5 第2章 一元二次方程-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版·新教材）

第2章 要点回顾 1.一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 二次的整式方程叫作一元二次方程.它的一般形式 为：a.x2+bx十c=0(a≠0)，其中a.x2叫作二次项，a 叫作二次项的系数；bx叫作一次项，b叫作一次项的 系数；c叫作常数项. 2.一元二次方程的解法 (1)因式分解法：通过因式分解，将方程变形为 一边是两个一次因式的积，另一边是0，根据αb=0, 那么a=0或b=0,把原方程转化为两个一元一次方 程来求解的方法叫作因式分解法 (2)直接开平方法：用直接开平方法解形如(x一 a)2=b(b≥0)的方程，得解为x=±√b十a. (3)配方法：先对原一元二次方程配方，使它出 现完全平方式后，再用开平方法来求解的方法叫作 配方法， (4)公式法：先把方程整理成一般形式ax2十bx 十c=0,确定出a,b,c的值，然后，在b2-4ac≥0的 前提下，把a,b,c的值代入求根公式x= 一b士一4ac,就可以得出方程的实数根.这种解 2a 法叫作公式法， 3.列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①审题：整体地、系统地审读问题； ②设元：设未知数； ③列式：根据问题中的等量关系式列出方程； ④求解：解方程； ⑤检验：检查解的合理性，是否存在； ⑥作答：书写答案。 》名题精讲 【例1】已知关于x的方程x2十m.x+m-2=0. (1)若该方程的一个根为1，求m的值及该方程 的另一根； (2)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不 相等的实数根。 【解题思路】(1)将x=1代入方程x2十m.x十m-2 =0得到m的值，再把m的值代入方程，重新解一元 二次方程求出另一根； 八年级数学 元二次方程 (2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式， 进行解答。 【解答过程】(1)解：已知1为原方程的一个根，则1 1 +m十m-2=0m=2, 代回方程得十合一含 =0,。另一根为 ② (2)证明：在x2十mx十m-2=0中，a=1,b= m,c=m-2,.b2-4ac=m2-4(m-2)=(m-2)2 十4≥4>0. ·'。不论取何实数，该方程都有两个不相等的 实数根. 【易错点睛】此类问题容易出错的地方是第(2)问 中利用根的判别式对b2-4ac中的a,b,c与一元二 次方程x2十mx十m一2=0中的系数搞混. 【方法规律】一元二次方程的问题除了会解方程， 第 更要熟知一元二次方程a.x2+b.x十c=0(a≠0)的根 的判别式△=b2-4ac.当△>0时，方程有两个不相 部 等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根； 当△<0时，方程没有实数根. 【例2】近几年，我国经济高速发展，但退休人员待 夯 遇持续偏低.为了促进社会公平，国家决定大幅增加 鑫 退休人员退休金，企业退休职工李师傅2023年的月 础 退休金为1500元，2025年达到2160元.设李师傅的 月退休金从2023年到2025年年平均塔长率为x,可 列方程为 () A.2016(1-x)2=1500 B.1500(1+x)2=2160 C.1500(1-x)2=2160 D.1500+1500(1+x)+1500(1+x)2=2160 【解题思路】根据题意列出2024年的月退休金，再 列出2025的月退休金，然后根据2025年的月退休金 达到2160元为相等关系列方程求解. 【解答过程】解：根据题意可知，2024年的月退休金 为1500(1+x),2025年的月退休金为1500(1+ x)(1十x),所以方程为1500(1+x)2=2160,故选B. 【易错点睛】此类问题容易出错的地方是(1)设有 认真审题，“增长”还是“减少”时出现列代数式的错 误；(2)误认为2160元是这三年的和而得到答案D. 【方法规律】增长（降低）率是列方程解实际问题最 常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有 关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的 暑假大串联 关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍” “增长到几倍”“增长率”等等.弄清基数、增长（减少） 后的量及增长（减少）次数. 【例3】楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽 车.当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售 量超过5辆，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均 降低0.1万元/辆.根据市场调查，月销售量不会突破 30台. (1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30， 且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的 函数关系式； (2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公 司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少 辆汽车？（销售利润=销售价一进价） 【解题思路】(1)按销售量进行分类，再合理表示出 函数关系式，即：若当月销售量超过5辆，每多售出1 辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆，则有进 价y=30-0.1(x-5);(2)由销售利润=销售价 第 进价来考虑，因为进价不相同，所以需要分当x≤5 和5<x≤30两种情况来解决，特别是当5<x≤30 部 时，可列出方程(32+0.1x一30.5)x=25. 【解答过程】解：(1)当x≤5时，y=30; 夯 当5<x≤30时，y=-0.1x十30.5. 30(x5), y= -0.1x+30.5(5<x≤30) (且x为正整 础 数)； (2)当x5时，(32-30)×5=1025，不合 题意； 当5<x≤30时，(32+0.1x-30.5)x=25, x2+15.x-250=0,x1=-25(舍去)，x2=10. 答：该月需售出10辆汽车. 【易错点睛】此类问题容易出错的地方是(1)不能 正确分类；(2)不能按分类要求合理地表示出函数关 系或列出方程. 【方法规律】(1)按销售量进行分类，再合理表示出 函数关系式；(2)按进价不同进行分类，再确定符合 题意的方程 基础过关 一、填空题 1.将方程3.x2=5.x十2化为一元二次方程的一 般形式是 2.用配方法解方程x2-4x=5时，方程两边同 3 时加上 ,使得方程左边配成一个完全平 方式. 3.现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将 它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做 成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根 据题意列方程，化简可得 4.方程x2-2x-2=0的解是 5.将4个数a,b,c,d排成2行2列，两边各加 ab,定义 a b 一条竖直线记成 =ad-bc,上 c d c d 述记号就叫作2阶行列式，若 x+2x-2 =10,则 2-xx+2 x= 6.(1)x2+10.x+ =(x十 )2； 2x2-2+ 3 =(x一 )2 7.已知三角形的两边长分别为4和6，第三边长 是方程x2一17x+70=0的根，则三角形的周 长是 8.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降 价，每部售价由3200元降到了2500元.设平均每月 降价的百分率为x,根据题意列出的方程是 二、选择题 9.关于x的方程ax2-3x十2=0是一元二次 方程，则 () A.a>0 B.a≠0 C.a=1 D.a0 10.如果2是方程x2-c=0的一个根，那么c 的值是 () A.4 B.-4 C.2 D.-2 11.一元二次方程x2-5x=-8的根的情况是 () A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 12.用配方法解一元二次方程x2-2x-5=0, 下列配方正确的是 () A.(x+1)2=6 B.(x+1)2=9 C.(x-1)2=6 D.(.x-1)2=9 13.一元二次方程x2十x一2=0的一个根为 2,则p的值为 () A.1 B.2 C.-1 D.-2 14.某商品原售价289元，经过连续两次降价后 售价为256元，设平均每次降价的百分率为x,则下 面所列方程中正确的是 () A.289(1-x)2=256 B.256(1-x)2=289 C.289(1-2x)-256 D.256(1-2x)=289 15.已知一元二次方程x2-6.x十c=0有一个根 为2，则c的值为 A.2 B.3 C.4 D.8 16.已知关于x的方程kx2十(1-k)x-1=0, 下列说法正确的是 () A.当k=0时，方程无解 B.当k=1时，方程有一个实数解 C.当k=一1时，方程有两个相等的实数解 D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解 三、解答题 17.解下列方程. (1).x2+2x=0; (2)2(x-4)2+16=x2. 八年级数学 18.如图，有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡 场的一边靠墙（墙长18m),另三边用竹筒笆围成，如 果竹篱笆的长为35m,则鸡场的长与宽各为多少米？ -18m 墙 鸡场 m 细综合提升 1.关于x的方程(m-√3).xm-1-x十3=0是 一元二次方程，则m的值为 2.已知：a2-4a+4=0,则5a2= 3.关于x的方程a(x十m)2+b=0的解是x1 =一2，x2=1(a,m,b均为常数，a≠0)，则方程a(x +m十2)2十b=0的解是 第 4.孔明同学在解一元二次方程x2-3.x十c=0 时，正确解得x1=1,x2=2,则c的值为 部 5.已知关于x的方程x2十mx一6=0的一个根 为2，则m= ,另一根是 6.如图，邻边不等的矩 夯 围墙 形花圃ABCD,它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所 础 围的栅栏的总长度是6m.若 矩形的面积为4m2,则AB的长度是 m. (可利用的围墙长度超过6m) 7.下列各方程一定是关于x的一元二次方程 的是 ) B.ax2+bx+c=0 C.(n2+1).x2+n=0 D.m.x2+3x=2.x(x-1)+2 8.已知关于x的方程kx2+(2k十1)x十(k-1) =0有实数根，则k的取值范围为 () A≥-日 B.k>- 1 8 C.k≥一g且k≠0 Dk<-君 暑假大串联 7.(广州中考题)已知多项式A=(x十2)2十(1 中考热身 x)(2十x)-3. (1)化简多项式A; 1 (2)若(x十1)2=6，求A的值. 1.(乐山中考题)若m为正实数，且m一 =3, m 则m2- 2= 2.(宜宾中考题)某城市居民最低生活保障在 2018年是240元，经过连续两年的增加，到2020年 提高到345.6元，则该城市两年来最低生活保障的平 均年增长率是 3.(兰州中考题)一元二次方程a.x2十b.x十c=0 (a≠0)有两个不相等的实数根，下列选项正确的是 () A.b2-4ac=0 B.b2-4ac>0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≥0 4.（玉林防城港中考题)x1,x2是关于x的一元 8.(达州中考题)某服装商预测一种应季衬衫能 第 二次方程x2-m.x十m一2=0的两个实数根，是否存 畅销市场，就用8000元购进一批衬衫，面市后果然供 部 在实数m使等式上十】=0成立？则正确的结 不应求，服装商又用17600元购进了第二批这种衬 衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了 论是 8元.商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最 夯 A.m=0时成立 后剩下10件按八折销售，很快售完.在这两笔生意 B.m=2时成立 中，商家共盈利多少元？ C.m=0或2时成立 础 D.不存在 5.(江津中考题)已知关于x的一元二次方程 (a一1)x2-2.x十1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 () A.a<2 B.a>2 C.a<2且a≠1 D.a<-2 6.(成都中考题)已知关于x的一元二次方程 mx2十nx十k=0(m≠0)有两个实数根，则下列关于 判别式n2一4mk的判断正确的是 () A.n2-4mk<0 B.n2-4mk=0 C.n2-4mk>0 D.n2-4mk≥0 36∴.该汽车的经济时速为90公里/时， 450 当x=90时，百公里耗油量为100× 188100 ≈11.1（升）. 第2章一元二次方程 [基础过关] -、1.3x2-5.x-2=02.43.x2-70x+825=04.x1=√3+1，x2=-√3+15.±1 60025524￥7.178.32001-x)P=2500 二、9.B10.A11.D12.C13.C14.A15.D16.C 三、17.(1)x1=0,x2=-2(2)x1=4,x2=1218.长为15m,宽为10m. [综合提升] 1.-√52.203.x1=-4,x2=-14.25.1-36.17.C8.A [中考热身] 1.3√132.20%3.B4.A5.C6.D 7.(1)A=3(x+1)(2)3√6或-3√6 8.解：设购进第一批衬衫x件，购进单价为y元，则购进第二批衬衫为2x件，购进单价 fxy=8000, /x=100, 为(y十8)元.依题意，可得 解得 2x(y+8)=17600, y=80, .第一批衬衫可盈利：(100-80)×100=2000（元）， 第二批衬衫可盈利：(100-88)×(200-10)+10×(100×0.8-88)=12×190-80=2280 -80=2200(元). .这两批衬衫总盈利：2000十2200=4200（元）. 答：在这两笔生意中，商家共盈利4200元， 第3章数据分析初步 [基础过关] 一、1.32.众数3.24.9,95.936.610 二、7.A8.C9.D10.B11.C12.C13.B ·11·