5 第5章 特殊平四形-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版·新教材）

八年级数学 第5章 特殊平行四边形 A.1 B.2 要点回顾 C.3 D.4 【解题思路】根据矩形的性质易得OB=OC=OA, 1.矩形 结合∠COB=60°，得出△OBC是等边三角形， (1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫作 .∠BAO=30°，∠FCO=∠BAO=30°，：FC= 矩形 FO,易得∠FOC=∠FCO=30°，∴∠FOB=90°，然 (2)性质：定理1.矩形的四个角都是直角。 后利用“HL”可得△FOB≌△FCB,得出∠FBO 定理2.矩形的对角线相等 ∠FBC,即BM是等边三角形OBC的角平分线，结 (3)判定：定理1.有三个角是直角的四边形是矩 合等边三角形的性质可得FB⊥OC,OM=CM;,O 形 是AC的中点，结合矩形的性质可得△AOE和 定理2.对角线相等的平行四边形是矩形 △COF全等，.AE=CF,BE=DF,再结合矩形 2.菱形 的性质可得四边形EBFD是平行四边形，结合 (1)定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 △OBC是等边三角形，容易证明△EOB≌△FOB, (2)性质：定理1.菱形的四条边都相等. 定理2.菱形的对角线互相垂直，并且每条对角 得出邻边BF=BE,从而得出四边形EBFD是菱 线平分一组对角. 形；设OE=x,则OF=x,,∠FOM=∠OBF=30°， (3)判定：定理1.四条边相等的四边形是菱形 BF=2,M=号，∴BM=2x- 33 第 x,从 定理2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 部 而求出MB:OE的值. 3.正方形 【解答过程】解：'四边形ABCD是矩形，且O是AC (1)定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角 的中点，.OB=OC=OA,∠COB=60°，∴.△OBC是 夯 的平行四边形叫作正方形。 等边三角形，∴∠BAO=30°，∠FCO=∠BAO=30°， (2)性质：正方形的四个角都是直角，四条边都 ,FC=FO,.∠FOC=∠FO=30°，.∠FOB=90°，在 相等. 础 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条R△FB和Rt△FCB中，{ FB-FB, .△FOB≌△FCB, FO=FC, 对角线平分一组对角. (3)判定：有一个角是直角的菱形是正方形. ∴.∠FBO=∠FBC,即BM是等边三角形OBC的角 有一组邻边相等的矩形是正方形 平分线，.FB⊥OC,OM=CM;:O是AC的中点， CFAE,.∠FCO=∠EAO,在△AOE和△COF中， 》名题精讲 ∠FCO=∠EAO, OC=OA, ∴.△AOE≌△COF,.AE= 【例1】如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点 ∠FOC=∠EOA, O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交 CF,.BE=DF,又EB∥FD,.四边形EBFD是平 AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°，FO= 行四边形，：∠FBO=∠EBO,BO=BO,∠FOB= FC,则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM;②△EOB ∠EOB,∴.△EOB≌△FOB,.∴.BF=BE,.四边形 ≌△CMB;③四边形EBFD是菱形；④MB:OE= EBFD是菱形；设OE=x,则OF=x,,∠FOM 3:2.其中正确结论的个数是 ∠OBF=30.BF=2,MF=号BM=2x 2=2MB OE=3 1 3 xx=3:2..①③④ 正确，故选择C 45 暑假大串联 【易错点睛】此类问题容易出错的地方是没有正确对角线互相平分且相等可得OC=OD,然后根据邻边 运用“在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边 相等的平行四边形是菱形证明即可， 的一半”，或者对三角形全等的条件的书写不正确， 【解答过程】证明：(1)CF∥BD, 【归纳拓展】根据三角形全等的条件来选择判定三 .∠EDO=∠ECF,∠EOD=∠EFC. 角形全等的方法，常用的证明思路如下： 又E是CD中点， 选择的判 ∴CE=DE, 已知条件 寻找的条件 定方法 '.△EDO≌△ECF; (2),△EDO≌△ECF, ASA或 两角 夹边或一角对边 ∴OD=FC. AAS 又，OD∥FC, 一角及其对边 任一角 AAS ∴四边形ODFC是平行四边形. SAS或 又.四边形ABCD是矩形， 角的另一边或边的另 一角及其邻边 ASA ..OC=OD, 一邻角或边的对角 或AAS .四边形ODFC是菱形， SAS或 【易错点睛】此类问题容易出错的地方是矩形的性 两边 夹角或另一边或直角 SSS 质和有关知识运用不熟练，导致思路受阻，从而找不 或HL 到解题的途径和方法. 第 【方法规律】(1)证明两个三角形全等一般有四种 【方法规律】①证明线段相等一般通过三角形全等 方法：SAS,ASA,AAS,SSS,要结合图形，寻找条件， 来证明；②矩形对角线的夹角为60°是常见的考点， 分 灵活选择判定方法；(2)判定菱形的方法有：一组邻 此时常常转化为等边三角形；③利用等边三角形三 边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平 线合一定理证明垂直平分线；④菱形是特殊的平行 夯 行四边形是菱形，四条边相等的四边形是菱形. 四边形，因而在判定一个四边形是菱形时，先判定这 基 个四边形是平行四边形，然后再在平行四边形的基 础 基础过关 础上增加条件（边或角）判定是菱形，菱形的判定注 意选择不同的方法：对角线互相垂直的平行四边形 一、 填空题 是菱形；四边相等的四边形是菱形 1.如图，矩形ABCD的对角线交于点O,AE⊥ 【例2】已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC, BD,垂足为E,∠1=∠2，OE=3cm,则∠BOC= BD相交于点O,E是CD中点，连接OE,过点C作 度，△DOC的周长为 cm. CF∥BD交线段OE的延长线于点F,连接DF 2.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 求证：(1)△ODE≌△FCE; O,若∠AOB=60°，AC=10,则AB= (2)四边形ODFC是菱形 3.如图，正方形纸片ABCD的BC边上有一点 【解题思路】(1)根据两直线平行，内错角相等可得 E,AE=10cm.若把纸片沿AE的中垂线折叠，使点 ∠EDO=∠ECF,∠EOD=∠EFC,根据线段中点的 E与点A重合，则纸片的折痕长为 cm. 定义可得CE=DE,然后利用“角角边”证明△ODE和 △FCE全等；(2)根据全等三角形对应边相等可得OD =FC,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的 八年级数学 4.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC, 10.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方 BD交于点O,△AOB为等边三角形，AB=4cm,则 形，若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1十S2 这个平行四边形的面积为 cm2. 的值为 () 5.如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到 一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个 矩形，按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积 为1，则第n个矩形的面积为 A.16B.17C.18D.19 11.如图，在正方形ABCD中，F为对角线BD ☐→】→→@ 上一点，连接AF并延长交CD于点E,若EF=EC, 则∠ECF的度数为 () 6.如图，点E是正方形ABCD的边CB延长线 上一点，连接AE,点F是AE的中点，连接BF, DF,若BF=2,则DF的最大值为 A.36° B.32°C.30° D.28 三、解答题 第 12.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边 二、选择题 AB,CD的中点，连接AF,CE.求证： 部 7.如果一个平行四边形要成为一个正方形，需 (1)△BEC≌△DFA; 要增加的条件是 ( (2)四边形AECF是平行四边形. A.对角线互相垂直 B.对角互补 C.对角线互相垂直且相等 实基础 D.对角线相等 8.如图，菱形ABCD的边长为4，过点A,C作 对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点 E,F,AE=3,则四边形AECF的周长为() 13.如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC 上的任意一点，DE⊥AG于点E,BF∥DE,交AG于 点F.求证：AF=BF十EF A.22 B.18 C.14 D.11 9.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4, 则以AC为边长的正方形ACEF的周长为() 60°C>B A.14 B.15 C.16 D.17 用 47 暑假大串联 14.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC|A逆时针方向旋转得到△ADF,DF的延长线交BE 上一点，连接EB,ED. 于点H.若BH=7,则DH的长为 (1)求证：△BEC≌△DEC; (2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°，求 ∠AFE的度数. 3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长为3，顶点A的坐标是(-1,1)，AB∥x轴，点 B,C在第一象限，则顶点C的坐标是 （) 15.如图，已知△ABC,按如下步骤作图： 10 ①分别以A,C为圆心，大于2AC的长为半径 A.(4,1)B.(3,1)C.(2,4)D.(4,2) 画弧，两弧交于P,Q两点； 4.如图，要使口ABCD成为矩形，需添加的条 ②作直线PQ,分别交AB,AC于点E,D,连 件是 () 第 接CE; 部 ③过C作CF∥AB交PQ于点F,连接AF. 求证： (1)△AED≌△CFD; A.AB=BC B.AC⊥BD 夯 (2)四边形AECF是菱形. C.∠ABC=90° D.∠1=∠2 实基 5.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别 是AB,BD,CD,AC的中点，要使四边形EFGH是 菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件是 ( y A.AD=BC B.AC=BD C.AB=CD D.AD-CD 鱼综合提升 6.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB ⑧ =90°，AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是() 1.在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相 平分，交点为O,在不添加任何辅助线的前提下，要使 E 四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条 件可以是 2.如图，正方形ABCD中，BC=13,点E为正 方形ABCD外一点，且∠AEB=90°，将△AEB绕点 A.48 B.60 C.76 D.80 48 八年级数学 7.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD| 9.如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E, 相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH. F分别在边BC,CD上，将AB,AD分别沿AE,AF 求证：∠DHO=∠DCO. 折叠，点B,D恰好都落在点G处，BE=1. (1)求EF的长； (2)求△CEF的面积. 8.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD 10.如图，E,F是正方形ABCD的对角线AC 上的两点，且DE∥BF. 第 交于点O,E,F在AC上，G,H在BD上，AF=CE, BH=DG. (1)求证：△ADE≌△CBF; 求证：GF∥HE (2)若AE=1,AB=3,求四边形BEDF的 分 面积 《 G 实基础 49 暑假大串联 (2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为 中考热身 菱形？请说明理由. 1.(漳州中考题)如图，在菱形ABCD中，∠A 60°，E,F分别是AB,AD的中点，若EF=2,则菱形 ABCD的边长是 2.(黄石中考题)如图，一个矩形纸片，剪去部分 后得到一个三角形，则图中∠1十∠2的度数是 5.(梅州中考题)如图，在正方形ABCD中，E 是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF =BE. (1)求证：CE=CF; 第 2 A.30°B.60 C.90° D.120° 部 3.(邵阳中考题)如图，点E是矩形ABCD的边 AD延长线上的一点，且AD=DE,连接BE交CD 夯 于点O,连接AO,下列结论不正确的是 () 础 (2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE= A.△AOB≌△BOC BE十GD成立吗？为什么？ B.△BOC≌△EOD C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC 4.(嘉兴中考题)已知：如图，在□ABCD中，O 为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交 AD,BC于E,F两点，连接BE,DF. (1)求证：△DOE≌△BOF: 50:AB/CD,.∠C=180°-∠B, 又∠AFD=180°-∠AFE,∠B=∠AFE,∴.∠AFD=∠C. 在△ADF与△DEC中，由三角形内角和定理，得： ∠FAD=180°-∠ADF-∠AFD,∠CDE=180°-∠DEC-∠C, .∠FAD=∠CDE [综合提升] 1.C2.B3.C4.A 5.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,∠A=∠C 又AE=CF, ∴.△ABE≌△CDF, ..BE=DF. [中考热身] 1.282.C3.C4.C5.D 6.证明：（1)四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥CD,.∠ABD= ∠CDB,,∠1=∠2，∴.∠AEB=∠CFD.∴.△ABE≌△CDF,BE=DF; (2)由(1)得，△ABE≌△CDF,.AE=CF,∠1=∠2，EF=FE,.△AFE≌△CEF, ∴.∠AFE=∠CEF,∴.AF∥CE. 第5章特殊平行四边形 [基础过关] -1.120182.53.104.1655.6.2w2+2 二、7.C8.A9.C10.B11.C 三、12.证明：(1)四边形ABCD是矩形，.∠B=∠D=90°，BC=DA,AB=CD,又E,F 分别是边AB.CD的中点，BE=号AB,DF=CD.BE=DF△BEC≌△DFA(SAS: (2),四边形ABCD是矩形，∴.AE∥CF,AB=CD,又E,F分别是边AB,CD的中点， ·13· AE=AB,CF-CD.AE=CE.四边形AECF是平行四边形. 13.证明：：四边形ABCD是正方形，∴AD=BA,∠BAD=90°.DE⊥AG,∴.∠DEG =∠AED=90°，∴.∠ADE+∠DAE=90°.又，∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴.∠ADE =∠BAF.,BF∥DE,∴.∠AFB=∠DEG=∠DEA=90°.在△ABF与△DAE中， ∠AFB=∠DEA, ∠BAF=∠ADE,∴.△ABF≌△DAE..BF=AE..AF=AE+EF,∴.AF=BF+EF. BA=AD, 14.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.CD=CB. .AC是正方形的对角线，.∠DCA=∠BCA. 又CE=CE,∴.△BEC≌△DEC; (2)解：∠DEB=140°， 由△BEC≌△DEC可得∠DEC=∠BEC=70°， .∠AEF=∠BEC=70° 又，AC是正方形的对角线，∠DAB=90°，∴.∠DAC=∠BAC=45°. 在△AEF中，∠AFE=180°-70°-45°=65°. 15.证明：(1)根据作图步骤①和②可知PQ是AC的垂直平分线. ,PQ是AC的垂直平分线， .CD=AD,ED⊥AC. ,CF∥AB, .∠DCF=∠DAE. .∠DCF=∠DAE,CD=AD,∠CDF=∠ADE, .△AED≌△CFD; (2).·△AED≌△CFD, .FD=ED,AD=CD. .四边形AECF为平行四边形 又，PQ是AC的垂直平分线， .四边形AECF是菱形 。14. [综合提升] 1.答案不唯一，如AC=BD2.173.C4.C5.A6.C 7.证明：四边形ABCD是菱形，.OD=OB,∠COD=90° ,DH⊥AB于H,.∠DHB=90°，.OH=OD=OB,∴.∠OHB=∠OBH. 又，AB∥CD,∴.∠OBH=∠ODC,.∠OHB=∠ODC. 在Rt△COD中，∠ODC+∠OCD=90°， 在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°， .∠DHO=∠DCO. 8.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC.又，AF=CE,∴.AF-OA=CE OC,即OF=OE.同理OG=OH..四边形EGFH是平行四边形..GF∥HE. 9.解：(1)由图形折叠可得BE=EG,DF=FG,,正方形ABCD的边长为3，BE=1,∴ EG=1,EC=BC-BE=3-1=2,CF=3-FD=3-FG,在Rt△ECF中，EF2=EC2+CF2, 六1+GF)=2+(3-GF),解得GF=EF=1+-8 229 (2)GF=DF-号CF=(D-DF=多i△CEF的面积=CE,FC=合×2x是 、3 2 10.(1)证明：四边形ABCD是正方形，AD∥BC,AD=BC,.∠DAE=∠BCF;, DE∥BF,∴.∠DEF=∠BFE,.∠DEF+∠DEA=180°，∠BFE+∠BFC=180°，.∠DEA =∠BFC,.△ADE≌△CBF(AAS); (2)解：如图所示，连接BD交AC于点O, :四边形ABCD是正方形，.AC=BD,AC⊥BD,AB=BC=3,∠ABC=90°，.AC= WJAB2+BC=3√2；由(1)得△ADE≌△CBF,∴.CF=AE=1,∴.EF=AC-AE-CF=3W2 -2.5w=Sag+5ag=2EF.0D十EF,0B=专EF,OD+OB)=号Er ·15· ·BD=2×3反-2)X3E=9-3E. [中考热身] 1.42.C3.A 4.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ∠ADB=∠CBD ,OB=OD,∠DOE=∠BOF, .△DOE≌△BOF; (2)解：当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形. :△DOE≌△BOF, ∴.OE=OF .OB=OD, ∴.四边形BFDE为平行四边形 ,∠DOE=90°， ∴.EF⊥BD, .□BFDE为菱形 5.(1)证明：在正方形ABCD中，，BC=DC,∠B=∠CDF,又，BE=DF, ∴.△CBE≌△CDF(SAS),∴.CE=CF; (2)解：GE=BE+GD成立. 理由是：由(1)得：△CBE≌△CDF,.∠BCE=∠DCF, .∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠BCD=∠ECF=90°. 又.∠GCE=45°，∴.∠GCF=∠GCE=45°. 'CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴.△ECG≌△FCG(SAS), ..GE=GF,..GE=DF+GD=BE+GD. 六、八年级下册过关检测 -、1.22.-2av所3.g4.20115.2或6万62厄7. 25 8.129.等 4 ·16·