精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高三下期03月二轮测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期03月二轮测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（   ） A. B.  C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式把集合具体化，然后利用集合的运算法则以及集合间的基本关系可判断各个选项. 【详解】解不等式，移项通分得， 等价于，解得 或 ， 因此； 解不等式，移项通分得， 等价于，解得， 因此，， 对于A：但 ， ，故A错误； 对于B：由集合间的基本关系知：，故B正确； 对于C：都是非空集合，故C错误； 对于D：，故D错误. 2. 若复数 满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算及共轭复数概念，再由模长公式即可求解. 【详解】， ， 所以， 所以， 所以， 故选：C 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关系结合诱导公式及条件求结论. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 4. 已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】由，可得增加1个样本数据后的平均数为， 因为，所以， 则增加1个样本数据后的平均数为， 所以，解得， 所以新的经验回归方程为， 则当时，， 样本点的残差为. 故选：B. 5. 已知正三棱柱的所有棱长均为1，E为棱的中点，，那么三棱锥的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用线面平行转换三棱锥的顶点利用等体积法结合三棱锥体积公式计算可得答案. 【详解】在正三棱柱中， 因为E为棱的中点，，所以，所以， 所以到平面的距离是到平面的距离的，且，所以到平面的距离是， 又， 因为平面， 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 所以， 所以三棱锥的体积为. 6. 某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】先分组，分配的时候考虑甲的特殊情况，即可求解. 【详解】依题意，将5名学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法； 由于甲同学不去观看电影《哪吒2》，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法； 按照分步乘法原理，共有种方法． 故选：C 7. 已知函数 则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求导法则计算可得答案. 【详解】求导得： 令，得： ， 解得：， 因此， 令，得： . 故 选：A 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，A，B是双曲线右支上两点，且，设的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，直线与线段交于点P，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的性质得，结合双曲线的定义表示出各边长，可判断，即可建立关系求解. 【详解】如图所示： 由题意知为的角平分线上点，由角平分线的性质得， 因为，∴， 由双曲线的定义得，因此，， ∴，，由双曲线定义得， 满足，可得， 由在中，， 即，∴，. 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（ ） A. 以频率估计概率，有 B. 以频率估计概率，有 C. 若取，可以认为疗效与疗法独立 D. 若取，可以认为疗效与疗法独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由题设求出表格中各行各列总数，再由古典概型即可计算求解判断AB；再由独立性检验思想即可分析判断CD. 【详解】由题设求出表格 疗法 疗效 总数 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 总数 21 115 136 以频率估计概率，有，故A正确； 以频率估计概率，有，故B正确； 零假设：认为疗效与疗法独立，由题且， 所以若取小概率值，则零假设不成立，即不可以认为疗效与疗法独立； 若取小概率值，则没有充分的证据推翻零假设，故可以认为疗效与疗法独立，故C错误，D正确. 故选：ABD 10. 在中，内角， ，所对的边分别为，，，如下判断正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若满足条件， 的有两个，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据选项中的条件，利用三角形内角范围，正弦定理等结论逐一判断即可. 【详解】对于A，若为直角三角形，，则，故A错误； 对于B，由和正弦定理，，即， 因，则 ，即 ，故B正确； 对于C，因的内角只能为锐角、直角或钝角，由可知，在符号上只能是三正或者两负一正， 而三角形中最多只有一个钝角，故三者只能是三正，即都是锐角，故C正确； 对于D，由满足条件， 的有两个，可知，即，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 是的极小值点 C. 若，则 D. 若过点的曲线的切线有且仅有两条，则a的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，判断A，B；由题意得，是函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标，根据函数的图象与函数的图象关于直线 对称，可判定C；设出切点，写出切线方程，将点P代入，化简后方程有两根，即可得到的取值范围，判断D. 【详解】根据题意，， 则当时，，所以 单调递减， 当时，，所以 单调递增， 所以 是的极小值点，且， 所以 的值域为，A错误，B正确； 由，可得，， 令，是函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标， 因为函数的图象与函数的图象关于直线 对称， 所以，两点关于直线 对称， 因此，即 ，C正确； 设切点为，所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 即方程有两个解，则，解得或 ，D正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项C中把，看成函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标，且函数的图象与函数的图象关于直线 对称是解题关键点. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】通过赋值，代入即可求解. 【详解】由，令， 则有， 即. 故答案为：0 13. 已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图象，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，点作直线的垂线，垂足为，由抛物线定义可知，数形结合得点P到直线的距离之和为，当且仅当三点共线时等号成立，计算即可求解. 【详解】抛物线，即 ，焦点坐标，准线方程 ， 设点到直线的距离为，点到直线的距离为， 由抛物线的定义可知点到直线的距离等于点到焦点的距离， 过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，则， 过点作直线的垂线，垂足为， 故点到直线的距离之和为， 当且仅当三点共线时等号成立， 即点到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，即. 故答案为：. 14. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【详解】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是 个顶点； 当 时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足 的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当 时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中， 平面 ， ， ，，． （1）求证：平面平面 ； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为 平面 ，平面 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 又因为 平面，故平面． 又因为平面 ，所以平面 平面 ． （2）． 【解析】 【分析】（1）由 平面 得到 ．由 得到 ． 利用直线和平面垂直的判定定理得到平面，利用平面和平面的判定定理得到平面 平面 ； （2）由 得到以点为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，建系，写出点的坐标，求出和平面的法向量，设直线与平面所成角为 ， 利用数量积公式求出 ，从而得到直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 ，所以以点为坐标原点， 以，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， 设平面的法向量为 ， 则即，令 得 ， 故平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为 ， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 16. 在中，角的对边分别为，已知 （1）求的值； （2）若， （i）求 的值： （ii）求的值. 【答案】（1）；（2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求的值即可； （2）（i）由（1）可得，再利用正弦定理求 的值； （ii）由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果． 【详解】在中，由正弦定理 可得：，整理得， 由余弦定理，可得； （2）（i）由（1）可得，又由正弦定理， 及已知，可得， 由已知，可得 ，故有， 为锐角，可得，； （ii）由（i）可得，, . 17. 2025年12月1日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚焦车辆安全性能升级.据调查拥有电动车的家庭中，的家庭只拥有电动车，的家庭既有电动车也有其他交通工具.对于每个家庭，若只拥有电动车则记1分，若同时拥有其他交通工具则记2分.假设各家庭是否拥有其他交通工具相互独立，且视调查频率为概率. （1）从被调查家庭中随机抽取3户，记这3户的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从被调查家庭中随机抽取n（）户，记这n户的合计得分恰为 的概率为，求. 【答案】（1） 【小问1】x 3 4 5 6 P ； （2）. 【解析】 【分析】（1）运用二项分布的知识求解即可； （2）利用错位相减法解决“等差数列等比数列”的求和模型. 【小问1详解】 由题意知，每个家庭“只有电动车”的概率为，“既有电动车又有其他交通工具”的概率为.则X的可能取值为3，4，5，6. ，， ，， 所以X的分布列为 x 3 4 5 6 P 所以. 【小问2详解】 因为这户的合计得分为 分，所以其中恰有户为“既有电动车又有其他交通工具”，其余户均为“只有电动车”. 所以， 设， 即 ①， 则 ②， ① ②得， 即，所以， 即. 18. 如图所示，已知抛物线 被两组首尾相接的平行线段所截，其中一组平行线 …的斜率为，一组平行线. 与x轴垂直，将两组平行线与抛物线C在x轴上方的交点从左到右依次记为 x轴下方的交点从左到右依次记为 若点 的横坐标为1，且点 到抛物线C的准线的距离为 （1）求p的值； （2）求 的面积； （3）设 当 时， 数列 的前n项和为 ，若对任意的，恒有 求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出抛物线 的准线方程，建立关于 的方程，求解即可； （2）根据（1）求出点 的坐标，进而求出直线 的方程，并与抛物线方程联立，得到 间的关系，再求 的坐标，进而得 及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式即可求得结果； （3）先求出数列 的通项公式，进而分类讨论求出， 通过参变分离，将不等式恒成立问题转化为二次函数最值问题，即可求的取值范围. 【小问1详解】 由题意知抛物线 的准线方程为 ， 则由题意得 ， 整理得 ，即 ，得 . 【小问2详解】 由（1）知抛物线 的方程为 ，则 ， 因为点 在抛物线 上，则 ， 因为点 与 关于 轴对称， 所以当 时，易知 ， 所以过 且斜率为 的直线 的方程为： ， 联立，得 ， 消去 ，得 ， 解得 或 ， 所以 ，即 . 所以 ，则 ， 又直线 的方程为 ，即 ， 则点 到直线 的距离 ， 所以 【小问3详解】 由 (2) 知数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列， 所以 ， 代入抛物线方程得 ， 又因为当 时， 所以， 当 为偶数时， . 当 为奇数时， 所以， 因为对任意的 恒成立， 所以当 为偶数时， ，即 恒成立， 又 ， 所以当 时， 取得最小值，且最小值为， 所以 ， 当 为奇数时， 即 恒成立， 又 ， 所以当 时， 取得最小值，且最小值为，所以 . 综上可得 的取值范围为 . 19. 已知函数，． （1）证明：当 时， （2）若是的极大值点，求的取值范围． （3）若 ，且，其中，证明：． 【答案】（1） 因，则， 当 时，，所以在上单调递减， 所以，故当 时， ． （2） （3） 由（1）知，当 时，． 令，则，再令， 则． 令，，则． 所以． 由，得． 要证，只需证． 因为 在上单调递减，所以只需证． 令，则，令，则， 易知在上单调递减．又，， 所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减． 又，且在上单调递增，故在上大于0. 而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得. 则在上单调递增，在上单调递减． 又，，所以恒成立， 所以，则，所以． 【解析】 【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，利用单调性即可得证； （2）将函数求导得，记，再求导得，根据，分成，和 三类情况讨论函数的单调性，即可逐一判断求得参数范围； （3）由（1）知，当 时，，先后令，令，将其化成，再令，，可得，利用结合条件可得，从而要证，即证，再由余弦函数的单调性，需证，设，利用求导判断单调性证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的定义域为，则， 记，则，则． ①若，即，则 令，则，所以在上单调递增， 当时，此时，则，故在上单调递增，不合题意； ②若，即，则必存在，使得当时， ，则在上单调递增． 又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意； ③若 ，即，同理可得，存在，使得当时，， 则在上单调递减．又，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是的极大值点． 综上所述，的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期03月二轮测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（   ） A. B.  C. D. 2. 若复数 满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知变量 和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知正三棱柱的所有棱长均为1，E为棱的中点，，那么三棱锥的体积为（    ） A. B. C. D. 6. 某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 7. 已知函数 则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，A，B是双曲线右支上两点，且，设的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，直线与线段交于点P，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（ ） A. 以频率估计概率，有 B. 以频率估计概率，有 C. 若取，可以认为疗效与疗法独立 D. 若取，可以认为疗效与疗法独立 10. 在中，内角， ， 所对的边分别为，，，如下判断正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若满足条件， 的有两个，则的取值范围为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 是的极小值点 C. 若，则 D. 若过点的曲线的切线有且仅有两条，则a的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的值为__________. 13. 已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 14. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中， 平面 ， ， ，，． （1）求证：平面平面 ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值． 16. 在中，角的对边分别为，已知 （1）求的值； （2）若， （i）求 的值： （ii）求的值. 17. 2025年12月1日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚焦车辆安全性能升级.据调查拥有电动车的家庭中，的家庭只拥有电动车，的家庭既有电动车也有其他交通工具.对于每个家庭，若只拥有电动车则记1分，若同时拥有其他交通工具则记2分.假设各家庭是否拥有其他交通工具相互独立，且视调查频率为概率. （1）从被调查家庭中随机抽取3户，记这3户的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从被调查家庭中随机抽取n（）户，记这n户的合计得分恰为 的概率为，求. 18. 如图所示，已知抛物线 被两组首尾相接的平行线段所截，其中一组平行线 …的斜率为，一组平行线. 与x轴垂直，将两组平行线与抛物线C在x轴上方的交点从左到右依次记为 x轴下方的交点从左到右依次记为 若点 的横坐标为1，且点 到抛物线C的准线的距离为 （1）求p的值； （2）求 的面积； （3）设 当 时， 数列 的前n项和为 ，若对任意的，恒有 求实数m的取值范围. 19. 已知函数，． （1）证明：当 时， （2）若是的极大值点，求的取值范围． （3）若 ，且，其中，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $