则（　　） A. B. 直线与平面平行 C. 点和到下底面的距离相等 D. 直线 10. 设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，则（ ） A. 的通项公式为 B. 是递增数列 C. 的最大项为1 D. 11. 已知的顶点均在抛物线 上，且的重心为抛物线的焦点.若，则（    ） A. B. 的周长小于72 C. 的三个顶点到轴的距离之和为72 D. 上一动点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________． 13. 某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 _____ 14. 若不等式对恒成立，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且． （1）求B的大小； （2）求面积的最大值． 16. 如图，是圆锥的底面圆的圆周上三点，且，为劣弧的中点. （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，且，求的取值范围. 18. 双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线右支上的任意一点，且在第一象限，设直线与直线的交点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）当三角形为直角三角形时，求直线的斜率； （3）证明：直线与三角形的外接圆相切． 19. 某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均相同，记为，该值越高表示越容易被影响．传播逐天进行，规则如下：第一天，研究团队随机选择其中（，且）人推送广告，每位被选中的人被成功影响（称为“感染者”）的概率为，且是否被影响是相互独立的，从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的“非感染者”（即人中还未被成功影响的人），且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的影响传播． （1）求第一天结束时，被影响的人数的数学期望； （2）求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率； （3）对于任意一位“非感染者”，若某天有位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概率为，当时，求在两天后，甲被成功影响的概率（用含的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然“爆发式”传播． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026届普通高等学校招生全国统一考试模拟预测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则 A. {1,3} B. {3,5} C. {5,7} D. {1,7} 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B. 【考点】集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解. 2. 若复数 满足 ，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法先算出复数，然后由模长公式求解. 【详解】，则， 则. 3. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出、，即可求出离心率； 【详解】解：因为椭圆方程为：，所以，，所以，又，所以，所以离心率 故选：D 4. 设函数满足，，则的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可知，函数为周期函数，且周期为2；再由知，为偶函数，排除选项即得. 【详解】函数为周期函数，且周期为2，排除； 又，为偶函数，其图象关于轴对称，排除. 故选：. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 5. 某独唱比赛共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定．甲不是第一个出场的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】根据古典概型的计算公式，甲不是第一个出场的概率为. 故选：C. 6. 风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（   ）（注：，） A. 9级 B. 11级 C. 13级 D. 15级 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解． 【详解】将轮毂高度瞬时风速代入，得， 由知，，则， 所以， 又，所以， 所以． 7. 设函数=（＞0，＜）的最小正周期为，且=，则（ ） A. 在单调递减 B. 在单调递减 C. 在单调递增 D. 在单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合三角恒等变换得，由三角函数的性质可得、，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】由题意， 因为函数的最小正周期为，且=， 所以，且=，解得=2，=， 又，所以=， 所以==， 当时，，故在上单调递减，故A正确，C错误； 当时，，故在上不单调，故B、D错误. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，牢记三角函数图象的特征是解题关键，属于中档题. 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意作出图形： 设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC， 延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=， ∴， ∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=， ∴． 考点：棱锥与外接球，体积． 【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在六棱柱中，底面为正六边形，则（　　） A. B. 直线与平面平行 C. 点和到下底面的距离相等 D. 直线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用六棱柱的性质特征以及正六边形的性质，对选项逐一分析即可得出结论. 【详解】据棱柱的定义可知，故A正确； 由于为正六边形，则直线与相交，所以直线与平面不平行，故B错误； 由于棱柱的上下两个底面互相平行，点和都在上底面，故点和到下底面的距离相等，C正确； 由于，而直线与不垂直，所以D错误， 故选：AC． 10. 设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，则（ ） A. 的通项公式为 B. 是递增数列 C. 的最大项为1 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可得，进而判断AD，利用作差法可判断数列的单调性，即可求解BC. 【详解】由得，， 则曲线在点处的切线方程为，令，得，A正确； 由，得，即，B正确； 恒成立，C错误； ，D正确. 故选：ABD 11. 已知的顶点均在抛物线 上，且的重心为抛物线的焦点.若，则（    ） A. B. 的周长小于72 C. 的三个顶点到轴的距离之和为72 D. 上一动点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据抛物线的定义、重心坐标公式结合题设列方程求解判断AC；根据基本不等式可求解判断B；设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，联立直线与抛物线方程，结合求出，再根据平行线间的距离求解判断D. 【详解】对于抛物线：，其焦点，准线方程为， 设，，. 由抛物线的定义知，，. 已知，则， 即. 因为的重心为，根据三角形重心坐标公式，可得. 则，即.因为，解得， 所以抛物线方程为. 选项A：由上述计算可知，A选项正确. 选项B：根据基本不等式与， ，B选项正确. 选项C：的三个顶点到轴的距离之和为，C选项错误. 选项D：设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 联立，消去得， 由，解得， 因此，两平行线间的距离，D选项正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，成等比数列以及列出关于的方程，解出，再根据计算答案即可 【详解】因为，，成等比数列 ，即 解得 或（舍） 故答案为： 13. 某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 _____ 【答案】 【解析】 【详解】设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝， ∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(A＋B＋AB)C. ∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P＝×＝. 14. 若不等式对恒成立，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先分析当时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且． （1）求B的大小； （2）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式及倍角公式计算即可； （2）利用余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式计算即可. 【小问1详解】 ∵在中，，且， ∴， 由正弦定理得． ∵，，∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴，∴，∴． 【小问2详解】 由（1）知，且， ∴由余弦定理得，整理得． 又∵，当且仅当时，等号成立， ∴，即，当且仅当时，等号成立． ∴， ∴面积的最大值为． 16. 如图，是圆锥的底面圆的圆周上三点，且，为劣弧的中点. （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证得平面，再由线面垂直的性质定理即可得证. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值公式结合同角三角函数的基本关系即可求解. 【小问1详解】 证明：设，因为，所以. 因为为劣弧的中点，所以，则，即，所以. 连接，则，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以. 【小问2详解】 以为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系. 设，则， 所以， . 设平面的一个法向量为， 由得取，则， 设平面的一个法向量为， 由得取，则， 设二面角为，则， ， 故二面角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，且，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，应用导数的区间符号研究的单调性； （2）问题化为恒成立，再应用导数研究右侧的最值，即可得范围. 【小问1详解】 由题设且，则，， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 综上，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由，结合（1）知在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 由，则恒成立， 令且，则 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，故，则的取值范围. 18. 双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线右支上的任意一点，且在第一象限，设直线与直线的交点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）当三角形为直角三角形时，求直线的斜率； （3）证明：直线与三角形的外接圆相切． 【答案】（1） （2）1或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得、，再计算出即可得； （2）设，可得，再分与讨论即可得； （3）表示出直线AP方程后，可得点坐标，可设三角形QAF外接圆圆心的坐标为，再利用可得，再利用向量数量积公式计算即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，则， 所以双曲线的标准方程为：； 【小问2详解】 设，则， 当时，将代入，得， 此时直线AP的斜率为； 当时，， ， 联立方程：，可得，解得， 代入得：，此时直线AP的斜率为， 综上所述，直线AP的斜率为1或； 【小问3详解】 直线AP方程为：，令，得， 设三角形QAF外接圆圆心的坐标为，则有， 即， 化简得：， 即， 由， 则，即， 故直线PF与三角形的外接圆相切. 19. 某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均相同，记为，该值越高表示越容易被影响．传播逐天进行，规则如下：第一天，研究团队随机选择其中（，且）人推送广告，每位被选中的人被成功影响（称为“感染者”）的概率为，且是否被影响是相互独立的，从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的“非感染者”（即人中还未被成功影响的人），且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的影响传播． （1）求第一天结束时，被影响的人数的数学期望； （2）求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率； （3）对于任意一位“非感染者”，若某天有位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概率为，当时，求在两天后，甲被成功影响的概率（用含的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然“爆发式”传播． 【答案】（1） （2） （3）甲被成功影响的概率为，“爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，使得非感染者被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势． 【解析】 【分析】（1）第一天被影响人数服从二项分布，利用性质直接求解期望. （2）利用二项分布奇偶项概率的对称性，构造方程求解. （3）按“甲第一天是否被选中”及“第一天感染者人数”分类讨论，用全概率公式累加各路径概率. 【小问1详解】 设表示第一天结束时被影响的人数，则， 由二项分布的期望公式得． 【小问2详解】 由（1）可知，考虑二项展开： ， ， 两式作和，， 当为偶数时，；当为奇数时，. 设第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率为， 所以， 故． 【小问3详解】 情形一： 甲被推送广告的概率是，甲在两天后被成功影响有两种情形： ①第一天被影响，概率为； ②第一天未被影响，概率为，且第二天被影响， 若甲第二天被影响，则第一天另一位初始被选中者乙一定被影响，乙作为感染者尝试影响甲， 甲被影响的概率为， 故甲在第一天未被影响，第二天被成功影响的概率为， 因此，在甲是初始选中的两人之一的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：． 情形二：若甲不是初始选中的两人，其概率为，甲在两天后被成功影响有两种情形： ①第一天有1人被成功影响，再由此人成功感染甲， 概率为：； ②第一天有2人被成功影响，甲在第二天被成功影响，概率为：， 因此，在甲不是初始选中的两人的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：． 综上，甲在两天后被成功影响的概率为． “爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，每天尝试影响非感染者的感染者人数增大， 使得非感染者被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $