精品解析：河南信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高三下期03月二轮测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期03月二轮测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵A＝{x|x＝kπ，k∈Z}，B＝{x|0＜x＜4}， ∴A∩B＝{π}．故选B． 【点睛】本题主要考查交集的运算，涉及三角方程的解法以及对数函数的单调性的应用． 2. 设，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解. 详解】对于A,若，则或者相交或者异面，故A正确， 对于B,若则或者，故B错误， 对于C, 若，则或者或者相交，故C错误， 对于D, 若，则,D正确， 故选：D 4. 若函数为偶函数，则实数（ ） A. 1 B. C. －1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，可得，求得，进而检验即可. 【详解】由函数为偶函数，可得，即， 解之得，则， ， 故偶函数，符合题意. 故选：D. 5. 已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过作C其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线交另一渐近线于点B，若，则双曲线C的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的性质可得到渐近线距离为b，结合几何性质可得，从而，最后由的关系可得焦距. 【详解】如图所示，∵到渐近线距离为b，故为等腰三角形，， 故，，∴焦距为12. 故选：D. 6. 将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列组合公式结合古典概型的概率公式即可求解． 【详解】将1个0，2个1，2个2随机排成一行，共有种， 其中，2个1不相邻的情况有种， 故所求概率为． 故选：A. 7. 函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】如图，过作轴于，根据题意得到，进而可求出，再利用，得到，则有，可求出，从而，即可求出结果. 【详解】如图，过作轴于，则， 又是等腰直角三角形，所以，故，得到， 又，所以，则，所以， 所以，得到，又，得到， 所以，则， 故选：D. 8. 已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意球与每条棱都有公共点，然后利用临界分析，当球与每条棱有且仅有一个公共点时，球为正方体的棱切球，当球半径为外接球半径或更大时，截面将不存在，故球的半径满足，最后利用球的表面积公式求解即可. 【详解】依题意，平面与以为球心的球相切，因正方体每个顶点发出了三条棱， 要使与该正方体的截面始终为三角形，就必须使球与每条棱都有公共点， 当球与每条棱有且仅有一个公共点时，球为正方体的棱切球， 当球半径继续增大到外接球半径之前，都能确保截面始终为三角形， 而当球半径为外接球半径或更大时，截面将不存在， 因此必须使球的半径满足. 又棱长为2的正方体的棱切球的半径为面对角线的一半即， 外接球的半径为体对角线的一半即，所以， 所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意得，结合三点共线即可判断AB，由基本不等式即可判断CD. 【详解】 因为为线段上一点， 所以， 而点线段上面，所以，故A错，B对， 由基本不等式得，解得，等号成立当且仅当，C对， ，等号成立当且仅当，D对. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上仅有2个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦函数和余弦函数的特殊值、周期性、单调性、值域，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，所以且，所以， 故的定义域为，故A正确； 对于B，因为函数和的最小正周期均为， 所以的最小正周期为，故B正确； 对于C，因为函数在区间，上单调递减， 函数在区间上均单调递减，且值域为； 函数在区间上均单调递减，且值域为. 所以函数与在区间上均单调递增， 则在区间上单调递增，故C项错误； 对于D，令，则，解得， 在区间上有2个解，故D项正确． 故选：ABD． 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线l的斜率为 B. C. （O为坐标原点） D. 当取最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线：，根据题意求出，得到斜率判定A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D. 【详解】对于A，依题意得，设直线， 联立，消去x得，则， 则，解得或， 则或， 则直线l的斜率，故A正确； 对于B，， 当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C，因为，所以，故C项错误； 对于D，依题意有，抛物线的准线方程为，所以， 则，由抛物线的定义可得， 可得， 因为，所以 ， 当且仅当时取等号，此时，故D项正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为______。 【答案】4 【解析】 【分析】利用展开式中常数项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】， 3个因式中每个因式都包含三个项，若要得到常数项， 第一种方法是3个都取1，为，第二种方法是取2个，1个，为， 所以展开式的常数项为. 故答案为：4. 13. 若，则_______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据正弦的和差角公式可得，即可利用弦切互化求解. 【详解】由可得， 故， 故答案为：5 14. 已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为____________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用导数求切点处的切线方程，可得，通过指数式对数式的运算，求出的值. 【详解】由，，有，， 在点处的切线方程为， 在点处切线方程为， 则有，得， 所以，可得. 故答案为：1. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等差中项列式，再根据完全平方公式计算化简，由定义得出等差数列； （2）先写出等差数列的通项公式，再应用的分组求和得出即可. 【小问1详解】 因为是与的等差中项，所以， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以， 所以数列是公差为1，首项为的等差数列； 【小问2详解】 因为数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以， 所以，当时，， 当时，， 所以, 所以， 16. 如图，在四边形中，． （1）求的值； （2）若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，结合以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【小问1详解】 设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. 【小问2详解】 由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. 17. 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，. （1）求证：平面； （2）若. （i）求三棱柱的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理，结合勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理得证. （2）（i）由（1）的信息，结合三棱锥的体积公式求解；（ii）建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在中，由， 得，则， ，由四边形是矩形，得， 又平面，且， 所以平面. 【小问2详解】 （i）由（1）知平面，又平面平面， 则平面平面，而，则， 由，得，即有， 取中点，连接，则，又，则， 所以. （ii）以点为原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数， （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递减区间为单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【小问1详解】 当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： 【小问2详解】 当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， 【小问3详解】 ， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴在单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增，∴，∴ ，，∴，∴ ∴，∴在上存在零点. 综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题. 19. 已知椭圆过点，且与双曲线有相同的焦点． （1）求椭圆的方程； （2）设为的上顶点，为左焦点，，为上的两点，点关于轴的对称点为，线段的中点为，若为的平分线， （i）求证：直线过定点； （ii）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出双曲线的焦点，再根据焦点相同设椭圆方程，进而得出方程组求解即可； （2）（i）设直线、的倾斜角分别为和，得出，再利用两角和差的正切公式以及诱导公式得出直线、的斜率之积为，再分别设直线、方程并与椭圆方程联立求出坐标，再设的方程，将坐标代入，建立一元二次方程，结合韦达定理可求； （ii）将问题转化为求的范围，联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式计算，再利用换元法求函数最值即可. 【小问1详解】 双曲线的标准形式为， 因为，所以双曲线的焦点为， 因为椭圆与双曲线的焦点相同，故可设其方程为，且， 因为在椭圆上，所以，解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）设直线、的倾斜角分别为和，则直线的倾斜角为， 由题设知和均不等于，又直线的斜率为，故其倾斜角为， 从而有，即， 则，即， 又，故， 设直线、的斜率分别为、，则， 设直线、的方程分别为、，设， 联立，得，解得， 则，故点， 同理可得， 由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为， 代入点坐标得，化简得， 同理有， 故、是方程的两个根， 故，解得， 故直线方程为，过定点； （ii）因为，故，故， 由（i）可知，直线方程为， 设、，则，， 联立，得， 因为点在曲线内部，则必有， 则，， 则 ， 令，则， 因为，则，则，即， 故，所以， 则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期03月二轮测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合 A. B. C. D. 2. 设，则 A. B. C. D. 3. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 4. 若函数为偶函数，则实数（ ） A. 1 B. C. －1 D. 5. 已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过作C其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线交另一渐近线于点B，若，则双曲线C的焦距为（ ） A. B. C. D. 6. 将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（    ） A. B. C. D. 8. 已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知函数，则（ ） A. 定义域为 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上仅有2个零点 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线l的斜率为 B. C. （O为坐标原点） D. 当取最小值时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为______。 13. 若，则_______ 14. 已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. （1）证明：数列等差数列； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，四边形中，． （1）求的值； （2）若，且的面积是面积的4倍，求的长． 17. 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，. （1）求证：平面； （2）若. （i）求三棱柱的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数， （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若在上存在零点，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆过点，且与双曲线有相同的焦点． （1）求椭圆的方程； （2）设为上顶点，为左焦点，，为上的两点，点关于轴的对称点为，线段的中点为，若为的平分线， （i）求证：直线过定点； （ii）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $